เนื้อหาสมการความต่อเนื่อง
ลองเปิดก๊อกน้ำช้าๆ ขณะสังเกตการไหลของน้ำที่ออกมาจากก๊อก เมื่อก๊อกหยุดหมุน ให้ใช้มืออุดก๊อกไว้บางส่วน จากนั้นเปรียบเทียบดูว่าการไหลของน้ำแบบไหนมากกว่ากัน ระหว่างแบบที่อุดก๊อกไว้บางส่วนกับแบบที่ไม่ได้อุด? ถ้าคุณมีสายยางที่ปกติใช้รดน้ำดอกไม้ ลองปล่อยให้น้ำไหลผ่านสายยาง แล้วใช้มือหรือนิ้วอุดสายยางไว้บางส่วน ยิ่งอุดสายยางมากเท่าไหร่ น้ำก็จะไหลออกมาเร็วขึ้นเท่านั้น ในทางกลับกัน ถ้าไม่ได้อุดสายยาง น้ำก็จะไหลช้าลง ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น? เพื่อทำความเข้าใจเรื่องนี้ โปรดศึกษาเรื่องสมการความต่อเนื่อง
เส้นลื่นไหลและท่อการไหล
ก่อนอื่น เรามาทำความเข้าใจแนวคิดเรื่องเส้นกระแสและท่อการไหลกันก่อน แนวคิดนี้สำคัญเพราะจะช่วยให้คุณเข้าใจสมการความต่อเนื่องได้ดียิ่งขึ้น
เส้นสายที่ลื่นไหล
ดูภาพด้านล่าง เส้นสีน้ำเงินคือเส้นสตรูไลน์ (Streamline)
ในการไหลแบบคงที่ ความเร็วของอนุภาคของไหลแต่ละอนุภาค ณ จุดใดจุดหนึ่ง เช่น จุด A จะคงที่ เมื่อไหลผ่านจุด B ความเร็วของอนุภาคของไหลอาจเปลี่ยนแปลงได้ อย่างไรก็ตาม เมื่อถึงจุด B อนุภาคของไหลที่ตามมาจะยังคงไหลด้วยความเร็วเท่ากับอนุภาคของไหลที่อยู่ข้างหน้า เช่นเดียวกันนี้เกิดขึ้นเมื่อถึงจุด C และต่อไปเรื่อยๆ เส้นกระแสคือเส้นโค้งที่เชื่อมต่อจุด A, B และ C
ท่อไหล
โดยพื้นฐานแล้ว เราสามารถลากเส้นกระแสผ่านแต่ละจุดในการไหลของของเหลวได้ หากเราพิจารณาการไหลของของเหลวแบบคงที่ เส้นกระแสจำนวนหนึ่งที่ผ่านมุมหนึ่งบนพื้นที่ผิวสมมติ (พื้นที่ผิวสมมติ) จะก่อให้เกิดท่อการไหล อนุภาคของของเหลวจะไม่ตัดกัน แต่จะขนานกันเสมอ และท่อการไหลจะมีลักษณะคล้ายท่อที่มีรูปร่างเหมือนเดิมเสมอ ของเหลวที่เข้าทางปลายด้านหนึ่งของท่อจะออกจากท่อที่ปลายอีกด้านหนึ่ง
หักบัญชี
อัตราการไหล หมายถึงปริมาตรของของเหลวที่ไหลผ่านหน้าตัดที่กำหนดในช่วงเวลาที่กำหนด สามารถแสดงทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้:
เพื่อให้เข้าใจมากยิ่งขึ้น ลองใช้ตัวอย่างกัน สมมติว่าของเหลวไหลผ่านท่อ ท่อโดยทั่วไปจะมีรูปทรงกระบอกและมีพื้นที่หน้าตัดที่แน่นอน นอกจากนี้ท่อยังมีความยาวด้วย
เมื่อของเหลวไหลในท่อเป็นระยะทาง L ปริมาตรของของเหลวในท่อจะเป็น V = AL (V = ปริมาตรของของเหลว, A = พื้นที่หน้าตัด และ L = ความยาวของท่อ) เนื่องจากในระหว่างการไหลในท่อตามระยะทาง L ของเหลวจะเคลื่อนที่ในช่วงเวลาหนึ่ง ดังนั้นเราจึงสามารถกล่าวได้ว่าขนาดของการไหลของของเหลวคือ:
เนื่องจาก v = s/t = L/t —> L = vt ดังนั้นสมการข้างต้นจึงเปลี่ยนเป็น:
ดังนั้น เมื่อของเหลวไหลผ่านท่อที่มีพื้นที่หน้าตัดและความยาวค่าหนึ่งในช่วงเวลาหนึ่ง ปริมาณการไหลของของเหลว (Q) จะเท่ากับพื้นที่หน้าตัด (A) คูณด้วยความเร็วการไหลของของเหลว (v)
สมการความต่อเนื่อง
พิจารณาการไหลของของเหลวในท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางต่างกัน ดังแสดงในรูปด้านล่าง
ภาพนี้แสดงการไหลของของเหลวจากซ้ายไปขวา (ของเหลวไหลจากท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดใหญ่ไปยังท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดเล็ก) เส้นประคือเส้นแสดงกระแสการไหล
คำอธิบายภาพ: A 1 = พื้นที่หน้าตัดของท่อขนาดใหญ่, A 2 = พื้นที่หน้าตัดของท่อขนาดเล็ก, v 1 = ความเร็วการไหลของของเหลวในท่อขนาดใหญ่, v 2 = ความเร็วการไหลของของเหลวในท่อขนาดเล็ก, L = ระยะทางที่ของเหลวไหลผ่าน
ในบทนำของพลศาสตร์ของไหล ได้อธิบายไว้ว่า ในพลศาสตร์ของไหล เราจะกล่าวถึงการไหลของของไหลที่ไม่สามารถอัดได้ ไม่มีความหนืด ไม่ปั่นป่วน และคงที่ ในการไหลคงที่ ความเร็วของอนุภาคของไหล ณ จุดหนึ่งจะเท่ากับความเร็วของอนุภาคของไหลอื่นๆ ที่ผ่านจุดนั้น การไหลของของไหลจะไม่ตัดกัน (เส้นกระแสขนานกัน) ดังนั้น มวลของของไหลที่เข้าสู่ปลายด้านหนึ่งของท่อจะต้องเท่ากับมวลของของไหลที่ออกจากปลายอีกด้านหนึ่ง ถ้าของไหลที่มีมวลค่าหนึ่งเข้าสู่ท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดใหญ่ ของไหลนั้นจะออกจากท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดเล็กด้วยมวลคงที่
ทีนี้ ลองดูภาพท่อด้านบน สังเกตส่วนของท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดใหญ่ และส่วนของท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดเล็ก
ในช่วงเวลาหนึ่ง ปริมาณของเหลวจำนวนหนึ่งจะไหลผ่านท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดใหญ่ (A)1) เท่าที่ L1 (L1 = v1 t) ปริมาตรของของเหลวที่ไหลคือ V1 = A1 L1 = A1 v1 t. ในช่วงเวลาเดียวกันนั้น ของเหลวปริมาณหนึ่งไหลผ่านท่อส่วนหนึ่งที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเล็กกว่า (A)2) เท่าที่ L2 (L2 = v2 t) ปริมาตรของของเหลวที่ไหลคือ V2 = A2 L2 = A2 v2 t.
สมการความต่อเนื่องสำหรับของไหลอัดไม่ได้ (บีบอัดไม่ได้)
ขั้นแรก เรามาพิจารณากรณีของของเหลวที่ไม่สามารถอัดได้ ในของเหลวที่ไม่สามารถอัดได้ ความหนาแน่นหรือมวลของของเหลวจะเท่ากันเสมอในทุกจุดที่มันไหลผ่าน มวลของของเหลวที่ไหลในท่อที่มีพื้นที่หน้าตัด A1 (เส้นผ่านศูนย์กลางขนาดใหญ่ของท่อ) ในช่วงเวลาหนึ่งคือ:
ในทำนองเดียวกัน มวลของของเหลวที่ไหลในท่อที่มีพื้นที่หน้าตัด A 2 (เส้นผ่านศูนย์กลางท่อเล็ก) ในช่วงเวลาหนึ่งคือ:
เมื่อพิจารณาว่าในการไหลแบบคงที่ มวลของของเหลวที่ไหลเข้าจะเท่ากับมวลของของเหลวที่ไหลออก ดังนั้น:
ม1 = ม2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (ความหนาแน่นของของเหลวและช่วงเวลาเท่ากัน จึงหักล้างกันไป)
A 1 v 1 = A 2 v 2
ดังนั้น ในของไหลที่ไม่สามารถอัดได้ สมการความต่อเนื่องจึงสามารถนำมาใช้ได้:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — สมการที่ 1
ข้อสังเกต:
A 1 = พื้นที่หน้าตัด 1, A 2 = พื้นที่หน้าตัด 2, v 1 = ความเร็วการไหลของของเหลวที่หน้าตัด 1, v 2 = ความเร็วการไหลของของเหลวที่หน้าตัด 2, A v = อัตราการไหลเชิงปริมาตร V/t หรือ อัตราการไหลออก
สมการที่ 1 แสดงให้เห็นว่าอัตราการไหลเชิงปริมาตร หรือที่เรียกว่าอัตราการไหลออก จะเท่ากันเสมอในทุกจุดตลอดท่อหรือท่อส่งของเหลว เมื่อพื้นที่หน้าตัดของท่อลดลง อัตราการไหลของของเหลวจะเพิ่มขึ้น ในทางกลับกัน เมื่อพื้นที่หน้าตัดของท่อเพิ่มขึ้น อัตราการไหลของของเหลวจะลดลง
เมื่อเราปิดก๊อกน้ำเพียงบางส่วน น้ำจะไหลเร็วขึ้นกว่าตอนที่ปิดก๊อกน้ำเพียงบางส่วน เนื่องจากพื้นที่หน้าตัดของก๊อกน้ำลดลงเมื่อปิดก๊อกน้ำเพียงบางส่วน ทำให้ความเร็วการไหลของน้ำเพิ่มขึ้น (ของเหลวไหลเร็วขึ้น) หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับสายยางเช่นกัน อย่างไรก็ตาม สิ่งสำคัญที่ควรทราบคือ อัตราการไหลหรือปริมาตรการไหลยังคงเท่าเดิมตลอดแนวการไหลของน้ำ ไม่ว่าก๊อกน้ำจะปิดเพียงบางส่วนหรือไม่ก็ตาม ดังนั้น สิ่งที่เปลี่ยนแปลงคืออัตราการไหลของของเหลว
แล้วการไหลของน้ำในแม่น้ำล่ะ? ส่วนที่ลึกกว่าของแม่น้ำจะมีพื้นที่หน้าตัดมากกว่าส่วนที่ตื้นกว่า ดังนั้นอัตราการไหลของน้ำในส่วนที่ลึกกว่าจึงต่ำกว่าในส่วนที่ตื้นกว่า หากคุณเห็นแม่น้ำไหลอย่างสงบ นั่นหมายความว่าแม่น้ำนั้นลึก แต่ถ้าแม่น้ำไหลเชี่ยวขึ้นมาทันที ส่วนนั้นก็ตื้นอย่างแน่นอน อย่างไรก็ตาม อัตราการไหลของปริมาณน้ำจะเท่ากันเสมอ ไม่ว่าแม่น้ำจะลึกหรือสงบก็ตาม
สมการความต่อเนื่องสำหรับของไหลอัดได้ (อัดได้)
ในกรณีของของไหลที่อัดได้ ความหนาแน่นของของไหลจะไม่คงที่เสมอไป กล่าวคือ ความหนาแน่นของของไหลจะเปลี่ยนแปลงเมื่อถูกอัด ในขณะที่ของไหลที่อัดไม่ได้ ความหนาแน่นของของไหลจะถูกตัดออกจากสมการ แต่ในกรณีนี้ ความหนาแน่นของของไหลยังคงรวมอยู่ในสมการอยู่ อ้างอิงจากสมการที่ได้ มาแล้วก่อนหน้านี้ เรามาหาสมการสำหรับของไหลที่อัดได้กัน
เมื่อพิจารณาว่าในการไหลแบบคงที่ มวลของของเหลวที่ไหลเข้าจะเท่ากับมวลของของเหลวที่ไหลออก ดังนั้น:
ม1 = ม2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
ช่วงเวลาการไหลของของเหลวเท่ากัน ดังนั้นจึงสามารถตัดทิ้งได้ สมการจึงเปลี่ยนเป็น:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → สมการ 2
นี่คือสมการสำหรับของไหลที่อัดได้ ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวอยู่ที่ความหนาแน่นของของไหล เมื่อของไหลถูกอัด ความหนาแน่นของมันจะเปลี่ยนแปลง ในทางกลับกัน เมื่อของไหลอัดไม่ได้ ความหนาแน่นของมันจะคงที่และสามารถตัดทิ้งไปได้
ตัวอย่างคำถามข้อที่ 1:
น้ำไหลผ่านท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 10 ซม. ด้วยความเร็ว 2 ม./วินาที อัตราการไหลของน้ำเป็นเท่าใด
การอภิปราย
เป็นที่ทราบกันว่า:
เส้นผ่านศูนย์กลางท่อ = 10 ซม. (นี่คือเส้นผ่านศูนย์กลางภายในของท่อ)
รัศมีของท่อ (r) = 5 ซม. = 0,05 ม.
ปริมาตรน้ำ = 2 เมตร/วินาที
ถาม:เดบิต
คำตอบ :
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 ม.) 2 (2 ม./วินาที)
Q = (3,14)(0,0025 m 2 )(2 m/s)
Q = 0,0157 m³ / s
ตัวอย่างคำถามข้อที่ 2:
ท่อน้ำที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 ซม. ต่อกับท่ออีกท่อหนึ่งที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 10 ซม. ถ้าอัตราการไหลของน้ำในท่อขนาด 20 ซม. เท่ากับ 4 ม³/วินาที อัตราการไหลของน้ำในท่อขนาด 10 ซม. จะเป็นเท่าใด
การอภิปราย
เป็นที่ทราบกันว่า:
เส้นผ่านศูนย์กลาง 1 = 20 ซม. (r 1 = 10 ซม. = 0,1 ม.)
v 1 = 4 ม./วินาที
เส้นผ่านศูนย์กลาง 2 = 10 ซม. (r 2 = 5 ซม. = 0,05 ม.)
ถามเมื่อ : v 1
คำตอบ :
Q 1 = Q 2
A 1 v 1 = A 2 v 2
( π r 12 ) (4 เมตร/วินาที) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 ม.) 2 (4 ม./วินาที) = (0,05 ม.) 2 (v 2 )
(0,01 ม. ² )(4 ม./วินาที) = (0,0025 ม. ² )(ว. ² )
(0,04 m³ / s) = (0,0025 m² ) ( v² )
v 2 = 16 ม./วินาที
