వృత్తాకార చలనం

చక్రాల వాహనాలు, జనరేటర్లు, మిల్లింగ్ యంత్రాలు, ఫ్యాన్లు, లాన్ మూవర్లు, ఫ్లవర్ స్ప్రింక్లర్లు వంటి ఆధునిక పరికరాల ఉనికితో ఈ రోజు మన జీవితాలు సులభంగా మరియు మరింత సౌకర్యవంతంగా మారాయి. సైకిళ్ళు, మోటార్ సైకిళ్ళు, కార్లు మరియు విమానాల వంటి చక్రాల వాహనాలకు చక్రాలు లేకపోతే లేదా చక్రాలు తిరగకపోతే అవి కదలలేవు. హెలికాప్టర్లు లేదా విమానాల ప్రొపెల్లర్లు తిరగకపోతే అవి కూడా ఎగరలేవు. ఓడల జనరేటర్లు లేదా ప్రొపెల్లర్లు తిరగకపోతే అవి ప్రయాణించలేవు. రాత్రిపూట, జనరేటర్ లేదా పవర్ ప్లాంట్ పనిచేయకపోతే ఇల్లు చిమ్మచీకటిగా మారుతుంది మరియు వినోదం ఉండదు. అనేక వస్తువులు ప్రతిరోజూ వృత్తాకార చలనం చేస్తాయి. మనకు తెలియకుండానే, మనం నివసించే భూమి, రాత్రిపూట మనకు వెలుగునిచ్చే చంద్రుడు, టెలివిజన్, రేడియో, మొబైల్ ఫోన్ మరియు ఇంటర్నెట్ ప్రసారాల కోసం విద్యుదయస్కాంత తరంగాలను ప్రసారం చేసే కమ్యూనికేషన్ ఉపగ్రహాల వంటి కృత్రిమ ఉపగ్రహాలు ఎల్లప్పుడూ తిరుగుతూనే ఉంటాయి, అంటే అన్ని సమయాలలో ఒక వృత్తంలో కదులుతూ ఉంటాయి.

ఒక వస్తువు ఇలా చేస్తుందని అంటారు వృత్తాకార చలనం వస్తువు యొక్క పథం వృత్తాకారంలో ఉంటే. భౌతిక పరిమాణాలు వృత్తాకార చలనంలో, కోణీయ రాశులు (వృత్తాకార చలన రాశులు) మరియు రేఖీయ రాశులు (రేఖీయ చలన రాశులు) ఉంటాయి. కోణీయ రాశులలో కోణీయ స్థానభ్రంశం, కోణీయ వేగం మరియు కోణీయ త్వరణం ఉంటాయి. రేఖీయ పరిమాణాలు సరళ చలనంలోని పరిమాణాలను స్థానభ్రంశం (దూరం), వేగం (వడి) మరియు త్వరణం వంటివి అంటారు. దీనికి విరుద్ధంగా, వృత్తాకార చలనంలోని పరిమాణాలను సాధారణంగా అంటారు కోణీయ పరిమాణాలువృత్తాకార చలనంలో, రేఖీయ రాశులు కోణీయ రాశులతో సంబంధం కలిగి ఉంటాయి.

కోణ ప్రమాణాలను (డిగ్రీలు, రేడియన్‌లు, విప్లవాలు) మార్చండి

1. ¼ వంతు తిప్పడం = ….. ^o (డిగ్రీలు) ?
చర్చ
1 భ్రమణం = 360^o
½ మలుపు = 180^o
¼ వంతు తిప్పితే = 90^o

2. ½ భ్రమణం = …….. రేడియన్లు ?
చర్చ
1 భ్రమణం = 2 పై రేడియన్లు = 2(3,14) రేడియన్లు = 6,28 రేడియన్లు
½ భ్రమణం = పై రేడియన్లు = 3,14 రేడియన్లు

3. 180^o (180 డిగ్రీలు) = ….. భ్రమణం లేదా విప్లవం ?
చర్చ
360^o = 1 రౌండ్ (1 విప్లవం)
180^o = ½ మలుపు (1/2 విప్లవం)

4. 90^o = ….. రేడియన్లు ?
చర్చ
360^o = 2 పై రేడియన్లు = 2(3,14) రేడియన్లు = 6,28 రేడియన్లు
180^o = పై రేడియన్లు = 3,14 రేడియన్లు
90^o = ½ పై రేడియన్ = ½ (3,14) = 1,57

5. 60 రేడియన్లు = ….. భ్రమణమా?
చర్చ
6,28 రేడియన్లు = 1 భ్రమణం
60 రేడియన్లు/6,28 = 9,55 భ్రమణాలు

6. 40 రేడియన్లు = ….. ^o (డిగ్రీలు) ?
చర్చ
6,28 రేడియన్లు = 360^o
40 రేడియన్లు/6,28 = (6,37)(360^o) = 2292,99^o

కోణీయ వేగం

సమస్యల ఉదాహరణ.
1. చక్రం సవ్యదిశలో తిరుగుతూ 180° కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.^o 2 సెకన్ల పాటు మరియు 90^o 1 సెకను పాటు. సగటు కోణీయ వేగం యొక్క పరిమాణం మరియు దిశను కనుగొనండి!
చర్చ
పెద్ద = 9^o/సెకను = …. భ్రమణాలు/సెకను = ….. రేడియన్/సెకను ?
దిశ = సవ్యదిశ.

2. చక్రం సవ్యదిశలో తిరుగుతూ 360° కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.^o 4 సెకన్ల పాటు, ఆ తర్వాత చక్రం 180 డిగ్రీలు తిరుగుతుంది^o 2 సెకన్ల పాటు అపసవ్య దిశలో. ఎన్ని సగటు కోణీయ వేగం చక్రం?
చర్చ
పెద్ద = 3^o/సెకను = …. భ్రమణాలు/సెకను = ….. రేడియన్/సెకను ?
దిశ = సవ్యదిశ.

తక్షణ కోణీయ వేగం
తక్షణ కోణీయ వేగం యొక్క పరిమాణం = చాలా తక్కువ సమయ వ్యవధిలో ప్రయాణించిన కోణీయ వేగం యొక్క పరిమాణం.
సరళ చలనంలో లేదా రేఖీయ చలనంలో, అధిక వేగం పిలవవచ్చు కెలాజువాన్ కరీనా పెద్ద స్థానభ్రంశం విలువలో సమానం దూరం అది చాలా చిన్నది అయితే. వృత్తాకార చలనంలో, అధిక కోణీయ వేగం పిలవవచ్చు కోణీయ వేగం కరీనా పెద్ద కోణీయ స్థానభ్రంశం విలువలో సమానం దూరం మూల అది చాలా చిన్నది అయితే.

సగటు కోణీయ త్వరణం
సమస్యల ఉదాహరణ.
1. మొదట ఒక క్షణం పాటు నిశ్చలంగా ఉండి, ఆ తర్వాత గాలి వీచడం వల్ల తిరిగే గాలిమర. 2 సెకన్ల తర్వాత, కోణీయ వేగం 90°కి పెరుగుతుంది.^o/s. ఎంత? సగటు కోణీయ త్వరణం గాలిమర?
చర్చ
సగటున, అధిక కోణీయ వేగం గాలిమరలు 45 పెరిగాయి^oప్రతి 1 సెకనుకు /s.

2. ప్రొపెల్లర్ ప్రారంభంలో 180 కోణీయ వేగంతో తిరుగుతుంది^o/s, 2 సెకన్ల తర్వాత అది తిరగడం ఆగిపోతుంది. ఎన్ని సగటు కోణీయ మందగమనం గాలిమర?
చర్చ
సగటున, అధిక కోణీయ వేగం విండ్ మిల్లులు 90 తగ్గాయి^oప్రతి 1 సెకనుకు /s.

తక్షణ కోణీయ త్వరణం
తక్షణ కోణీయ త్వరణాన్ని సాధారణంగా కోణీయ త్వరణం అని సంక్షిప్తీకరిస్తారు. తక్షణ కోణీయ త్వరణం అనేది చాలా తక్కువ సమయ వ్యవధిలో కోణీయ వేగంలో వచ్చే మార్పు. గణితశాస్త్రపరంగా:

వృత్తాకార చలనం యొక్క ఆవర్తనం మరియు పౌనఃపున్యం
ఆవర్తనం అనేది ఒక కణం ఒక భ్రమణం పూర్తి చేయడానికి పట్టే సమయాన్ని సూచిస్తుంది, పౌనఃపున్యం అనేది సెకనుకు జరిగే భ్రమణాల సంఖ్యను సూచిస్తుంది.
ఆవర్తన కాలం మరియు పౌనఃపున్యము మధ్య సంబంధాన్ని ఈ సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తపరుస్తారు:
f = 1 / T
ఆవర్తనానికి అంతర్జాతీయ ప్రమాణం సెకను, పౌనఃపున్యానికి అంతర్జాతీయ వ్యవస్థ ప్రమాణం 1/సెకను లేదా హెర్ట్జ్.

వేగం మరియు కోణీయ వేగం
వృత్తాకారంలో కదులుతున్న కణం యొక్క స్పర్శరేఖీయ వేగం మరియు కోణీయ వేగాన్ని ఆవర్తనం మరియు పౌనఃపున్యం పరంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు.
వృత్తాకార చలనం చేసే కణం యొక్క వేగం యొక్క పరిమాణాన్ని ఈ సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తపరుస్తారు:
వృత్తాకారంలో కదులుతున్న కణం యొక్క కోణీయ వేగం యొక్క పరిమాణాన్ని ఈ సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తపరుస్తారు:
సమాచారం :

సమస్యల ఉదాహరణ

1. వరుసగా 20 మరియు 50 దంతాలు కలిగిన A మరియు B అనే రెండు చక్రాలను, ప్రతి గేర్ జతగా ఉండేలా ఒకదానికొకటి తాకుతూ ఉంచారు. ఒక సెకనులో చక్రం A 50 సార్లు తిరిగితే, చక్రం B యొక్క కోణీయ వేగం….

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

చక్రం A పై దంతాల సంఖ్య = 20

చక్రం B పై దంతాల సంఖ్య = 50

చక్రం A యొక్క కోణీయ వేగం (ω_A) = 50 విప్లవాలు/సెకను

1 భ్రమణం = 2π రేడియన్లు

(50)(2π రేడియన్లు)/సెకను = 100π రేడియన్లు/సెకను

అడిగారు: చక్రం B యొక్క కోణీయ వేగం (ω_B)

సమాధానం:

చక్రం A యొక్క రేఖీయ వేగం : v_A = r_A ω_A

చక్రం B యొక్క రేఖీయ వేగం : v_B = r_B ω_B

రెండు చక్రాలు ఒకదానికొకటి తాకుతూ ఉంటాయి కాబట్టి వాటి రేఖీయ వేగం సమానంగా ఉంటుంది.

v_A = వి_B

r_A ω_A = r_B ω_B

(20)(100π rad/s) = (50)(ω_B)

(2)(100π rad/s) = (5)(ω_B)

(2)(20π rad/s) = ω_B

ω_B = 40π రేడియన్లు/సెకను

2. 2017 SMA/MA జాతీయ పరీక్ష ప్రశ్నలు

కింది చిత్రాన్ని చూడండి.

ఒక మోటార్‌బైక్ కొంత వాలు కోణం ఉన్న మలుపులో ప్రయాణిస్తోంది రోడ్డు భుజం వైపుకు α (tan α = 2/5). మోటార్‌బైక్ జారిపోకుండా ఉండటానికి గరిష్ట వేగం 20 మీ/సె.^-1వంపు యొక్క వ్యాసార్థం ఎంత?

ఎ. 50 మీ

బి. 100 మీ

సి. 200 మీ

డి. 250 మీ

E. 400 మీ

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

గరిష్ట వేగం (v) = 20 మీ/సె

టాంజెంట్ α = 2/5

స్థిర ఘర్షణ గుణకం (μ_s) = టాంజెంట్ α = 2/5

అడిగారు: వంపు వ్యాసార్థం (r)

సమాధానం :

అభికేంద్ర త్వరణ సూత్రం:

సమాచారం :

a_s = అభికేంద్ర త్వరణం, v = వేగం, r = వక్రతా వ్యాసార్థం

ఒక కారు మలుపు తిరిగినప్పుడు దానిపై పనిచేసే ఏకైక ఫలిత క్షితిజ సమాంతర బలం స్థిర ఘర్షణ. స్థిర ఘర్షణకు సూత్రం:

సమాచారం :

f_s = స్థిర ఘర్షణ బలం, μ_s = స్థిర ఘర్షణ గుణకం, w = బరువు, m = ద్రవ్యరాశి, g = గురుత్వాకర్షణ త్వరణం

వృత్తాకార చలనం కోసం న్యూటన్ రెండవ నియమ సూత్రం:

సరైన సమాధానం బి.

3. 2017 SMA/MA జాతీయ పరీక్ష ప్రశ్నలు

నాలుగు చక్రాలు క్రింద చూపిన విధంగా అనుసంధానించబడి ఉన్నాయి!

వ్యాసార్థం R_A = 6 సెం.మీ, R_B = 3 సెం.మీ, R_C = 2 సెం.మీ మరియు R_D = 5 సెం.మీ మరియు చక్రం A 3 మీ/సె రేఖీయ వేగంతో తిరుగుతుంది^-1అయితే, D చక్రం యొక్క కోణీయ వేగం…

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

R_A = 6 సెం.మీ = 0,06 మీ, R_B = 3 సెం.మీ = 0,03 మీ, R_C = 2 సెం.మీ = 0,02 మీ, R_D = 5 సెం.మీ = 0,05 మీ.

v_A = 3 మిల్లీసెకన్లు^-1

అడిగారు: చక్రం D యొక్క కోణీయ వేగం (ω_D)

సమాధానం :

చక్రం A యొక్క కోణీయ వేగం:

v_A = r_A ω_A

ω_A = v_A / ఆర్_A = 3 / 0,06 = 50 రేడియన్లు/సెకను

చక్రాలు A మరియు B ఒకే కోణీయ వేగంతో తిరుగుతాయి.

ω_A = ω_B = 50 రేడియన్/సెకను

చక్రం B యొక్క కోణీయ వేగం:

ω_B = 50 రేడియన్/సెకను

చక్రం B యొక్క రేఖీయ వేగం:

v_B = r_B ω_B

v_B = (0,03)(50 rad/s)

v_B = 1,5 మీ/సె

చక్రం B మరియు చక్రం C ఒకే రేఖీయ వేగాన్ని కలిగి ఉన్నాయి.

v_B = వి_C = 1,5 మీ/సె

చక్రం C మరియు చక్రం D ఒకే రేఖీయ వేగాన్ని కలిగి ఉన్నాయి.

v_C = వి_D = 1,5 మీ/సె

D చక్రం యొక్క కోణీయ వేగం:

ω_D = v_D / ఆర్_D = 1,5 / 0,05 = 30 రేడియన్లు/సెకను