Mga Halimbawang Tanong na Tumatalakay sa Baryansa at Standard Deviation ng Datos ng Grupo
Panimula
Sa estadistika, ang variance at standard deviation ay dalawang istatistikal na panukat na mahalaga para maunawaan ang dispersion, o pagkalat, ng datos mula sa mean. Sinusukat ng variance kung gaano kalayo ang pagkalat ng datos mula sa mean, habang ang standard deviation ay ang square root ng variance, na nagbibigay ng panukat na nasa parehong unit gaya ng orihinal na datos.
Kahulugan
– Baryansa (σ² o S²): Ay ang average ng mga parisukat ng mga pagkakaiba sa pagitan ng bawat halaga ng datos at ang mean ng datos.
– Standard Deviation (σ o S): Ay ang square root ng variance.
Pormula para sa Baryansa at Standard Deviation ng Datos ng Grupo
Para sa datos ng grupo, ginagamit natin ang dalas ng datos sa bawat klase. Narito ang pormula:
Variant
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
Pamantayang Paglihis
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Saan:
– \( f_i \) = dalas ng bawat klase.
– \( x_i \) = gitnang punto ng bawat klase.
– \( \bar{x} \) = ang average ng datos ng grupo.
– \( N \) = kabuuang bilang ng datos.
Mga Halimbawang Tanong at Talakayan
Ipagpalagay na mayroon tayong datos ng timbang para sa isang grupo ng mga taong nakapangkat sa mga klase.
| Pagitan ng Timbang (kg) | Dalas (f) |
|—————————|—————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
Ang unang hakbang ay ang pagtukoy sa kalagitnaan ng bawat klase ( \( x_i \) ) at pagkatapos ay kalkulahin ang mean (\( \bar{x} \)).
1. Pagkalkula ng Gitnang Punto ( \( x_i \) )
\[ \text{Gitnang Punto} = \frac{\text{Mababang Limitasyon} + \text{Mataas na Limitasyon}}{2} \]
| Pagitan ng Timbang (kg) | Dalas (f) | Gitnang Punto ( \( x_i \) ) |
|———————|—————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. Pagkalkula ng Average ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
Kabuuang bilang ng datos \( N \):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \kabuuang f_i x_i = (2 \times 52) + (5 \times 57) + (8 \times 62) + (7 \times 67) + (3 \times 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Kaya, ang average (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]
3. Pagkalkula ng Baryansa ( \( S^2 \) )
Kailangan nating kalkulahin \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):
\[
\begin{align}
(x_i – \bar{x})^2: at (52 – 62.8)^2 = 118.84
& (57 – 62.8)^2 = 33.64
& (62 – 62.8)^2 = 0.64
& (67 – 62.8)^2 = 17.64
at (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{align}
\]
Pagpaparami sa dalas:
\[
\begin{align}
f_i (x_i – \bar{x})^2: at 2 beses 118.84 = 237.68
& 5 \pinarami ng 33.64 = 168.2 \\
& 8 \pinarami ng 0.64 = 5.12 \\
& 7 \pinarami ng 17.64 = 123.48 \\
& 3 beses sa 84.64 = 253.92
\end{align}
\]
\[
\kabuuang f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Ngayon ay maaari na nating kalkulahin ang variance (\( S^2 \)):
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \approx 32.85 \]
4. Pagkalkula ng Standard Deviation ( \( S \) )
Pamantayang paglihis ( \( S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \tinatayang 5.73 \]
Konklusyon
Mula sa halimbawang datos sa itaas, mayroon tayo:
– Pagkalkula ng karaniwang timbang ng katawan: 62.8 kg
– Pagkalkula ng pagkakaiba-iba: 32.85 kg²
– Pagkalkula ng karaniwang paglihis: 5.73 kg
Ang interpretasyon ng standard deviation ay ang average deviation ng weight data mula sa mean ay humigit-kumulang 5.73 kg. Ipinapahiwatig nito ang pagkalat ng data relatibo sa mean, na makakatulong upang mahulaan kung gaano pabagu-bago ang ating data.
Napakahalaga ng masusing pag-unawa sa variance at standard deviation, lalo na para sa mga nagtatrabaho sa statistics, research, at testing, habang sinusubukan nilang unawain ang data sa anyo ng mga grupo o distribution. Ang pag-alam kung paano kalkulahin at bigyang-kahulugan ang dalawang panukat na ito ay makakatulong sa mas mahusay na paggawa ng desisyon batay sa datos na hawak.
