Birim Vektör Bileşenlerini Kullanarak Nokta Çarpımı Materyali
A ve B vektörlerinin x, y ve z bileşenlerini (bilinen vektörler) biliyorsak, skalar çarpımı doğrudan hesaplayabiliriz .
Bu şekilde nokta çarpımı gerçekleştirmek için öncelikle birim vektörlerin nokta çarpımını yaparız, ardından A ve B vektörlerini bileşenlerine ayırırız, çarpımı ayrıştırırız ve birim vektörlerin çarpımını kullanırız.
Birim vektörler i , j ve k birbirine diktir, bu da hesaplamaları kolaylaştırır. Yukarıda türetilen skalar çarpım denklemini ( AB = AB cos teta ) kullanarak şunu elde ederiz:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i . j = i. k = j . k = (1)(1) cos 90o = 0
Şimdi A ve B vektörlerini bileşenleri cinsinden ifade edeceğiz, çarpımlarını ayrıştıracağız ve birim vektörlerin çarpımını kullanacağız.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Karena i . i = j . j = k . k = 1 ve i . j = i . k = j . k = 0 ise:
A . B = AxBx (1)+ AxBy (0)+ Ax Bz (0) +
AyBx (0)+ AyBy (1)+ AyBz (0) +
AzBx (0)+ AzBy (0)+ AzBz (1)
A . B = AxBx (1) + 0 + 0 +
0 + AyBy (1) + 0 +
0 + 0 + AzBz (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Bu hesaplamanın sonuçlarına dayanarak, iki vektörün skalar çarpımının veya nokta çarpımının, benzer bileşenlerinin çarpımlarının toplamına eşit olduğu sonucuna varılabilir.
Örnek Soru 1:
Büyük vektör A oyleyse B Aşağıdaki resimde gösterildiği gibi, sırasıyla 5 ve 4'tür. Oluşan açı 90 derecedir.oSayın onu. nokta çarpımı her iki vektör de.
Pembahasan
A ve B vektörlerinin nokta çarpımını hesaplamadan önce, öncelikle ikinci vektörün bileşenlerini bilmemiz gerekiyor.
Ax = (5) cos 0o = (5) (1) = 5
Ay = (5) sin 0o = (5) (0) = 0
Az = 0
Bx = (4) cos 90o = (4) (0) = 0
By = (4) sin 90o = (4) (1) = 4
Bz = 0
Vektör A x ekseninde yalnızca vektör bileşenleri ve vektör bulunur. B Y ekseninde yalnızca bir vektör bileşeni vardır. Z bileşeni sıfırdır çünkü vektör A oyleyse B xy düzlemindedir.
Şimdi vektörler arasındaki nokta çarpımını hesaplıyoruz. A oyleyse B Bileşen vektörleriyle nokta çarpım denklemini kullanarak:
Bir. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
Bir. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
Bir. B = + + 0 0 0
Bir. B = 0
Şimdi bunu ilk yöntemle karşılaştıralım.
AB = AB araba dörtgen
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Sonuç aynı.
Örnek Soru 2:
Büyük vektör A oyleyse B Aşağıdaki resimde gösterildiği gibi, değerler sırasıyla 5 ve 4'tür. Hesaplayın. nokta çarpımı Eğer oluşan açı 30 derece ise, her iki vektör deo
Pembahasan
A ve B vektörlerinin nokta çarpımını hesaplamadan önce, öncelikle ikinci vektörün bileşenlerini bilmemiz gerekiyor.
Z bileşeni sıfırdır çünkü vektör A oyleyse B xy düzlemindedir.
Şimdi vektörler arasındaki nokta çarpımını hesaplıyoruz. A oyleyse B Bileşen vektörleriyle nokta çarpım denklemini kullanarak:
Birinci yöntemle karşılaştırın.
