โมเมนต์ความเฉื่อย

โมเมนต์ความเฉื่อยของวัสดุ

มีวัตถุสองชิ้น ชิ้นหนึ่งมีมวลน้อย อีกชิ้นหนึ่งมีมวลมาก วัตถุชิ้นไหนจะเคลื่อนที่ได้ง่ายกว่ากัน ถ้าถูกผลักด้วยแรงเท่ากัน? ข้อเท็จจริงแสดงให้เห็นว่า วัตถุที่มีมวลน้อยกว่าจะเคลื่อนที่ได้ง่ายกว่าวัตถุที่มีมวลมากกว่า ดังนั้น ขนาดของมวลของวัตถุจึงเป็นตัวกำหนดขนาดของความเร่งของวัตถุ เมื่อมีแรงมากระทำ ถ้าในการเคลื่อนที่ในแนวตรง มวลของวัตถุเป็นตัวกำหนดว่าวัตถุจะเคลื่อนที่ได้ง่ายหรือยาก (เร่งความเร็ว) แล้ว ในการเคลื่อนที่แบบหมุน โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุจะเป็นตัวกำหนดว่าวัตถุจะเคลื่อนที่ได้ง่ายหรือยาก

อนุภาค
พิจารณาอนุภาคที่กำลังหมุน อนุภาคที่มีมวล m ได้รับแรง F ทำให้หมุนรอบแกนหมุน O อนุภาคอยู่ห่างจากแกนหมุนเป็นระยะ r ในตอนเริ่มต้น อนุภาคอยู่นิ่ง (v = 0) หลังจากถูกแรง F กระทำ อนุภาคจะหมุนด้วยความเร็วค่าหนึ่ง ทำให้มีความเร่งในแนวสัมผัส (a tan)
ความสัมพันธ์ระหว่างแรง (F) มวล (m) และความเร่งสัมผัส (a tan) ของอนุภาค สามารถแสดงได้ด้วยสมการ:
อนุภาคหมุนทำให้เกิดความเร่งเชิงมุม ความสัมพันธ์ระหว่างความเร่งสัมผัสและความเร่งเชิงมุมแสดงได้ด้วยสมการ:
แทนที่หรือเปลี่ยนค่าความเร่งสัมผัส (a tan) ในสมการที่ 3 ด้วยค่าความเร่งสัมผัส (a tan) ในสมการที่ 4
คูณด้านซ้ายและด้านขวาด้วย r:
r F คือโมเมนต์ของแรง และ mr² คือโมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาค I) สมการที่ 5 ระบุความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์ของแรง โมเมนต์ความเฉื่อย และความเร่งเชิงมุมของอนุภาคที่หมุน สมการที่ 5 คือสมการกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับอนุภาคที่หมุน
I คือผลคูณของมวลของอนุภาค (m) และกำลังสองของระยะห่างของอนุภาคจากแกนหมุน (r)²).
ข้อสังเกต:
I = โมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาค, m = มวลของอนุภาค, r = ระยะห่างระหว่างอนุภาคกับแกนหมุน
สมการที่ 6 ใช้ในการกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาคที่กำลังหมุน
เพื่อให้คุณเข้าใจเนื้อหาการทบทวนเกี่ยวกับโมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาคได้ดียิ่งขึ้น โปรดอ่านต่อ ศึกษาตัวอย่างปัญหาเกี่ยวกับโมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาค

วัตถุแข็งที่เป็นเนื้อเดียวกัน
วัตถุแข็งเกร็งประกอบด้วยอนุภาคจำนวนมากที่กระจายอยู่ทั่วทั้งวัตถุ โมเมนต์ของวัตถุแข็งเกร็งคือผลรวมของโมเมนต์ของแต่ละอนุภาคที่ประกอบกันเป็นวัตถุแข็งเกร็งนั้น
ในการหาค่าโมเมนต์ (I) ของวัตถุแข็งเกร็ง จะต้องสังเกตวัตถุขณะที่มันกำลังหมุน เนื่องจากตำแหน่งของแกนหมุนมีผลต่อค่าโมเมนต์ นอกจากจะขึ้นอยู่กับตำแหน่งของแกนหมุนแล้ว ค่าโมเมนต์ (I) ของอนุภาคยังขึ้นอยู่กับมวลของอนุภาค (m) และกำลังสองของระยะห่างของอนุภาคจากแกนหมุน (r) ด้วย²มวลของอนุภาคทั้งหมดที่ประกอบกันเป็นวัตถุนั้นเท่ากับมวลของวัตถุนั้นเอง ปัญหาคือ ระยะห่างของแต่ละอนุภาคจากแกนหมุนนั้นแตกต่างกัน
พิจารณาการหาที่มาของสูตรสำหรับวงแหวนบางที่มีรัศมี R และมวล M ถ้าแกนหมุนอยู่ที่ศูนย์กลางของวงแหวน อนุภาคทั้งหมดที่ประกอบเป็นวงแหวนจะอยู่ห่างจากแกนหมุนเป็นระยะ r โมเมนต์ความเร่ง I ของวงแหวนบางจะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ของอนุภาคทั้งหมดที่ประกอบเป็นวงแหวน
อนุภาคแต่ละอนุภาคที่ประกอบเป็นวงแหวนบางๆ นั้นอยู่ห่างจากแกนหมุนเป็นระยะ r ดังนั้น r₁ = r₂ = r₃ = r = R.
สูตรสำหรับแหวนบาง:
I = MR²
ข้อสังเกต:
I = โมเมนต์ความเฉื่อยของวงแหวนบาง, M = มวลของวงแหวนบาง, R = รัศมีของวงแหวนบาง
ถ้าแกนหมุนไม่ได้อยู่ที่ศูนย์กลางของวงแหวนล่ะ? ถ้าแกนหมุนไม่ได้อยู่ที่ศูนย์กลางของวงแหวน สูตรสำหรับวงแหวนบางจะไม่สามารถหาได้โดยใช้วิธีข้างต้น เนื่องจากระยะห่างของแต่ละอนุภาคจากแกนหมุนนั้นแตกต่างกัน

สูตรสำหรับวัตถุแข็งที่เป็นเนื้อเดียวกัน
ต่อไปนี้เป็นสูตรสำหรับวัตถุแข็งเกร็งที่เป็นเนื้อเดียวกันหลายชนิด

ตัวอย่างคำถาม

1. ข้อสอบระดับชาติ SMA/MA ปี 2017

โปรดให้ความสนใจกับตารางต่อไปนี้!

วัตถุ P, Q และ R เชื่อมต่อกันด้วยแท่งไร้มวล ขนาดของโมเมนต์ความเฉื่อยของระบบรอบแกนที่ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่านแกนของวัตถุ P คือ…

การอภิปราย

เป็นที่ทราบกันดีว่า:

คำถาม:โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบ

คำตอบ:

โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุ Q:

I _Q = mr ² = (0,5)(10 ² ) = (0,5)(100) = 50 kg m ²

โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุ R:

I _R = mr ² = (3)(6 ² ) = (3)(36) = 108 kg m ²

โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุ P:

แกนการหมุนผ่านแกนของวัตถุ P ดังนั้น r = 0

โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบ:

I = 50 กก. ม. ^² + 108 กก. ม. ^²

I = 158 กก. ม. ²