หลักการและสมการของเบอร์นูลลี

หลักการและสมการของเบอร์นูลลี

Kเวลาขี่มอเตอร์ไซค์เร็วๆ เสื้อผ้าที่เราใส่จะพองขึ้นตรงด้านหลัง ถ้าคุณยังขี่มอเตอร์ไซค์ไม่เป็น ลองสังเกตพ่อแม่หรือเพื่อนๆ ที่ขี่มอเตอร์ไซค์ดู เสื้อผ้าของพวกเขาจะพองขึ้นตรงด้านหลังเวลาขี่มอเตอร์ไซค์เร็วๆ บางครั้งเวลาลมพัดแรง ประตูบ้านอาจปิดเองได้ ทั้งๆ ที่ลมพัดอยู่ข้างนอก แต่ประตูยังอยู่ข้างในบ้าน

สามารถอธิบายเรื่องนี้ได้โดยใช้หลักการของเบอร์นูลลี แดเนียล เบอร์นูลลี (ค.ศ. 1700–1782) ค้นพบหลักการที่สามารถนำมาใช้อธิบายเรื่องนี้ได้ บางส่วนข้างต้น.

หลักการของเบอร์นูลลี

หลักการของเบอร์นูลลีกล่าวว่า บริเวณที่ความเร็วการไหลของของเหลวสูง ความดันของของเหลวจะต่ำ ในทางกลับกัน หากความเร็วการไหลของของเหลวต่ำ ความดันจะสูง เมื่อรถจักรยานยนต์เคลื่อนที่เร็ว ความเร็วของอากาศด้านหน้าและด้านข้างตัวคุณจะสูง ดังนั้นความดันอากาศจึงต่ำลง ด้านหลังตัวคุณถูกด้านหน้าบังไว้ ดังนั้นความเร็วของอากาศด้านหลังตัวคุณจึงไม่เปลี่ยนแปลงไปมากนัก (ด้านหลังตัวคุณโดยตรง) ส่งผลให้ความดันอากาศด้านหลังตัวคุณสูงขึ้น เนื่องจากมีความแตกต่างของความดันอากาศ โดยความดันอากาศด้านหลังตัวคุณสูงกว่า อากาศจึงดันเสื้อของคุณไปด้านหลัง ทำให้ดูเหมือนว่าเสื้อของคุณพองออกด้านหลัง

แล้วถ้าเป็นประตูที่ปิดเองเมื่อลมพัดแรงข้างนอกล่ะ? อากาศข้างนอกเคลื่อนที่เร็วกว่าอากาศข้างใน ส่งผลให้ความดันอากาศข้างนอกต่ำกว่าความดันอากาศข้างใน ด้วยความแตกต่างของความดันนี้ บริเวณที่ความดันอากาศข้างในสูงกว่าจึงทำให้ประตูถูกผลักออกไปข้างนอก กล่าวอีกนัยหนึ่ง ประตูเคลื่อนที่จากที่ที่มีความดันอากาศสูงกว่าไปยังที่ที่มีความดันอากาศต่ำกว่า

สมการของเบอร์นูลลี

ก่อนหน้านี้ เราได้เรียนรู้เกี่ยวกับหลักการของเบอร์นูลลี เบอร์นูลลีได้พัฒนาหลักการนี้ในเชิงปริมาณด้วย ในการพิสูจน์สมการของเบอร์นูลลี เราต้องสมมติว่าการไหลของของเหลวเป็นแบบคงที่ แบบราบเรียบ ไม่สามารถอัดตัวได้ และมีความหนืดต่ำ ซึ่งสามารถละเลยได้

ในการอธิบายสมการความต่อเนื่อง เราได้เรียนรู้ว่าอัตราการไหลของของเหลวสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามพื้นที่หน้าตัดของท่อไหล จากหลักการของเบอร์นูลลีที่อธิบายไว้ข้างต้น ความดันของของเหลวก็สามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามอัตราการไหลของของเหลวเช่นกัน นอกจากนี้ ความดันของของเหลวยังสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามความสูงของของเหลว ความสัมพันธ์ระหว่างความดัน อัตราการไหล และความสูงของการไหล สามารถหาได้จากสมการของเบอร์นูลลี

สมการเบอร์นูลลีมีความสำคัญมากเพราะสามารถใช้ในการวิเคราะห์การบินของเครื่องบิน โรงไฟฟ้าพลังน้ำ ระบบท่อ ฯลฯ เพื่อให้สมการเบอร์นูลลีที่เราจะหาได้นั้นสามารถนำไปใช้ได้ทั่วไป เราจะสมมติว่าของเหลวไหลผ่านท่อที่มีพื้นที่หน้าตัดไม่เท่ากันและมีความสูงต่างกัน (ดูรูปด้านล่าง) ในการหาที่มาของสมการเบอร์นูลลี เราจะใช้ทฤษฎีงานและพลังงานกับของเหลวในบริเวณท่อ จากนั้นเราจะคำนวณปริมาณของเหลวและงานที่ทำเพื่อเคลื่อนย้ายของเหลว

สีทึบในท่อส่งของเหลวในภาพแสดงถึงการไหลของของเหลว ในขณะที่สีขาวแสดงว่าไม่มีของเหลวไหลผ่าน

ของเหลวที่บริเวณหน้าตัด 1 (ด้านซ้าย) ไหลเป็นระยะทาง L₁ และบังคับให้ของเหลวที่หน้าตัดที่ 2 (ด้านขวา) เคลื่อนที่ไปเป็นระยะทาง L₂เนื่องจากพื้นที่หน้าตัด 2 ทางด้านขวาเล็กกว่า อัตราการไหลของของเหลวทางด้านขวาของท่อจึงมากกว่า (จำสมการความต่อเนื่องได้ไหม) สิ่งนี้ทำให้เกิดความแตกต่างของความดันระหว่างพื้นที่หน้าตัด 2 (ด้านขวาของท่อ) และพื้นที่หน้าตัด 1 (ด้านซ้ายของท่อ) – จำหลักการของเบอร์นูลลีได้ไหม ของเหลวทางด้านซ้ายของพื้นที่หน้าตัด 1 จะออกแรงดัน P₁ บนของเหลวทางด้านขวาและทำหน้าที่ดังต่อไปนี้:

จากนั้นสมการ W₁ สามารถเขียนได้ดังนี้:

W₁ = พี₁ A₁ L₁

ที่หน้าตัดที่ 2 (ด้านขวาของท่อไหล) งานที่ทำต่อของเหลวคือ:

W₂ = − p₂ A₂ L₂

เครื่องหมายลบแสดงว่าแรงที่กระทำมีทิศทางตรงข้ามกับทิศทางการเคลื่อนที่ ดังนั้น ของเหลวจึงทำงานไปทางด้านขวาของส่วนที่ 2 นอกจากนี้ แรงโน้มถ่วงก็ทำงานกับของเหลวด้วย ในกรณีข้างต้น มวลของของเหลวจำนวนหนึ่งถูกแทนที่จากส่วนที่ 1 เป็นระยะทาง L₁ ถึงหน้าตัดที่ 2 ไกลถึง L₂โดยที่ปริมาตรของของเหลวที่หน้าตัด 1 (A)₁ L₁) = ปริมาตรของของเหลวที่หน้าตัด 2 (A₂ L₂งานที่เกิดจากแรงโน้มถ่วงคือ:

W₃ = − มก. (ชม.)₂ - ชม₁)

W₃ = − มก.₂ + มก.₁)

W₃ = มก.₁ - มกห์₂

เครื่องหมายลบเกิดจากการที่ของเหลวไหลขึ้นด้านบน ซึ่งตรงข้ามกับทิศทางของแรงโน้มถ่วง ดังนั้น งานทั้งหมดที่กระทำต่อของเหลว ดังแสดงในรูปด้านบน คือ:

W = W₁ + W₂ + W₃

W = P₁ A₁ L₁ - พี₂ A₂ L₂ + มก.₁ - มกห์₂

ทฤษฎีงาน-พลังงานกล่าวว่า งานทั้งหมดที่กระทำต่อระบบเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ ดังนั้น เราจึงสามารถแทนที่งาน (W) ด้วยการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ (EK) ได้₂ - อีเค₁).

เราสามารถเขียนสมการข้างต้นใหม่ได้ดังนี้:

W = P₁ A₁ L₁ - พี₂ A₂ L₂ + มก.₁ - มกห์₂

EK₂ - อีเค₁ = P₁ A₁ L₁ - พี₂ A₂ L₂ + มก.₁ - มกห์₂

1/2 มิลลิโวลต์₂² – 1/2 มิลลิโวลต์₁² = P₁ A₁ L₁ - พี₂ A₂ L₂ + มก.₁ - มกห์₂

มวลของของเหลวไหลเป็นระยะทาง L₁ บนหน้าตัด A₁ = มวลของของเหลวที่ไหลเป็นระยะทาง L₂ (ภาคตัดขวาง A)₂สมมติว่าของเหลวมีมวล m และมีปริมาตร A₁L₁ และเอ₂ L₂ โดยที่ A₁ L₁ = A₂ L₂ (L₂ ยาวกว่า L₁).

ตอนนี้เราจะแทนที่ m ในสมการข้างต้นด้วย m = ρ AL:

นี่คือสมการเบอร์นูลลี เราได้สมการเบอร์นูลลีมาจากหลักการงาน-พลังงาน ดังนั้นมันจึงเป็นรูปแบบหนึ่งของกฎการอนุรักษ์พลังงาน

ข้อสังเกต:

P = ความดัน

ρ = ความหนาแน่นของของเหลว

v = ความเร็วการไหลของของเหลว

g = ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง

h = ความสูงของท่อส่งน้ำจากพื้นดิน

ด้านซ้ายและด้านขวาของสมการเบอร์นูลลีข้างต้นสามารถหมายถึงจุดสองจุดใดๆ ตามท่อการไหลได้ ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนสมการข้างต้นใหม่ได้ดังนี้:

สมการนี้ระบุว่า ผลรวมทั้งหมดของปริมาณในสมการมีค่าเท่ากันตลอดทั้งท่อไหล

ต่อไปนี้เรามาทบทวนสมการของเบอร์นูลลีในบางกรณีกัน

สมการของเบอร์นูลลีสำหรับของไหลที่หยุดนิ่ง

กรณีพิเศษของสมการของเบอร์นูลลีคือสำหรับของไหลที่หยุดนิ่ง (ของไหลสถิต) เมื่อของไหลหยุดนิ่ง มันจะไม่มีความเร็ว ดังนั้น v = 0₁ = v₂ = 0. ในกรณีของของเหลวที่อยู่นิ่ง เราสามารถกำหนดสมการเบอร์นูลีได้ดังนี้:

ถ้า h₂ - ชม₁ ถ้า h = h แล้วสมการนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

p₁ - พี₂ = ρ g (h₂ - ชม₁)

p₁ - พี₂ = ρ gh

สมการของเบอร์นูลลีสำหรับการไหลในท่อหรือท่อที่มีความสูงเท่ากัน

ถ้าความสูงของท่อหรือช่องทางการไหลเท่ากัน สมการของเบอร์นูลลีจะเปลี่ยนเป็น: