ชีวิตของเราในปัจจุบันสะดวกสบายและง่ายขึ้นมากด้วยการมีพาหนะที่มีล้อ อุปกรณ์ทันสมัยต่างๆ เช่น เครื่องกำเนิดไฟฟ้า เครื่องจักรกล พัดลม เครื่องตัดหญ้า เครื่องพ่นน้ำสำหรับดอกไม้ และอื่นๆ อีกมากมาย พาหนะที่มีล้อ เช่น จักรยาน รถจักรยานยนต์ รถยนต์ และเครื่องบิน จะเคลื่อนที่ไม่ได้หากไม่มีล้อ หรือหากล้อไม่หมุน เฮลิคอปเตอร์หรือเครื่องบินก็บินไม่ได้หากใบพัดไม่หมุน เรือก็แล่นไม่ได้หากเครื่องกำเนิดไฟฟ้าหรือใบพัดไม่หมุน ในเวลากลางคืน บ้านจะมืดสนิทและไม่มีความบันเทิงใดๆ หากเครื่องกำเนิดไฟฟ้าหรือโรงไฟฟ้าไม่ทำงาน วัตถุหลายอย่างเคลื่อนที่เป็นวงกลมทุกวัน แม้เราจะไม่รู้ตัว โลกที่เราอาศัยอยู่ ดวงจันทร์ที่ให้แสงสว่างแก่เราในเวลากลางคืน ดาวเทียมเทียม เช่น ดาวเทียมสื่อสารที่ส่งคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าสำหรับการออกอากาศทางโทรทัศน์ วิทยุ โทรศัพท์มือถือ และอินเทอร์เน็ต ล้วนหมุนอยู่เสมอ หรือเคลื่อนที่เป็นวงกลมตลอดเวลา
กล่าวได้ว่าวัตถุเคลื่อนที่แบบวงกลมหากเส้นทางการเคลื่อนที่ของมันเป็นวงกลมปริมาณทางกายภาพในการเคลื่อนที่แบบวงกลมประกอบด้วยปริมาณเชิงมุม (ปริมาณการเคลื่อนที่แบบวงกลม) และปริมาณเชิงเส้น (ปริมาณการเคลื่อนที่เชิงเส้น) ปริมาณเชิงมุมได้แก่ การกระจัดเชิงมุม ความเร็วเชิงมุม และความเร่งเชิงมุมปริมาณเชิงเส้นคือปริมาณเช่นเดียวกับการเคลื่อนที่เชิงเส้น ได้แก่ การกระจัด (ระยะทาง) ความเร็ว (อัตราเร็ว) และความเร่ง ในทางกลับกัน ปริมาณการเคลื่อนที่แบบวงกลมมักถูกเรียกว่าปริมาณเชิงมุมในการเคลื่อนที่แบบวงกลม ปริมาณเชิงเส้นมีความสัมพันธ์กับปริมาณเชิงมุม
แปลงหน่วยมุม (องศา เรเดียน รอบ)
1. หมุน ¼ รอบ = ….. o (องศา) ?
การอภิปราย
1 รอบ = 360 องศาo
หมุนครึ่งรอบ = 180 องศาo
¼ รอบ = 90 องศาo
2. หมุนครึ่งรอบ = ……เรเดียน ?
การอภิปราย
1 รอบ = 2 พาย เรเดียน = 2(3,14) เรเดียน = 6,28 เรเดียน
ครึ่งรอบ = พายเรเดียน = 3,14 เรเดียน
3 180o (180 องศา) = ….. การหมุน หรือ การปฏิวัติ ?
การอภิปราย
360o = 1 รอบ (1 การปฏิวัติ)
180o = หมุนครึ่งรอบ (1/2) การปฏิวัติ)
4 90o = …เรเดียน ?
การอภิปราย
360o = 2 พาย เรเดียน = 2(3,14) เรเดียน = 6,28 เรเดียน
180o = พาย เรเดียน = 3,14 เรเดียน
90o = ½ ไพ เรเดียน = ½ (3,14) = 1,57
5. 60 เรเดียน = ….. การหมุน?
การอภิปราย
6,28 เรเดียน = 1 รอบ
60 เรเดียน / 6,28 = 9,55 รอบ
6. 40 เรเดียน = ….. o (องศา) ?
การอภิปราย
6,28 เรเดียน = 360 องศาo
40 เรเดียน/6,28 = (6,37)(360o) = 2292,99o
ความเร็วเชิงมุม
ตัวอย่างคำถาม.
1. ล้อหมุนตามเข็มนาฬิกา ทำมุม 180 องศาo เป็นเวลา 2 วินาทีและ 90o เป็นเวลา 1 วินาที จงหาขนาดและทิศทางของความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย!
การอภิปราย
ใหญ่ = 9oวินาที = …. รอบ/วินาที = ….. เรเดียน/วินาที ?
ทิศทาง = ทิศทางตามเข็มนาฬิกา
2. ล้อหมุนตามเข็มนาฬิกา ทำมุม 360 องศาo เป็นเวลา 4 วินาที จากนั้นล้อจะหมุน 180 องศาo หมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นเวลา 2 วินาที กี่ครั้ง ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย ล้อ ?
การอภิปราย
ใหญ่ = 3oวินาที = …. รอบ/วินาที = ….. เรเดียน/วินาที ?
ทิศทาง = ทิศทางตามเข็มนาฬิกา
ความเร็วเชิงมุมทันที
ขนาดของความเร็วเชิงมุมทันที = ขนาดของความเร็วเชิงมุมที่เคลื่อนที่ไปในช่วงเวลาสั้นมาก
ในการเคลื่อนที่ตรงหรือการเคลื่อนที่เชิงเส้น ความเร็วสูง สามารถเรียกได้ ความเร็ว คารีนา การเคลื่อนย้ายขนาดใหญ่ มีค่าเท่ากับ ระยะทาง ถ้ามันเล็กมาก ในการเคลื่อนที่แบบวงกลม ความเร็วเชิงมุมขนาดใหญ่ สามารถเรียกได้ ความเร็วเชิงมุม คารีนา การกระจัดเชิงมุมขนาดใหญ่ มีค่าเท่ากับ ระยะทาง มุม ถ้ามันเล็กมาก
ความเร่งเชิงมุมเฉลี่ย
ตัวอย่างคำถาม.
1. กังหันลมที่ตอนแรกอยู่นิ่งสักครู่หนึ่ง จากนั้นก็เริ่มหมุนเนื่องจากแรงลมพัด หลังจาก 2 วินาที ความเร็วเชิงมุมเพิ่มขึ้นเป็น 90°o/s. ราคาเท่าไหร่ครับ/คะ? ความเร่งเชิงมุมเฉลี่ย กังหันลม?
การอภิปราย
โดยเฉลี่ยแล้ว ความเร็วเชิงมุมขนาดใหญ่ กังหันลมเพิ่มขึ้น 45 ตัวo/s ทุกๆ 1 วินาที
2. ใบพัดเริ่มหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม 180 องศาในตอนเริ่มต้นo/s, 2 วินาทีต่อมามันหยุดหมุน กี่ตัว ความหน่วงเชิงมุมเฉลี่ย กังหันลม?
การอภิปราย
โดยเฉลี่ยแล้ว ความเร็วเชิงมุมขนาดใหญ่ กังหันลมลดลง 90o/s ทุกๆ 1 วินาที
ความเร่งเชิงมุมทันที
ความเร่งเชิงมุมขณะทันทีมักย่อว่า ความเร่งเชิงมุม ความเร่งเชิงมุมขณะทันทีคือการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเชิงมุมในช่วงเวลาสั้นมาก ในทางคณิตศาสตร์:
คาบและความถี่ของการเคลื่อนที่แบบวงกลม
คาบเวลาบ่งบอกถึงระยะเวลาที่อนุภาคใช้ในการหมุนครบหนึ่งรอบ ในขณะที่ความถี่บ่งบอกถึงจำนวนรอบต่อวินาที
ความสัมพันธ์ระหว่างคาบและความถี่แสดงได้ด้วยสมการ:
ฉ = 1 / T
หน่วยวัดคาบเวลาสากลคือวินาที ส่วนหน่วยวัดความถี่ในระบบสากลคือ 1/วินาที หรือเฮิรตซ์
ความเร็วและความเร็วเชิงมุม
ความเร็วสัมผัสและความเร็วเชิงมุมของอนุภาคที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมสามารถแสดงได้ในรูปของคาบและความถี่
ขนาดของความเร็วของอนุภาคที่เคลื่อนที่แบบวงกลมแสดงได้ด้วยสมการ:
ขนาดของความเร็วเชิงมุมของอนุภาคที่เคลื่อนที่ในวงกลมแสดงได้ด้วยสมการ:
ข้อสังเกต:
ตัวอย่างคำถาม
1. ล้อสองล้อ A และ B มีจำนวนฟัน 20 และ 50 ซี่ตามลำดับ วางสัมผัสกันโดยที่เฟืองแต่ละคู่จับคู่กัน ถ้าล้อ A หมุน 50 รอบในหนึ่งวินาที ความเร็วเชิงมุมของล้อ B คือ…
การอภิปราย
เป็นที่ทราบกันดีว่า:
จำนวนฟันของล้อ A = 20
จำนวนฟันของล้อ B = 50
ความเร็วเชิงมุมของล้อ A ( ω A ) = 50 รอบ/วินาที
1 รอบ = 2π เรเดียน
(50)(2π เรเดียน)/วินาที = 100π เรเดียน/วินาที
คำถาม:ความเร็วเชิงมุมของล้อ B ( ω B )
คำตอบ:
ความเร็วเชิงเส้นของล้อ A: v A = r A ω A
ความเร็วเชิงเส้นของล้อ B: v B = r B ω B
ล้อทั้งสองสัมผัสกัน ดังนั้นความเร็วเชิงเส้นของล้อทั้งสองจึงเท่ากัน
v A = v B
r A ω A = r B ω B
(20)( 100π ราด/วินาที) = (50)(ω B )
(2)(100π rad/s) = (5)(ω B )
(2)(20π rad/s) = ω B
ω B = 40π เรเดียน/วินาที
2. ข้อสอบระดับชาติ SMA/MA ปี 2017
ดูภาพต่อไปนี้
รถจักรยานยนต์คันหนึ่งกำลังวิ่งบนทางโค้งที่มีมุมเอียงα (tan α = 2/5) เทียบกับไหล่ทาง ความเร็วสูงสุดที่ป้องกันไม่ให้รถจักรยานยนต์ลื่นไถลคือ 20 ms⁻¹ รัศมีของทางโค้งคือเท่าใด
ก. 50 ม.
ข. 100 ม.
ค. 200 ม.
ด. 250 ม.
400 ม. ตะวันออก
การอภิปราย
เป็นที่ทราบกันว่า:
ความเร็วสูงสุด (v) = 20 เมตร/วินาที
แทนเจนต์ α = 2/5
สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิต(μs ) = แทนเจนต์ α = 2/5
คำถาม:รัศมีของการโค้งงอ (r)
คำตอบ :
สูตรความเร่งสู่ศูนย์กลาง:
ข้อสังเกต:
a s = ความเร่งสู่ศูนย์กลาง, v = ความเร็ว, r = รัศมีของความโค้ง
แรงในแนวนอนเพียงอย่างเดียวที่กระทำต่อรถยนต์ขณะเลี้ยวคือแรงเสียดทานสถิต สูตรสำหรับแรงเสียดทานสถิตคือ:
ข้อสังเกต:
f s = แรงเสียดทานสถิต, μ s = สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิต, w = น้ำหนัก, m = มวล, g = ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง
สูตรกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับการเคลื่อนที่แบบวงกลม:
คำตอบที่ถูกต้องคือ B.
3. ข้อสอบระดับชาติ SMA/MA ปี 2017
ล้อทั้งสี่เชื่อมต่อกันดังแสดงในภาพด้านล่าง!
รัศมี RA = 6 ซม., RB = 3 ซม., RC = 2 ซม. และ RD = 5 ซม. และล้อ A หมุนด้วยความเร็วเชิงเส้น 3 มิลลิวินาที-1ดังนั้นความเร็วเชิงมุมของล้อ D คือ…
การอภิปราย
เป็นที่ทราบกันว่า:
R A = 6 ซม. = 0,06 ม., R B = 3 ซม. = 0,03 ม., R C = 2 ซม. = 0,02 ม., R D = 5 ซม. = 0,05 ม.
v A = 3 ms -1
คำถาม:ความเร็วเชิงมุมของล้อ D ( ω D )
คำตอบ :
ความเร็วเชิงมุมของล้อ A:
v A = r A ω A
ω A = โวลต์A / r A = 3 / 0,06 = 50 rad/s
ล้อ A และล้อ B หมุนด้วยความเร็วเชิงมุมเท่ากัน
ω A = ω B = 50 เรเดียน/วินาที
ความเร็วเชิงมุมของล้อ B:
ω B = 50 เรเดียน/วินาที
ความเร็วเชิงเส้นของล้อ B:
v B = r B ω B
v B = (0,03)(50 rad/s)
v B = 1,5 ม./วินาที
ล้อ B และล้อ C มีความเร็วเชิงเส้นเท่ากัน
v B = v C = 1,5 ม./วินาที
ล้อ C และล้อ D มีความเร็วเชิงเส้นเท่ากัน
v C = v D = 1,5 ม./วินาที
ความเร็วเชิงมุมของล้อ D:
ω D = v D / r D = 1,5 / 0,05 = 30 เรเดียน/วินาที
