กฎของอาร์คิมีดีส

เนื้อหาเกี่ยวกับกฎของอาร์คิมีดีส

คุณเคยเห็นเรือไหม? ถ้าคุณไม่เคยเห็นด้วยตาตัวเอง หวังว่าคุณคงเคยเห็นในโทรทัศน์หรืออินเทอร์เน็ต เรือที่มีมวลมากจะไม่จม ในขณะที่ก้อนหินเล็กๆ เบาๆ กลับจมได้ ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น? คำตอบนั้นค่อนข้างง่าย หากคุณเข้าใจหลักการของแรงลอยตัวและหลักการของอาร์คิมิดีส

ในชีวิตประจำวัน เราจะพบว่าวัตถุที่อยู่ในของเหลว เช่น ก้อนหิน จะมีน้ำหนักน้อยกว่าเมื่อวัตถุนั้นไม่ได้อยู่ในของเหลว คุณอาจยกก้อนหินจากพื้นดินได้ยาก แต่ก้อนหินเดียวกันนั้นสามารถยกขึ้นจากก้นสระได้อย่างง่ายดาย นี่เป็นเพราะแรงลอยตัว แรงลอยตัวเกิดขึ้นเนื่องจากความแตกต่างของความดันของเหลวที่ระดับความลึกต่างกัน ความดันของเหลวจะเพิ่มขึ้นตามความลึก ยิ่งของเหลวอยู่ลึก ความดันของเหลวก็จะยิ่งมากขึ้น เมื่อวางวัตถุลงในของเหลว จะมีความแตกต่างของความดันระหว่างของเหลวที่อยู่เหนือวัตถุและของเหลวที่อยู่ใต้วัตถุ ของเหลวที่อยู่ด้านล่างของวัตถุจะมีความดันมากกว่าของเหลวที่อยู่ด้านบนของวัตถุ

แรงลอยตัว

ในภาพจะเห็นวัตถุลอยอยู่ในน้ำ ของเหลวที่อยู่ด้านล่างวัตถุมีความดันมากกว่าของเหลวที่อยู่ด้านบนวัตถุ เนื่องจากของเหลวที่อยู่ด้านล่างวัตถุมีความลึกมากกว่าของเหลวที่อยู่ด้านบนวัตถุ (h)₂ > h₁).

F₂ = แรงที่ของเหลวกระทำต่อด้านล่างของวัตถุ, F₁ = แรงที่ของเหลวกระทำต่อด้านบนของวัตถุ, A = พื้นที่ผิวของวัตถุ

ความแตกต่างระหว่าง F₂ และเอฟ₁ แรงลอยตัว คือ แรงทั้งหมดที่ของเหลวกระทำต่อวัตถุ ซึ่งเรารู้จักกันในชื่อแรงลอยตัว ขนาดของแรงลอยตัวคือ:

แรงลอยตัว F = F₂ − เอฟ₁

แรงลอยตัว F = (ρ gh₂ A ) − (ρ gh₁ A)

แรงลอยตัว F = ρ g A ( h₂ - ชม₁)

แรงลอยตัว F = ρ g A h

แรงลอยตัว F = ρ g V

ข้อสังเกต:

ρ = ความหนาแน่นของของเหลว

g = ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง

V = ปริมาตรของวัตถุในของเหลว

ดังนั้นสมการที่ระบุขนาดของแรงลอยตัว (F buoyancy) ข้างต้นจึงสามารถเขียนได้ดังนี้:

แรงลอยตัว F = ρ_F g V → m = ρ V

แรงลอยตัว F = m_F g

แรงลอยตัว F = w_F

m_F g = w_F = น้ำหนักของของเหลวที่มีปริมาตรเท่ากับปริมาตรของวัตถุที่จมอยู่ใต้น้ำ

ตัวอย่างของแรงลอยตัว

หลักการของอาร์คิมีดีส

จากสมการข้างต้น เราสามารถกล่าวได้ว่า แรงลอยตัวเท่ากับน้ำหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่ และปริมาตรของของเหลวที่ถูกแทนที่เท่ากับปริมาตรของวัตถุที่จุ่มอยู่ในของเหลวนั้น

ถ้าวัตถุชิ้นหนึ่งจุ่มลงในของเหลวแล้วลอยอยู่ โดยมีเพียงบางส่วนของวัตถุจมอยู่ในของเหลว ปริมาตรของของเหลวที่ถูกแทนที่นั้นจะเท่ากับปริมาตรของส่วนของวัตถุที่จมอยู่ในของเหลว ไม่ว่าวัตถุจะมีรูปร่างหรือขนาดอย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ก็จะเหมือนกันหมด นี่คือผลงานของอาร์คิมิดีส (287-212 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อหลักการของอาร์คิมิดีส

หลักการของอาร์คิมีดีสกล่าวว่า:

เมื่อวัตถุจมอยู่ในของเหลวทั้งหมดหรือบางส่วน ของเหลวจะออกแรงดันขึ้น (แรงลอยตัว) ต่อวัตถุ โดยขนาดของแรงดันขึ้น (แรงลอยตัว) จะเท่ากับน้ำหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่

เรื่องราวของอาร์คิมิดีส

อาร์คิมิดีส ผู้มีชีวิตอยู่ระหว่างปี 287 ถึง 212 ก่อนคริสต์ศักราช ได้รับมอบหมายจากกษัตริย์ฮีรอนที่ 2 ให้ตรวจสอบว่ามงกุฎที่ทำขึ้นสำหรับกษัตริย์นั้นทำจากทองคำบริสุทธิ์หรือไม่ ในตอนแรก อาร์คิมิดีสสับสนว่ามงกุฎนั้นทำจากทองคำบริสุทธิ์หรือมีโลหะอื่นผสมอยู่ด้วย ปัญหาคือมงกุฎมีรูปทรงไม่สม่ำเสมอและไม่สามารถทำลายเพื่อตรวจสอบว่าเป็นทองคำบริสุทธิ์หรือไม่

หลักการในการตรวจสอบว่ามงกุฎของกษัตริย์ทำจากทองคำบริสุทธิ์หรือไม่ คือการหาค่าความหนาแน่นสัมพัทธ์ของมงกุฎก่อน แล้วจึงนำไปเปรียบเทียบกับค่าความหนาแน่นสัมพัทธ์ของทองคำ หากมงกุฎทำจากทองคำบริสุทธิ์ ค่าความหนาแน่นสัมพัทธ์ของมงกุฎจะเท่ากับค่าความหนาแน่นสัมพัทธ์ของทองคำ

ความหนาแน่นสัมพัทธ์ของวัตถุ คือ อัตราส่วนของน้ำหนักของวัตถุในอากาศต่อน้ำหนักของน้ำที่มีปริมาตรเท่ากับวัตถุนั้น ในทางคณิตศาสตร์เขียนได้ดังนี้:

จะหาค่าน้ำหนักของน้ำที่มีปริมาตรเท่ากับปริมาตรของวัตถุได้อย่างไร?

ตามทฤษฎีของอาร์คิมิดีส น้ำหนักของน้ำที่มีปริมาตรเท่ากับปริมาตรของวัตถุ จะเท่ากับขนาดของแรงลอยตัวเมื่อวัตถุจมลง (วัตถุทั้งหมดจมอยู่ในน้ำ) ซึ่งก็คือ น้ำหนักที่หายไปของวัตถุเมื่อชั่งน้ำหนักในน้ำนั่นเอง ดังนั้น:

ในการหาค่าความหนาแน่นสัมพัทธ์ของมงกุฎ ขั้นแรกให้ชั่งน้ำหนักมงกุฎในอากาศ (น้ำหนักของมงกุฎในอากาศ) จากนั้น นำมงกุฎไปแช่ในน้ำแล้วชั่งน้ำหนักอีกครั้งเพื่อหาน้ำหนักของมงกุฎที่หายไป ดังนั้น:

เมื่อได้ค่าความหนาแน่นสัมพัทธ์ของมงกุฎแล้ว ก็จะนำไปเปรียบเทียบกับความหนาแน่นสัมพัทธ์ของทองคำ ซึ่งความหนาแน่นสัมพัทธ์ของทองคำคือ 19,3 ถ้าความหนาแน่นสัมพัทธ์ของมงกุฎเท่ากับความหนาแน่นสัมพัทธ์ของทองคำ แสดงว่ามงกุฎนั้นทำจากทองคำบริสุทธิ์ แต่ถ้าหากมงกุฎไม่ได้ทำจากทองคำบริสุทธิ์ ความหนาแน่นสัมพัทธ์ของมงกุฎก็จะไม่เท่ากับความหนาแน่นสัมพัทธ์ของทองคำ

ทำไมเรือถึงไม่จม?

ถ้าความหนาแน่นของวัตถุน้อยกว่าความหนาแน่นของน้ำ วัตถุนั้นจะลอย ในทางกลับกัน ถ้าความหนาแน่นของวัตถุมากกว่าความหนาแน่นของน้ำ วัตถุนั้นจะจม เรือส่วนใหญ่ทำจากเหล็กและเหล็กกล้า ความหนาแน่นของเหล็กและเหล็กกล้า = 7,8 x 10⁻³³ กิโลกรัม / เมตร³ ในขณะที่ความหนาแน่นของน้ำ = 1,00 x 10³ กิโลกรัม / เมตร³ดูเหมือนว่าความหนาแน่นของเหล็กและเหล็กกล้าจะมากกว่าความหนาแน่นของน้ำ ในกรณีนี้ ความถ่วงจำเพาะของเหล็กและเหล็กกล้าเท่ากับ 7,8 เรือที่ทำจากเหล็กและเหล็กกล้าควรจะจม ทำไมเรือถึงไม่จม? เพราะความหนาแน่นรวมของเรือน้อยกว่าความหนาแน่นของน้ำหรือน้ำทะเล

ตัวอย่างคำถามเกี่ยวกับกฎของอาร์คิมิดีส

ตัวอย่างคำถามข้อที่ 1:

ก้อนหินหนัก 40 กิโลกรัมอยู่ที่ก้นสระน้ำ ถ้าปริมาตรของก้อนหินเท่ากับ 0,2 ลูกบาศก์เมตร³ แรงเท่าไหร่ ต้องใช้ปริมาณขั้นต่ำเท่าไหร่ถึงจะยกหินได้?

การอภิปราย

เป็นที่ทราบกันว่า:

มวลของหิน (เมตร) = 40 กิโลกรัม

ปริมาตรของหิน (V) = 0,02 ม³³

ความหนาแน่นของน้ำ = 1000 กก./ลบ.ม.³

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 m/s²²

ถาม: ขั้นต่ำ F

คำตอบ :

แรงลอยตัว F = w F

แรงลอยตัว F = m F g → m = pV

แรงลอยตัว F = ρ F g V

แรงลอยตัว F = (1000 กก./ม.³ )(10 ม./วินาที²)(0,02 ม.³)

แรงลอยตัว F = 200 กก. ม./วินาที²

แรงลอยตัว F = 200 นิวตัน

น้ำหนักของหิน (w) = มิลลิกรัม

น้ำหนักของหิน = (40 กก.)(10 ม./วินาที)²)

น้ำหนักของหิน = 400 กก. ม./วินาที²

น้ำหนักของหิน = 400 นิวตัน

แรงขั้นต่ำที่ต้องใช้ในการยกหิน:

น้ำหนักของหิน – แรงลอยตัว = 400 นิวตัน – 200 นิวตัน = 200 นิวตัน

ตัวอย่างคำถามข้อที่ 2:

น้ำหนักของวัตถุในอากาศ = 5000 กก. ม./วินาที² และน้ำหนักของวัตถุในน้ำ = 4000 กก. ม./วินาที²ถ้าความหนาแน่น วัตถุ = 2000 กก./ม.³ วัตถุนี้มีมวลและปริมาตรเท่าไร? g = 10 m/s²²

การอภิปราย

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 m/s²²

ความหนาแน่นของวัตถุ = 2000 กก./ลบ.ม.³

ความหนาแน่นของน้ำ = 1000 กก./ลบ.ม.³

น้ำหนักของวัตถุในอากาศ = 5000 กก. ม./วินาที²

น้ำหนักของวัตถุในน้ำ = 4000 กก. ม./วินาที²

แรงลอยตัว (F buoyant) = น้ำหนักของวัตถุในอากาศ – น้ำหนักของวัตถุในน้ำ

แรงลอยตัว F = 5000 กก. ม./วินาที² – 4000 กก. ม./วินาที²

แรงลอยตัว F = 1000 กก. ม./วินาที²

แรงลอยตัว F = น้ำหนักของน้ำที่ถูกแทนที่

แรงลอยตัว F = (มวลของน้ำ)(กรัม)

แรงลอยตัว F = (ปริมาตรน้ำที่ถูกแทนที่)(ความหนาแน่นของน้ำ)(กรัม)

ปริมาตรน้ำที่ถูกแทนที่ = ปริมาตรของวัตถุที่จมอยู่ในน้ำ 😉

ดังนั้นปริมาตรของวัตถุเท่ากับ 0,1 ลูกบาศก์เมตร³

มวลของวัตถุ = ?

ρ = ม. / วี

m = ρ V

ม. = (2000 กก./ม.)³ )( 0,1 ม.³ )

ม. = 200 กก.

มวลของวัตถุ = 200 กิโลกรัม

ตัวอย่างคำถามข้อที่ 3:

ต้องใช้ฮีเลียมปริมาตรเท่าใดหากบอลลูนต้องยกน้ำหนัก 500 กิโลกรัม?

การอภิปราย

ความหนาแน่นของฮีเลียม = 0,1786 กก./ลบ.ม.³

ความหนาแน่นของอากาศ = 1,293 กก./ลบ.ม.³

แรงลอยตัว = น้ำหนักของอากาศที่ถูกแทนที่ = น้ำหนักของสิ่งของ + น้ำหนักของฮีเลียม

แรงลอยตัว = น้ำหนักของสิ่งของ + น้ำหนักของฮีเลียม

แรงลอยตัว = (มวลของสิ่งของ)(กรัม) + (มวลของฮีเลียม)(กรัม)

แรงลอยตัว = (มวลของสิ่งของ + มวลของฮีเลียม) กรัม —- สมการที่ 1

แรงลอยตัว = น้ำหนักของอากาศที่ถูกแทนที่

แรงลอยตัว = (มวลของอากาศที่ถูกแทนที่)(กรัม) —- สมการที่ 2

เรานำสมการที่ 1 และสมการที่ 2 มาผสานกัน:

(มวลของน้ำหนักบรรทุก + มวลของฮีเลียม)(กรัม) = (มวลของอากาศที่ถูกแทนที่)(กรัม)

มวลของน้ำหนักบรรทุก + มวลของฮีเลียม = มวลของอากาศที่ถูกแทนที่

500 กก. + (ρ ฮีเลียม)(V ฮีเลียม) = (ρ อากาศ)( V อากาศ)

500 กก. = (ρ อากาศ)(V อากาศ) – (ρ ฮีเลียม)( V ฮีเลียม)

ปริมาตรอากาศที่ถูกแทนที่ (V air) = ปริมาตรฮีเลียมที่เติมลงในลูกโป่ง (V helium)

500 กก. = (ρ อากาศ – ρ ฮีเลียม)(V)

นี่คือปริมาตรฮีเลียมขั้นต่ำที่จำเป็นในการยกน้ำหนักที่พื้นผิวโลก หากต้องการให้บอลลูนลอยสูงขึ้น ปริมาตรของฮีเลียมจะต้องเพิ่มขึ้น เนื่องจากความหนาแน่นของอากาศลดลงตามระดับความสูง