Mga Halimbawang Tanong at Talakayan ng Korelasyon ng Product Moment
Ang Product-Moment Correlation, na kilala rin bilang Pearson Correlation, ay isang istatistikal na pamamaraan na ginagamit upang sukatin ang lakas at direksyon ng isang linear na relasyon sa pagitan ng dalawang baryabol. Ang pamamaraang ito ay kapaki-pakinabang sa iba't ibang larangan, mula sa akademikong pananaliksik at pagsusuri sa negosyo hanggang sa pagsusuri ng mga eksperimento sa natural na agham. Tatalakayin ng artikulong ito ang ilang halimbawa ng mga problema at ang kanilang mga solusyon para sa pagkalkula ng Product-Moment Correlation.
Panimula
Bago tayo dumako sa mga halimbawang tanong, mainam na maunawaan muna ang pangunahing konsepto ng Product Moment Correlation. Ang pangkalahatang pormulang ginamit upang kalkulahin ang Pearson correlation coefficient (\(r\)) ay:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Saan:
– Ang \( n \) ay ang bilang ng mga pares ng datos.
– Ang \( \sum{XY} \) ay ang kabuuan ng mga produkto ng \( X \) at \( Y \).
– Ang \( \sum{X} \) ay ang kabuuan ng mga baryabol \( X \).
– Ang \( \sum{Y} \) ay ang kabuuan ng mga baryabol \( Y \).
– Ang \( \sum{X^2} \) ay ang kabuuan ng mga parisukat ng baryabol \( X \).
– Ang \( \sum{Y^2} \) ay ang kabuuan ng mga parisukat ng baryabol \( Y \).
Ang koepisyent ng korelasyon ni Pearson (\( r \)) ay palaging nasa pagitan ng -1 at 1. Ang positibong korelasyon ay nagpapahiwatig na ang parehong baryabol ay gumagalaw sa parehong direksyon, habang ang negatibong korelasyon ay nagpapahiwatig na habang tumataas ang isang baryabol, bumababa ang isa pa. Kung \( r = 0 \), walang linear na korelasyon sa pagitan ng dalawang baryabol.
Halimbawang Tanong 1
data
Ang sumusunod ay ang datos ng iskor sa pagsusulit sa matematika at pisika para sa 5 mag-aaral:
| Mag-aaral | Matematika (X) | Pisika (Y) |
|——-|——————-|—————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Mga Hakbang para Lutasin
1. Pagkalkula ng Mahahalagang Bahagi:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Ilagay sa pormula:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Pagkalkula ng mga Resulta:
– Numerator: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Denominador:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \tinatayang 0.633 \]
Kaya, ang koepisyent ng korelasyon ng Pearson sa pagitan ng mga marka sa pagsusulit sa matematika at pisika ay 0.633, na nagpapahiwatig na mayroong katamtamang positibong korelasyon sa pagitan ng dalawang baryabol.
Halimbawang Tanong 2
data
Ang sumusunod ay datos sa halaga ng benta at gastos sa advertising mula sa 6 na buwan sa isang kumpanya:
| Buwan | Pag-aanunsyo (X) | Benta (Y) |
|——-|—————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Mga Hakbang para Lutasin
1. Pagkalkula ng Mahahalagang Bahagi:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Ilagay sa pormula:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Pagkalkula ng mga Resulta:
– Numerator: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Denominador:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \tinatayang 0.981 \]
Kaya, ang koepisyent ng korelasyon ng Pearson sa pagitan ng gastos sa advertising at halaga ng benta ay 0.981, na nagpapahiwatig na mayroong napakalakas na positibong ugnayan sa pagitan ng dalawang baryabol.
Konklusyon
Ang Pearson correlation coefficient (\(r\)) ay isang lubhang kapaki-pakinabang na kasangkapan para sa pag-unawa sa linear na relasyon sa pagitan ng dalawang baryabol. Sa mga halimbawang ibinigay, makikita natin kung paano kalkulahin ang halaga ng \(r\) at bigyang-kahulugan ito. Ang mas mataas na korelasyon (mas malapit sa 1 o -1) ay nagpapahiwatig ng mas malakas na relasyon, habang ang mas mababang korelasyon (mas malapit sa 0) ay nagpapahiwatig ng mas mahinang relasyon. Mahalagang tandaan na ang korelasyon ay hindi nagpapahiwatig ng sanhi; ipinapahiwatig lamang nito na mayroong relasyon sa pagitan ng dalawang baryabol.
