ตัวอย่างคำถามเกี่ยวกับการเชื่อมต่อล้อกับล้อ

4 ตัวอย่างคำถามเกี่ยวกับการเชื่อมต่อล้อกับล้อ

1. ล้อสองล้อ A และ B เชื่อมต่อกันด้วยริบบิ้น (ดูภาพประกอบ) ถ้าหากรัศมีของล้อ A เป็นสองเท่าของรัศมีของล้อ B จะเกิดอะไรขึ้น...
ก. vA = 2 vB
B. vA = 1/2 vB
ค. vA = vB
D. ωA = ωB
E. ωA = 2 ωB
การอภิปราย
เป็นที่ทราบกันว่า:
รัศมีของล้อ A (rA) = สองเท่าของรัศมีของล้อ B (2 rB)
ถาม:
– ความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงเส้นของล้อ A (vA) และความเร็วเชิงเส้นของล้อ B (vB)
– ความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงมุมของล้อ A (ωA) และความเร็วเชิงมุมของล้อ B (ωA)
คำตอบ :
ล้อ A และล้อ B เชื่อมต่อกันด้วยเทป ดังนั้นเมื่อล้อ A หมุน ล้อ B ก็จะหมุนตามไปด้วย ถ้าใน 1 วินาที พื้นผิวของล้อ A เคลื่อนที่ได้ 1 เมตร พื้นผิวของล้อ B ก็จะเคลื่อนที่ได้ 1 เมตรใน 1 วินาทีเช่นกัน ดังนั้น ความเร็วเชิงเส้นของล้อ A จึงเท่ากับความเร็วเชิงเส้นของล้อ B (vA = vB)

ในทางกลับกัน ถ้าล้อ B หมุนครบหนึ่งรอบแล้ว ล้อ A จะยังหมุนไม่ครบหนึ่งรอบ เพราะเส้นรอบวงของล้อ B เล็กกว่า ในขณะที่เส้นรอบวงของล้อ A ใหญ่กว่า กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความเร็วเชิงมุมของล้อ A ไม่เท่ากับความเร็วเชิงมุมของล้อ B ความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงมุมของล้อ A และความเร็วเชิงมุมของล้อ B คืออะไร?

ความเร็วของล้อ A: vA = rA ωA = 2rB ωA
ความเร็วของล้อ B: vB = rB ωB
ความเร็วของล้อ A เท่ากับความเร็วของล้อ B:
vA = vB
2rB ωA = rB ωB
2ωA = ωB
ωA = 1/2 ωB
คำตอบที่ถูกต้องคือ C.

2. ล้อสามล้อ A, B และ C เชื่อมต่อกันดังแสดงในรูป ถ้ารัศมีของล้อ A, B และ C คือ 20 ซม., 8 ซม. และ 4 ซม. ตามลำดับ และล้อ B หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม 10 เรเดียนต่อวินาที^-1จากนั้นล้อ C จะหมุนด้วย ความเร็วเชิงมุม ใหญ่เท่ากับ…
A. 80 เรเดียนวินาที^-1
B. 50 เรเดียน^-1
C. 40 เรเดียนวินาที^-1
ง. 20 เรเดียน^-1
E. 10 เรเดียนวินาที^-1
การอภิปราย
เป็นที่ทราบกันว่า:
รัศมีล้อ A (rA) = 20 ซม. = 0,2 เมตร
รัศมีของล้อ B (rB) = 8 ซม. = 0,08 เมตร
รัศมีล้อ C (rC) = 4 ซม. = 0,04 เมตร
ความเร็วเชิงมุมของล้อ B (ωB) = 10 เรเดียน/วินาที
คำถาม: ความเร็วเชิงมุมของล้อ C (ωC)
คำตอบ :

ความเร็วเชิงมุมและความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ A

ล้อ A และล้อ B ติดกัน ดังนั้นจึงหมุนไปพร้อมกัน ถ้าล้อ B หมุนครบหนึ่งรอบ (360 องศา) ในช่วงเวลาเดียวกัน ล้อ A ก็จะหมุนครบหนึ่งรอบ (360 องศา) เช่นกัน เนื่องจากหมุนไปพร้อมกัน ความเร็วเชิงมุมของล้อ A (ωA) จึงเท่ากับความเร็วเชิงมุมของล้อ B (ωB)
ความเร็วเชิงมุมของล้อ A:
ωA = ωB = 10 เรเดียน/วินาที
ความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ A :
ขนาดของความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ A คำนวณได้โดยใช้สูตรความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงเส้นและความเร็วเชิงมุม คือ v = r ω
vA = rA ωA = (0,2 ม.)(10 เรเดียน/วินาที) = 2 ม./วินาที

ความเร็วเชิงมุมและความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ C

เส้นรอบวงของล้อ A มีขนาดใหญ่กว่าเส้นรอบวงของล้อ C มาก เมื่อล้อ C หมุนครบหนึ่งรอบ (360 องศา) ในช่วงเวลาเดียวกัน ล้อ A ยังหมุนไม่ครบหนึ่งรอบ (360 องศา)^oดังนั้น ความเร็วเชิงมุมของล้อ A จึงไม่เท่ากับความเร็วเชิงมุมของล้อ C
อย่างไรก็ตาม ล้อ A และล้อ C เชื่อมต่อกันด้วยเชือกหรือโซ่ เนื่องจากเชื่อมต่อกัน ในช่วงเวลาเดียวกัน ระยะทางที่ขอบล้อ A เคลื่อนที่ได้จึงเท่ากับระยะทางที่ขอบล้อ C เคลื่อนที่ได้ ดังนั้น ความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ C (vC) จึงเท่ากับความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ A (vA)
ความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ C :
vC = vA = 2 ม./วินาที
ความเร็วเชิงมุมของล้อ C:
vC = rC ωC
ωC = vC / rC = 2 / 0,04 = 50 เรเดียน/วินาที = 50 rad.s^-1.
คำตอบที่ถูกต้องคือ B.

3. ระบบล้อที่มีรัศมี RA = 2 ซม., RB = 4 ซม. และ RC = 10 ซม. ต่อกันดังแสดงในรูป ล้อ B หมุนด้วยความเร็ว 60 รอบต่อนาที ดังนั้นความเร็วเชิงเส้นของล้อ C คือ…

ก. 8π ซม./วินาที^-1
ข. 12 ซม.^-1
C. 12π ซม./วินาที^-1
ด. 24 ซม.^-1
E. 24π ซม./วินาที^-1
การอภิปราย
เป็นที่ทราบกันว่า:
รัศมีล้อ A (rA) = 2 ซม.
รัศมีของล้อ B (rB) = 4 ซม.
รัศมีล้อ C (rC) = 10 ซม.
ความเร็วเชิงมุมของล้อ B (ωB) = 60 รอบ/นาที = 60 รอบ/60 วินาที = 1 รอบ/วินาที = 1(2π เรเดียน)/วินาที = 2π เรเดียน/วินาที
คำถาม: ความเร็วเชิงเส้นของล้อ C (vC)
คำตอบ :
ความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ B
ความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ B:
vB = rB ωB = (4 ซม.)(2π เรเดียน/วินาที) = 8π ซม./วินาที
ความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ A
ล้อ A และล้อ B เชื่อมต่อกันด้วยเชือก ดังนั้นความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ A (vA) จึงเท่ากับความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ B (vB)
vA = vB = 8π ซม./วินาที
ความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ C
ล้อ C และล้อ A เชื่อมต่อกันด้วยเชือก ดังนั้นความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ C (vC) จึงเท่ากับความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ A (vA)
vC = vA = vB = 8π ซม./วินาที
คำตอบที่ถูกต้องคือ A.

4. พิจารณาความสัมพันธ์ของล้อต่อไปนี้! รัศมีของล้อ RA = 25 ซม., RB = 15 ซม., RC = 40 ซม. และล้อ C หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม 60 รอบต่อนาที ความเร็วเชิงมุมของล้อ A คือ…
A. 2,5π เรเดียน.วินาที^-1
B. 3π เรเดียน.วินาที^-1
C. 3,2π เรเดียน.วินาที^-1
ง. 3,5π เรเดียน.วินาที^-1
E. 3,8π เรเดียน.วินาที^-1
การอภิปราย
เป็นที่ทราบกันว่า:
รัศมีล้อ A (rA) = 25 ซม. = 0,25 เมตร
รัศมีของล้อ B (rB) = 15 ซม. = 0,15 เมตร
รัศมีล้อ C (rC) = 40 ซม. = 0,4 เมตร
ความเร็วเชิงมุมของล้อ C (ωC) = 60 รอบ/นาที = 60 รอบ/60 วินาที = 1 รอบ/วินาที = 1(2π เรเดียน)/วินาที = 2π เรเดียน/วินาที
คำถาม: ความเร็วเชิงมุมของล้อ A (ωA)
คำตอบ :
ความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ C :
vC = rC ωC = (0,4 ม.)(2π แรด/วินาที) = 0,8π ม./วินาที
ความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ B
ล้อ C และล้อ B เชื่อมต่อกันด้วยเชือก ดังนั้นความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ C (vC) จึงเท่ากับความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ B (vB)
vB = vC = 0,8π ม./วินาที
ความเร็วเชิงมุมและความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ A
ล้อ A และล้อ B เชื่อมต่อกันดังแสดงในภาพด้านบน ดังนั้นความเร็วเชิงมุมของล้อ A จึงไม่เท่ากับความเร็วเชิงมุมของล้อ B เนื่องจากเส้นรอบวงของล้อ A มากกว่าเส้นรอบวงของล้อ B ในช่วงเวลาเดียวกัน เมื่อล้อ A เคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ (360 องศา)^oล้อ B ยังหมุนไม่ครบหนึ่งรอบ (360)^oอย่างไรก็ตาม ในช่วงเวลาเดียวกัน ระยะทางที่ขอบล้อ A เคลื่อนที่ได้จะเท่ากับระยะทางที่ขอบล้อ B เคลื่อนที่ได้ ดังนั้น ความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ A (vA) จึงเท่ากับความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ B (vB)
ความเร็วเชิงเส้นของขอบล้อ A
vA = vB = vC = 0,8π ม./วินาที
ความเร็วเชิงมุมของล้อ A
vA = rA ωA
ωA = vA / rA = 0,8π / 0,25 = 3,2π ราด/วินาที
คำตอบที่ถูกต้องคือ C.