Vektörlerin Toplanması

Vektörlerin Toplanması Hakkında Makale

1. Vektör ve skalar nicelikler

Temel ve türetilmiş niceliklere ek olarak, fiziksel nicelikler iki başka türe daha ayrılabilir: skalar nicelikler ve vektör nicelikler. Kütle, mesafe, zaman ve hacim gibi nicelikler skalar niceliklerdir; yani sadece büyüklüğe sahip olan ancak yönü olmayan niceliklerdir. Yer değiştirme, hız, ivme ve kuvvet gibi büyüklükler ise vektör niceliklerdir; yani hem büyüklüğe hem de yöne sahip olan niceliklerdir.

a. Skaler ve vektörel nicelikler arasındaki fark

Bir topun kütlesinin 400 gram olduğunu söylerseniz, bu ifade topun kütlesini bilmeniz için yeterlidir. Topun kütlesini bulmak için yön bilgisine ihtiyacınız yoktur. Aynı şekilde zaman, sıcaklık, hacim, yoğunluk vb. için de geçerlidir. Sadece büyüklük olarak ifade edilemeyen birçok fiziksel nicelik vardır. Bir çocuğun 100 metre hareket ettiğini söylerseniz, bu ifade yeterli olmaz. Nereye hareket ettiğini sorabilirsiniz? Kuzeye mi, güneye mi, doğuya mı yoksa batıya mı? Benzer şekilde, masayı 200 N'luk bir kuvvetle ittiğinizi söylerseniz...

Nereye gidiyorsunuz? Bu tür niceliklere vektör nicelikleri denir ve büyüklükleri ile yönlerinin açıklanmasını gerektirir. Vektör niceliklerine örnek olarak yer değiştirme, ivme, itme, momentum vb. verilebilir. Bu niceliklerle ilgili konuları incelerken daha net anlayabilirsiniz.

b. Bir vektör çizin.

Vektör bir okla gösterilir. Ok her zaman vektörün yönünü gösterecek şekilde çizilir. Okun uzunluğu vektörün büyüklüğü olarak tanımlanır. Örneğin, şekilde büyüklüğü 2 N olan ve yönü kuzeydoğuya veya x ekseni etrafında 45 ^{° olan bir kuvvet vektörü (F) gösterilmiştir.}

c. Vektör niceliklerini yazma kuralları

Vektörü yazarken, el yazısı kullanıyorsanız, vektörün sembolü genellikle büyük harflerle italik olarak yazılır ve üstüne bir ok işareti eklenir. Basılı kitaplarda vektör sembolleri büyük harflerle kalın yazılır, örneğin F. Vektörün büyüklüğü için, el yazısı kullanıyorsanız, vektörün büyüklüğü örneğin |F| şeklinde yazılır. Basılı kitaplarda vektörün büyüklüğü italik olarak yazılır, örneğin F.

2. Vektörlerin Toplanması—Grafik Yöntemler

Vektörleri grafiksel olarak toplamanın, uçtan uca yöntemi ve paralelkenar yöntemi de dahil olmak üzere çeşitli yolları vardır.

a. Vektörlerin uçtan uca toplanması yöntemi

A ve B vektörleri bilinmektedir. A vektörü = 3 cm, x ekseniyle (doğuya doğru) çakışmaktadır. B vektörü = 2 cm, x ekseniyle 30 ^° açı oluşturmaktadır (kuzeydoğuya doğru). Kuyruk-uç yöntemi kullanılarak A ve B vektörleri grafiksel olarak toplanmalıdır. a) R = A + B b) R = A – B

Sonuç vektörünün (R) büyüklüğü cetvel kullanılarak ölçülür. Sonuç vektörünün yönü iletki kullanılarak ölçülür.

Bilinen A, B ve C vektörleri. A vektörü = 3 cm, x ekseniyle çakışmaktadır (doğuya doğru). B vektörü = 2 cm, x ekseniyle 30 ^{° açı oluşturmaktadır (kuzeydoğuya doğru). C vektörü = 1 cm, x ekseniyle 60 °} açı oluşturmaktadır (kuzeydoğuya doğru). A, B ve C vektörlerini Kuyruk-Uç yöntemi kullanarak grafiksel olarak toplayın.

a) R = A + B + C

b) R = A – B – C

Sonuç vektörü (R) bir cetvel kullanılarak ölçülür. Sonuç vektörünün yönü bir iletki kullanılarak ölçülür.

b. Paralelkenar yöntemi

Bilinen A, B ve C vektörleri. A vektörü = 3 cm, x ekseniyle çakışmaktadır (doğuya doğru). B vektörü = 2 cm, x ekseniyle 30 ^{° açı oluşturmaktadır (kuzeydoğuya doğru). C vektörü = 1 cm, x ekseniyle 60 °} açı oluşturmaktadır (kuzeydoğuya doğru). A, B ve C vektörlerini bir paralelkenar kullanarak grafiksel olarak toplayın.

a) R = A + B

b) R = A – B

c) R = A + B + C

d) R = A – B – C

Sonuç vektörü (R) bir cetvel kullanılarak ölçülür. Sonuç vektörünün yönü bir iletki kullanılarak ölçülür.

3. Vektörlerin Toplanması – aanalitik yöntem

Sonuç vektörünün büyüklüğünü ve yönünü grafiksel yöntemle belirlemek bir yaklaşımdır. Sonuçların doğruluğu, çizim ve ölçek okuma konusundaki hassasiyetinize bağlıdır. Sonuç vektörünün büyüklüğü ve yönü matematiksel hesaplamalarla daha hassas bir şekilde elde edilir.

a. Kosinüs kuralını kullanarak 2 vektörün toplamını hesaplama

Sonuç vektörünün büyüklüğünü belirleme formülü:

Sonuç vektörünün yönünü belirleme formülü:

C = sonuç vektörü

A = vektör 1

B = vektör 2

cos ∠(A, B) = A ve B vektörlerinin oluşturduğu açı

Örnek problem 1:

F ₁ = 2 N, x ekseni etrafında 30°'lik bir açı oluşturur; F ₂ = 3 N, x ekseni etrafında 60 ^°' lik bir açı oluşturur , θ = 30 ^°.

Örnek problem 2:

F ₁ = 2 N, x ekseniyle çakışmaktadır; F ₂ = 3 N ise x ekseniyle 90 ^° açı oluşturmaktadır , θ = 90 ^°.

b. Vektörlerin bileşenlerine göre toplanması

Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, x ekseni etrafında belirli bir açı oluşturan bir F vektörünü inceleyin. Fx _ve Fy _, F vektörünün bileşen vektörleridir.

Bileşen vektörünün büyüklüğü şu formül kullanılarak belirlenir:

F _x = F cos θ

F _y = F sin θ

İki vektör F'yi inceleyin.₁ ve F₂ Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, x ekseni etrafında belirli bir açı oluşturan F_1x ve F_1y F vektörünün bileşenleridir.₁, yani F_2x ve F_2y F vektörünün bileşenleridir.₂.

Bileşen vektörü şu formül kullanılarak belirlenir:

F_1x =F₁ çünkü

F _1y = F ₁ sin θ

F _2x = F ₂ cos θ

F _1y = F ₁ sin θ

Bileşen vektörlerini toplama:

F _x = F _1x + F _2x

F _y = F _1y + F _2y

Sonuç vektörü şu formül kullanılarak belirlenir:

Sonuç vektörünün yönü şu formül kullanılarak belirlenir:

Örnek problem 1:

Büyüklüğü 20 N olan ve x ekseni etrafında 30 ^° açı oluşturan F vektörünün bileşenlerini belirleyin .

F _x = (20 N)(cos 30 ^o ) = 17 N

F _y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

Örnek problem 2:

F1 = 20 N'luk kuvvet x ekseniyle 30 ^°' lik bir açı oluştururken , _{F2 = 15 N'luk kuvvet x ekseniyle 180°'lik bir açı oluşturmaktadır. Bu iki} kuvvetin oluşturduğu vektörün büyüklüğünü ve yönünü belirleyiniz.

F _1x = (20 N)(cos 30 ^o ) = 17 N

F _2x = F ₁ = – 15 N

F _1y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

F _2y = 0

Bileşen vektörlerini toplama:

F _x = F _1x – F _2x = 17 N – 15 N = 2 N

F _y = 10 N

Elde edilen vektör:

F ₂ = F _x ² + F _y ² = 2 ² + 10 ² = 4 + 100 = 104

F = 10.2N

Sonuç vektörünün yönü:

θ = tan −15 = 78.7 ^° x ekseni etrafında

Örnek problem 3:

F₁,F_2, ve F₃ 20 N, 30 N ve 40 N'dir. F₁ 60 derecelik bir açı oluşturur^o x ekseni etrafında, F₂ 150 derecelik bir açı oluşturur^o x ekseni etrafında ve F₃ 315 derecelik bir açı oluşturur^o x ekseni etrafında oluşan vektörün büyüklüğünü ve yönünü belirleyin.

F _1x = (20 N)(cos 60 ^o ) = 10 N

F _1y = (20 N)(sin 60 ^o ) = 17 N

F _2x = (30 N)(cos 30 ^o ) = -26 N

F _2y = (30 N)(sin 30 ^o ) = 15 N

F _3x = (40 N)(cos 45 ^o ) = 28 N

F _3y = (40 N)(sin 45 ^o ) = -28 N

Bileşen vektörünü ekleme:

F _x = F _1x – F _2x + F _3x = 10 N – 26 N + 28 N = 12 N

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N

Sonuç vektörü:

F ² = F _x ² + F _y ² = 12 ² + 4 ² = 144 + 16 = 160

F = 13N

Sonuç vektörünün yönü:

θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^o x ekseni etrafında