డాట్ ఉత్పత్తి

సదిశలు సాధారణ సంఖ్యలు కావు, కాబట్టి వాటికి సాధారణ గుణకారాన్ని నేరుగా వర్తింపజేయలేము. మనం సదిశ గుణకారాన్ని ఉపయోగించాలి. సదిశ గుణకారంలో రెండు రకాలు ఉన్నాయి: బిందువు గుణకారం మరియు అడ్డ గుణకారం. బిందువు గుణకారాన్ని అదిశ గుణకారం అని కూడా అంటారు, ఎందుకంటే అది ఒక అదిశ రాశిని ఉత్పత్తి చేస్తుంది. అడ్డ గుణకారాన్ని సదిశ గుణకారం అని కూడా అంటారు, ఎందుకంటే అది ఒక సదిశ రాశిని ఉత్పత్తి చేస్తుంది. ఉదాహరణకు, రెండు సదిశలు ఉన్నాయి, అవి: A డాన్ Bవెక్టర్ల స్కేలార్ గుణకారం A డాన్ B తో పేర్కొన్నారు ఏబీ కేఈ రంగంలో డాట్ సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగిస్తారు కాబట్టి, ఈ గుణకారాన్ని అంటారు డాట్ ప్రొడక్ట్వెక్టర్ గుణకారం A డాన్ B తో పేర్కొన్నారు A x బిఎందుకంటే ఇది సంకేతాలను ఉపయోగిస్తుంది xఅప్పుడు, ఈ గుణకారాన్ని అడ్డ గుణకారం అంటారు.

ఉదాహరణకు, వెక్టర్ ఇవ్వబడింది A డాన్ B క్రింది చిత్రంలో చూపిన విధంగా. వెక్టర్ల మధ్య డాట్ ప్రొడక్ట్ A డాన్ B ఇలా వ్రాయబడింది AB (A పాయింట్ B).

వెక్టర్ల డాట్ ఉత్పత్తిని నిర్వచించడానికి A డాన్ B (AB), చిత్రీకరించబడిన వెక్టర్ A మరియు వెక్టర్లు వై ద్వారాఇది ఒక కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది θ. తరువాత మనం వెక్టర్ యొక్క ప్రొజెక్షన్‌ను గీస్తాము B వెక్టర్ దిశ వైపు Aఈ ప్రొజెక్షన్ అనేది వెక్టర్ యొక్క ఒక భాగం. B ఇది వెక్టర్‌కు సమాంతరంగా ఉంటుంది Aఅదే పరిమాణంలో B cos θ.

ఈ విధంగా, మనం నిర్వచిస్తాము AB ఒక పెద్ద వెక్టర్‌గా A వెక్టర్ భాగాలతో గుణించబడింది B ఇది సమాంతరంగా ఉంది Aగణితశాస్త్రపరంగా దీనిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

AB cos θ ఇది ఒక సాధారణ సంఖ్య (అదిశ). అందువల్ల, డాట్ ప్రొడక్ట్‌ను స్కేలార్ ప్రొడక్ట్ అని కూడా అంటారు. వెక్టర్ల మధ్య డాట్ ప్రొడక్ట్ అయితే ఏమిటి? A డాన్ B మారింది బా మనం నిర్వచించే ముందు బామొదట మనం వెక్టర్ యొక్క ప్రొజెక్షన్‌ను గీస్తాము A వెక్టర్లకు బి (క్రింది చిత్రాన్ని చూడండి).

ఈ చిత్రం ఆధారంగా, మనం నిర్వచించవచ్చు బా ఒక పెద్ద వెక్టర్‌గా B వెక్టర్ భాగాలతో గుణించబడింది A ఇది సమాంతరంగా ఉంది Bగణితశాస్త్రపరంగా దీనిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

డాట్ ఉత్పత్తి ఫలితం AB = AB cos θ మరియు డాట్ ప్రొడక్ట్ యొక్క ఫలితం బా = BA cos θఎందుకంటే AB cos θ = BA cos θఅప్పుడు అది వర్తిస్తుంది AB = బా

చుక్కల గుణకారం గురించి మీరు తెలుసుకోవలసిన కొన్ని విషయాలు:

1. డాట్ ప్రొడక్ట్ కమ్యుటేటివ్ నియమాన్ని పాటిస్తుంది.

AB = BA

2. డాట్ ప్రొడక్ట్ పంపిణీ నియమాన్ని పాటిస్తుంది.

A. (B + C) = AB + AC

3. సదిశలు A మరియు B ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉంటే, అప్పుడు వాటి బిందు లబ్ధం AB = 0

వెక్టర్ A డాన్ B అవి ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉంటే, ఏర్పడే కోణం 90^o. కాస్ 90^o = 0. అందువలన: AB = AB cos టెటా = AB ధర 90^o = 0. మరోవైపు, బా = BA cos టెటా = BA ధర 90^o = 0

4. వెక్టర్ A మరియు వెక్టర్ B ఒకే దిశలో ఉంటే , అప్పుడు AB = AB cos 0 ^o = AB

వెక్టర్ A డాన్ B అదే దిశలో, అప్పుడు ఏర్పడే కోణం 0^oCos 0 = 1. అందువల్ల, AB = AB cos టెటా = AB ధర 0^o = ABదీనికి విరుద్ధంగా బా = BA cos టెటా = BA ధర 0^o = BA

(మీరు దీనితో గందరగోళపడకూడదు) AB డాన్ BA. పెద్ద AB = పెద్ద BAఉదాహరణకు, వెక్టర్ యొక్క పరిమాణం A = 2. వెక్టర్ యొక్క పరిమాణం B = 3. అప్పుడు AB = 2.3 = 6; ఇది దీనికి సమానం బా = 3.2 = 6.

^{5. ఒకే దిశలో ఉన్న రెండు సదిశలకు మరొక షరతు ఏమిటంటే, A} = B అయితే మనకు AA = A² లేదా BB = B² ^{లభిస్తుంది}.

6. వెక్టర్లు A మరియు B వ్యతిరేక దిశలలో ఉంటే (రెండు వెక్టర్లు వ్యతిరేక దిశలలో ఉన్నప్పుడు, ఏర్పడే కోణం 180º) , అప్పుడు AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB గుణకారం యొక్క ఫలితం.

Cos 180º = -1.

సమస్యల ఉదాహరణ :

^{వెక్టర్} A యొక్క పరిమాణం 4 యూనిట్లు మరియు వెక్టర్ B యొక్క పరిమాణం 3 యూనిట్లు. ఆ రెండు వెక్టర్లచే ఏర్పడిన కోణాలు 60º, 90º మరియు 180º అయితే, ఆ రెండు వెక్టర్ల డాట్ ప్రొడక్ట్‌ను కనుగొనండి^.

చర్చ

AB = BA అయినందున , మనం రెండింటిలో దేన్నైనా ఉపయోగించుకోవచ్చు. ఉదాహరణకు, మనం AB ని ఉపయోగిస్తాము.

AB = AB cos θ

A పరిమాణం = 4 యూనిట్లు మరియు B పరిమాణం = 3 యూనిట్లు.