ในเนื้อหาเกี่ยวกับกฎของคูลอมบ์ ได้มีการศึกษาแรงระหว่างประจุไฟฟ้า ในการทบทวนเรื่องสนามไฟฟ้าได้มีการกล่าวถึงกฎของคูลอมบ์อีกรูปแบบหนึ่ง ซึ่งแสดงออกมาในรูปสมการ F = q E โดยที่ F คือแรงไฟฟ้า q คือประจุไฟฟ้า และ E คือสนามไฟฟ้า อาจกล่าวได้ว่ากฎของคูลอมบ์เป็นกฎทางฟิสิกส์ที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างประจุไฟฟ้า (q) และสนามไฟฟ้า (E)
กฎของเกาส์เป็นอีกหนึ่งกฎทางฟิสิกส์ที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างประจุไฟฟ้าและสนามไฟฟ้า กฎของเกาส์ถูกคิดค้นโดยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (ค.ศ. 1777–1855) นักฟิสิกส์ทฤษฎีและนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน สนามไฟฟ้าที่เกิดจากประจุไฟฟ้าหนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นสามารถคำนวณได้ง่ายโดยใช้กฎของคูลอมบ์ แต่การคำนวณจะซับซ้อนมากขึ้นหากต้องการหาค่าสนามไฟฟ้าที่เกิดจากการกระจายตัวของประจุไฟฟ้า กฎของเกาส์ช่วยให้หาค่าสนามไฟฟ้าที่เกิดจากการกระจายตัวของประจุไฟฟ้าได้ง่ายขึ้น นอกจากนี้ หากทราบค่าสนามไฟฟ้าแล้ว กฎของเกาส์ยังสามารถใช้เพื่อหาการกระจายตัวของประจุไฟฟ้าที่ก่อให้เกิดสนามไฟฟ้าได้ ต่อไปนี้จะกล่าวถึงแนวคิดและสูตรของกฎของเกาส์
พิจารณาประจุไฟฟ้าบวกที่อยู่ตรงกลางลูกบอลดังแสดงในภาพด้านข้าง ถ้าหากรัศมีของลูกบอลคือ R แล้ว ความเข้มของสนามไฟฟ้าที่เกิดจากประจุบนพื้นผิวของลูกบอลคือ E = k Q / R2 และพื้นที่ผิวของทรงกลมคือ A = 4 π R2เพื่อแสดงภาพสนามไฟฟ้า จึงมีการวาดเส้นสนามไฟฟ้า แต่ในรูปแสดงเพียงสี่เส้น เนื่องจากประจุไฟฟ้าเป็นบวก เส้นสนามไฟฟ้าจึงถูกวาดให้ลากออกจากจุดศูนย์กลางของทรงกลมซึ่งเป็นที่ตั้งของประจุไฟฟ้า และแต่ละเส้นสนามไฟฟ้าจะตั้งฉากกับพื้นผิวของทรงกลมที่มันลากผ่าน ยิ่งอยู่ห่างจากประจุไฟฟ้ามากเท่าใด สนามไฟฟ้าก็จะยิ่งเล็กลง ดังนั้นระยะห่างระหว่างเส้นสนามไฟฟ้าก็จะเพิ่มขึ้นด้วย
ปริมาณฟลักซ์ไฟฟ้าที่ทะลุผ่านพื้นผิวของทรงกลมคำนวณได้จากสูตรต่อไปนี้:
คำอธิบาย: Φ = ฟลักซ์ไฟฟ้า, Q = ประจุไฟฟ้า, k = 9 x 10⁹ N m² / C² , ε₀ (ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าของสุญญากาศ) = 8,85 x 10⁻¹² C² /N m² , π = 3,14จากสมการนี้ สรุปได้ว่า ฟลักซ์ไฟฟ้า ( Φ ) ที่ผ่านพื้นผิวทรงกลมเป็นสัดส่วนโดยตรงกับปริมาณประจุไฟฟ้า (Q) ในนั้น และไม่ขึ้นอยู่กับรัศมีของทรงกลม (R)
รูปทางด้านขวาแสดงพื้นผิวปิดสี่พื้นผิวที่มีประจุไฟฟ้า Q อยู่ภายใน พื้นผิวแรกเป็นทรงกลม ในขณะที่พื้นผิวอื่นๆ มีรูปร่างไม่สม่ำเสมอ ประจุไฟฟ้าเป็นบวก ดังนั้นเส้นสนามไฟฟ้าที่แสดงด้วยลูกศรสี่ลูกจึงถูกลากออกมาจากประจุ เส้นสนามไฟฟ้าทั้งสี่เส้นผ่านพื้นผิวทรงกลมและพื้นผิวอื่นๆ ที่มีรูปร่างไม่สม่ำเสมอ ในการทบทวนเกี่ยวกับ ฟลักซ์ไฟฟ้า มีการระบุว่า ฟลักซ์ไฟฟ้า คือ เส้นแรงสนามไฟฟ้าที่แทรกซึมผ่านพื้นที่ผิวที่กำหนดไว้เส้นแรงสนามไฟฟ้าที่ทะลุผ่านพื้นผิวทั้งสี่นั้นเหมือนกัน ดังนั้นฟลักซ์ไฟฟ้าบนพื้นผิวทั้งสี่จึงมีค่าเท่ากัน ฟลักซ์ไฟฟ้าที่ทะลุผ่านพื้นผิวทรงกลมมีค่าเท่ากับ Φ = Q/εo ดังนั้นฟลักซ์ไฟฟ้าที่ทะลุผ่านพื้นผิวอื่นๆ ที่มีรูปร่างไม่สม่ำเสมอจึงมีค่าเท่ากัน กล่าวคือ Φ = Q/εoจากคำอธิบายนี้ สรุปได้ว่าฟลักซ์ไฟฟ้าที่ทะลุผ่านพื้นผิวปิดที่มีประจุไฟฟ้าอยู่ภายในนั้นไม่ขึ้นอยู่กับรูปร่างของพื้นผิว และขนาดของฟลักซ์คือ Φ = 4 π k Q = Q/εo.
รูปทางด้านขวาแสดงประจุไฟฟ้าสองตัวที่อยู่ภายในพื้นผิวปิด ประจุ Q1 และคิว2 เป็นค่าบวก ดังนั้นหากแสดงภาพแล้ว ประจุแต่ละตัวจะมีเส้นสนามไฟฟ้าที่ทะลุออกมาจากภายในพื้นผิว ฟลักซ์ไฟฟ้ารวมคือจำนวนเส้นสนามไฟฟ้าทั้งหมดที่ทะลุออกมาจากพื้นผิวปิด เนื่องจากเส้นสนามไฟฟ้าของประจุ Q1 เทียบเท่ากับฟลักซ์ไฟฟ้า Φ = Q1/ εo และเส้นสนามไฟฟ้าของประจุ Q2 เทียบเท่ากับฟลักซ์ไฟฟ้า Φ = Q2/ εo ดังนั้นจำนวนเส้นสนามไฟฟ้าทั้งหมดจึงเท่ากับ Q1/ εo + Q2/ εo = 1/εo (Q1 + Q2).
จากคำอธิบายนี้ สรุปได้ว่าฟลักซ์ไฟฟ้าทั้งหมดเท่ากับ 1/εo คูณด้วยประจุไฟฟ้าทั้งหมดในพื้นผิวปิด ซึ่งข้อความนี้คือ กฎของเกาส์ ในทางคณิตศาสตร์:
Φ ผลรวม = 1/ε o ( ผลรวม Q ) ———- สมการกฎของเกาส์
Q รวม คือปริมาณประจุไฟฟ้าทั้งหมดภายในพื้นผิวปิด หากมีประจุไฟฟ้าอยู่นอกพื้นผิวปิด ประจุนั้นจะไม่ถูกนำมาพิจารณาเนื่องจากฟลักซ์ไฟฟ้าที่เกิดขึ้นเป็นศูนย์ ฟลักซ์ไฟฟ้าเป็นศูนย์เนื่องจากเส้นแรงสนามไฟฟ้าที่เกิดจากประจุจะแทรกเข้าไปในพื้นผิวปิดแล้วออกมาอีกครั้ง ทำให้ฟลักซ์รวมเป็นศูนย์ พื้นผิวปิดในกฎของเกาส์เป็นพื้นผิวสมมติที่ใช้ในการคำนวณฟลักซ์ไฟฟ้าที่เกิดจากประจุไฟฟ้า กล่าวอีกนัยหนึ่ง ประจุไฟฟ้าไม่จำเป็นต้องอยู่ภายในพื้นผิวปิดจริง กฎของเกาส์สามารถใช้ในการกำหนดสนามไฟฟ้าได้หากทราบการกระจายตัวของประจุไฟฟ้า หรือสามารถใช้ในการกำหนดการกระจายตัวของประจุไฟฟ้าได้หากทราบสนามไฟฟ้า การใช้กฎของเกาส์ในการแก้ปัญหาต่างๆ ได้อธิบายไว้ในบทความเรื่อง " การกำหนดสนามไฟฟ้าโดยใช้กฎของเกาส์ "
