భ్రమణ గతిశాస్త్రం

భ్రమణ గతిశాస్త్రం అనేది యాంత్రిక శాస్త్రంలోని ఒక శాఖ. ఇది భ్రమణ చలనాన్ని ప్రభావితం చేసే బలాలు, ద్రవ్యరాశులు మరియు ఇతర కారకాలతో కూడిన భ్రమణ చలనాన్ని అధ్యయనం చేస్తుంది. ఒక వస్తువు యొక్క అన్ని భాగాలు, దాని భాగాలలో ఒకదానిపై ఉన్న అక్షం లేదా ఆధార బిందువు చుట్టూ తిరిగితే, ఆ వస్తువు భ్రమణం చెందుతుందని అంటారు. ఈ అంశంలో అధ్యయనం చేయబడిన భ్రమణ చలనం, ఒక స్థిరమైన అక్షం చుట్టూ జరిగే భ్రమణ చలనంపై దృష్టి పెడుతుంది. ఒక కప్పి కదలిక, ఒక ఫ్యాన్ కదలిక, ఒక CD/DVD గదిలో CD/DVD కదలిక , ఒక తలుపు లేదా కిటికీ కదలిక, ఒక ఇంజిన్ సిలిండర్ కదలిక, ఒక హెలికాప్టర్ లేదా విమానం యొక్క ప్రొపెల్లర్, లేదా ఒక ఓడ యొక్క ప్రొపెల్లర్ అనేవి స్థిరమైన అక్షం చుట్టూ జరిగే భ్రమణ చలనానికి కొన్ని ఉదాహరణలు. మీరు ఎప్పుడైనా బొంగరాన్ని గమనించారా? బొంగరం యొక్క అక్షం స్థానం ఎల్లప్పుడూ మారుతూ ఉంటుంది (బొంగరం యొక్క వంపు మారే అవకాశం ఉంటుంది), అందువల్ల బొంగరం అనుభవించేటువంటి భ్రమణ చలనాన్ని ఈ అంశంలో అధ్యయనం చేయరు.

కణ గతిశాస్త్రంలో, స్థానాంతర చలనంలో ఉన్న వస్తువును ఒక కణంగా లేదా ఒకే బిందువుగా పరిగణిస్తారు. వస్తువు ఎంత పెద్దదైనా లేదా దాని ఆకారం ఎంత సంక్లిష్టంగా ఉన్నా, దానిని ఒకే బిందువుగా భావిస్తారు. భ్రమణ గతిశాస్త్రంలో, ఒక వస్తువును ఒకే బిందువుగా పరిగణించరు, కానీ దాని ఆకారం మరియు పరిమాణం మారకుండా ఉన్నాయని భావించి, దానిని అలాగే చూస్తారు. ఒకవేళ కణంగా పరిగణించబడిన వస్తువు ఒకే బిందువును కలిగి ఉంటే, అప్పుడు దృఢ వస్తువుగా పరిగణించబడిన వస్తువు అనేక కణాలను కలిగి ఉంటుంది, ఇక్కడ ప్రతి కణం యొక్క స్థానం స్థిరంగా ఉంటుంది మరియు వాటి మధ్య దూరం ఒకే విధంగా ఉంటుంది.

సమస్యల ఉదాహరణ

1. ఘన పదార్థంతో తయారు చేయబడిన ఒక కప్పికి, దాని బయటి వైపు ఒక తాడు చుట్టబడి ఉన్నట్టు పటంలో చూపబడింది. కప్పి యొక్క ఘర్షణను విస్మరించబడింది. కప్పి యొక్క జడత్వ భ్రామకం I = β మరియు తాడును స్థిర బలం F తో లాగితే, అప్పుడు F విలువ దేనికి సమానం….

A. F = α . β . R
బి. ఎఫ్ = α . β 2 . ఆర్
C. F = α . (β . R)^-1
D. F = α . β . (R)^-1
E. F = R . (α . β)^-1

చర్చ
ఇది తెలిసిన విషయమే:
లాగే బలం = F
కప్పి యొక్క జడత్వ భ్రామకం = β
కప్పి యొక్క కోణీయ త్వరణం = α
పుల్లీ వ్యాసార్థం = R
ప్రశ్న: F విలువ దేనికి సమానం….
సమాధానం :

భ్రమణ చలనం కోసం న్యూటన్ రెండవ నియమ సూత్రం:
పుల్లీపై పనిచేసే బలం యొక్క ఫలిత భ్రమణ బలం:
సరైన సమాధానం D.

2. 6 మీటర్ల పొడవు మరియు నిర్లక్ష్యం చేయదగిన ద్రవ్యరాశి కలిగిన ఒక కడ్డీపై, పటంలో చూపిన విధంగా మూడు బలాలు పనిచేస్తున్నాయి. O ​​వద్ద ఉన్న దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం చుట్టూ ఆ కడ్డీ తిరిగినప్పుడు, దాని బలభ్రమణం యొక్క పరిమాణం…

ఎ. ఎఫ్

బి. 3ఎఫ్

సి. 4ఎఫ్

డి. 5ఎఫ్

E. 6F

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

భ్రమణ అక్షం O బిందువు వద్ద ఉంది.

బలం 1 (F ₁ ) = F

_{పని చేసే బిందువు F 1} మరియు భ్రమణ అక్షం (r _{1 )} మధ్య దూరం = 3 మీటర్లు

బలం 2 (F ₂ ) = 2F

_{పని చేసే బిందువు F 2} మరియు భ్రమణ అక్షం (r _{2 )} మధ్య దూరం = 2 మీటర్లు

బలం 3 (F ₃ ) = 2F

_{పని చేసే బిందువు F 3} మరియు భ్రమణ అక్షం (r _{3 )} మధ్య దూరం = 3 మీటర్లు

ప్రశ్న: O వద్ద ఉన్న దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం చుట్టూ కడ్డీ తిరిగినప్పుడు దానిపై పనిచేసే బలభ్రమణ పరిమాణం ఎంత?

సమాధానం :

బల క్షణం 1:

τ ₁ = F ₁ r ₁ = (F)(3) = -3F

బలం యొక్క భ్రమణ బలం 1 వలన కడ్డీ సవ్యదిశలో తిరుగుతుంది, అందువల్ల బలం యొక్క భ్రమణ బలం 1 రుణాత్మక గుర్తును కలిగి ఉంటుంది.

బల క్షణం 2:

τ ₂ = F ₂ r ₂ = (2F)(2) = 4F

బలం 2 యొక్క భ్రమణ బలం కడ్డీని అపసవ్య దిశలో తిరిగేలా చేస్తుంది, అందువల్ల బలం 2 యొక్క భ్రమణ బలం ధనాత్మక గుర్తును కలిగి ఉంటుంది.

బల క్షణం 3:

τ ₃ = F ₃ r ₃ సిన్ 30 ^o = (2F)(3)(0,5) = 3F

బలం 3 యొక్క భ్రమణ బలం కడ్డీని అపసవ్య దిశలో తిరిగేలా చేస్తుంది, అందువల్ల బలం 3 యొక్క భ్రమణ బలం ధనాత్మక గుర్తును కలిగి ఉంటుంది.

ఫలిత బల భ్రమణం:

Στ = τ ₁ + τ ₂ + τ ₃

Στ = -3F + 4F + 3F

Στ = 4F

బలభ్రమణ పరిమాణం 4F న్యూటన్ మీటర్లు. ధనాత్మక బలభ్రమణం అంటే కడ్డీ అపసవ్య దిశలో తిరుగుతుంది.

సరైన సమాధానం C.

3. చిత్రాన్ని చూడండి!

AC కడ్డీ ద్రవ్యరాశిని విస్మరిస్తే, α = 30 ^° , పొడవు AB = BC = 1 మీటర్ అయితే, A బిందువు వద్ద అక్షం ఉన్న వ్యవస్థ యొక్క బలభ్రమణం…

A. 10√3 Nm సవ్యదిశలో

బి. 10 √3 Nm అపసవ్య దిశలో

సుమారు 20 Nm సవ్యదిశలో

D. 20 √3 Nm అపసవ్య దిశలో

E. 20 √3 Nm సవ్యదిశలో

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

భ్రమణ అక్షం A బిందువు వద్ద ఉంది.

బలం 1 (F ₁ ) = 10 N

_{పని చేసే బిందువు F 1} మరియు భ్రమణ అక్షం (r _{1 )} మధ్య దూరం = 1 మీటర్లు

బలం 2 (F ₂ ) = 10 N

_{పని చేసే బిందువు F 2} మరియు భ్రమణ అక్షం (r _{2 )} మధ్య దూరం = 1 మీటర్లు

బలం 3 (F ₃ ) = 20 N

_{పని చేసే బిందువు F 3} మరియు భ్రమణ అక్షం (r _{3 )} మధ్య దూరం = 2 మీటర్లు

ప్రశ్న: A బిందువు వద్ద అక్షం ఉన్న వ్యవస్థ యొక్క బలభ్రమణం

సమాధానం :

బల క్షణం 1:

τ ₁ = F ₁ r ₁ sin 30 ^o = (10)(1)(0,5) = 5 న్యూటన్ మీటర్లు

బలం 1 యొక్క భ్రమణ బలం కడ్డీని అపసవ్య దిశలో తిరిగేలా చేస్తుంది, అందువల్ల బలం 1 యొక్క భ్రమణ బలం ధనాత్మక గుర్తును కలిగి ఉంటుంది.

బల క్షణం 2:

τ ₂ = F ₂ r ₂ sin 30 ^o = (10)(1)(0,5) = -5 న్యూటన్ మీటర్లు

బలం యొక్క భ్రమణ బలం 2 వలన కడ్డీ సవ్యదిశలో తిరుగుతుంది, అందువల్ల బలం యొక్క భ్రమణ బలం 2 రుణాత్మక గుర్తును కలిగి ఉంటుంది.

బల క్షణం 3:

τ ₃ = F ₃ r ₃ sin 60 ^o = (20)(2)(0,5 √3 ) = -20 √3 న్యూటన్ మీటర్లు

బలం యొక్క భ్రమణ బలం 2 వలన కడ్డీ సవ్యదిశలో తిరుగుతుంది, అందువల్ల బలం యొక్క భ్రమణ బలం 2 రుణాత్మక గుర్తును కలిగి ఉంటుంది.

ఫలిత బల భ్రమణం:

Στ = τ ₁ + τ ₂ + τ ₃

Στ = 5 – 5 – 20 √3

Στ = – 20 √3 న్యూటన్ మీటర్లు

బలభ్రమణ పరిమాణం 20√3 న్యూటన్ మీటర్లు . రుణాత్మక బలభ్రమణం అంటే కడ్డీ సవ్యదిశలో తిరుగుతుంది.

సరైన సమాధానం E.

4. పక్కన ఉన్న చిత్రాన్ని చూడండి!

ఘన పదార్థంతో (I = 2/5 MR ² ) తయారు చేయబడిన ఒక కప్పి యొక్క ద్రవ్యరాశి 2 kg. కప్పిపై పనిచేసే బలం యొక్క భ్రమణ బలం 4 Nm అయితే, కప్పి యొక్క రేఖీయ త్వరణం…. (g = 10 ms ^-2 )

ఎ. 50 ఎంఎస్ ^-2

బి. 25 మిల్లీసెకన్లు ^-2

C. 20 ms ^-2

D. 16 ms ^-2

E. 8 ms ^-2

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

ఘన కప్పి యొక్క జడత్వ భ్రామకం (I) = 2/5 MR ²

పుల్లీ ద్రవ్యరాశి (M) = 2 కిలోగ్రాములు

బల భ్రమణం ( τ) = 4 Nm

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/ ^సె⁻²

పుల్లీ వ్యాసార్థం (R) = 20 సెం.మీ = 0,2 మీ

ప్రశ్న: రేఖీయ త్వరణం (ఎ)

సమాధానం :

పుల్లీ యొక్క జడత్వ భ్రమణాన్ని (I) లెక్కించండి:

I = 2/5 MR ² = 2/5 (2)(0,2) ² = 2/5 (2)(0,04) = 2/5 (0,08) = 0,16/5 = 0,032 kg m ²

కోణీయ త్వరణం ( α) ను లెక్కించండి :

τ = I α

α = τ/I = 4/0,032 = 125 rad.s ^-2

రేఖీయ త్వరణం (a)ను లెక్కించండి:

a = R α = (0,2)( 125) = 25 ms ^-2

కప్పి అంచు యొక్క రేఖీయ త్వరణం 25 ms ^-2.

సరైన సమాధానం బి.

5. పక్కన ఉన్న చిత్రాన్ని చూడండి! ఒక ఘన బంతి యొక్క కప్పి 2 ^ms⁻² త్వరణంతో తిరుగుతోంది , g = 10 ms⁻² అయితే ^, కప్పి యొక్క జడత్వ భ్రామకం ....

ఎ. 1,0 కిలోగ్రాములు.మీ²

బి. 0,8 కిలోగ్రాములు.మీ ²

సి. 0,6 కిలోగ్రాములు.మీ ²

D. 0,2 kg.m ²

E. 0,1 kg.m ²

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

పుల్లీ అంచు యొక్క రేఖీయ త్వరణం (a) = 2 ms ^-2

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/ ^సె⁻²

పుల్లీ వ్యాసార్థం (R) = 10 సెం.మీ = 0,1 మీ

లోడ్ బరువు (w) = mg = (4)(10) = 40 N

ప్రశ్న: కప్పి యొక్క జడత్వ భ్రామకం

సమాధానం :

బలం యొక్క భ్రమణాన్ని ( τ) లెక్కించండి:

τ = FR = w R = (40)(0,1) = 4 Nm

కప్పి యొక్క కోణీయ త్వరణాన్ని ( α ) లెక్కించండి:

a = R α

α = a/R = 2/0,1 = 20 rad.s ^-2

పుల్లీ యొక్క జడత్వ భ్రమణాన్ని (I) లెక్కించండి:

τ = I α

I = τ/ α = 4/20 = 0,2 kg m ²

సరైన సమాధానం D.

6. పక్కన ఉన్న చిత్రాన్ని చూడండి!

కప్పిని 1 ms⁻² త్వరణంతో కదిలే విధంగా లాగారు ^. కప్పి యొక్క వ్యాసార్థం 10 cm అయితే, కప్పి యొక్క జడత్వ భ్రామకం ఎంత?

ఎ. 4,00 కిలోగ్రాములు.మీ²

బి. 2,00 కిలోగ్రాములు.మీ ²

సి. 0,04 కిలోగ్రాములు.మీ ²

D. 0,02 kg.m ²

E. 0,01 kg.m ²

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

పుల్లీ అంచు యొక్క రేఖీయ త్వరణం (a) = 1 ms ^-2

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/ ^సె⁻²

పుల్లీ వ్యాసార్థం (R) = 10 సెం.మీ = 0,1 మీ

తన్యత బలం (F) = 4 N

ప్రశ్న: కప్పి యొక్క జడత్వ భ్రామకం

సమాధానం :

బలం యొక్క భ్రమణాన్ని ( τ) లెక్కించండి:

τ = FR = (4)(0,1) = 0,4 Nm

కప్పి యొక్క కోణీయ త్వరణాన్ని ( α ) లెక్కించండి:

a = R α

α = a/R = 1/0,1 = 10 rad.s ^-2

పుల్లీ యొక్క జడత్వ భ్రమణాన్ని (I) లెక్కించండి:

τ = I α

I = τ/ α = 0,4/10 = 0,04 kg m ²

సరైన సమాధానం C.

7. 1 కిలోగ్రాము ద్రవ్యరాశి మరియు 10 సెంటీమీటర్ల వ్యాసార్థం కలిగిన ఒక ఘన డిస్క్ కప్పి అంచు చుట్టూ ఒక తాడు చుట్టబడి ఉంది, మరియు ఆ తాడు యొక్క ఒక చివర 1 కిలోగ్రాము బరువు వేలాడదీయబడింది. తాడుకు ద్రవ్యరాశి లేదని భావించండి. ఆ బరువు యొక్క క్రిందికి కదలిక త్వరణం… (g = 10 మీ/సె²)²)
ఎ. 10 మీ/సె²
బి. 12 మీ/సె²
సి. 15 మీ/సె²
డి. 20 మీ/సె²
E. 22 మీ/సె²చర్చ :
ఇది తెలిసిన విషయమే:
F = w = mg = (1 kg)(10 m/s²) = 10 న్యూటన్
r = 0,1 మీటర్
అడిగారు:
లోడ్ కదలిక త్వరణం
సమాధానం :
లెక్కింపు జడత్వ భ్రామకం డాన్ శైలి క్షణం ప్రధమ.

సరైన సమాధానం D.

8. 2M ద్రవ్యరాశి మరియు R వ్యాసార్థం కలిగిన ఒక ఘన డిస్క్ కప్పి అంచు చుట్టూ ఒక తాడు చుట్టబడి ఉంది, మరియు తాడు యొక్క ఒక చివర m ద్రవ్యరాశి గల ఒక బరువు వేలాడదీయబడింది. బరువును విడుదల చేసినప్పుడు, కప్పి కోణీయ త్వరణంతో తిరుగుతుంది. ఒకవేళ M ద్రవ్యరాశి గల ఒక వస్తువును కప్పికి జోడిస్తే, కప్పి అదే కోణీయ త్వరణంతో తిరగడానికి, బరువు యొక్క ద్రవ్యరాశిని తప్పనిసరిగా... (I పుల్లీ = ½ mr)²).
ఎ. ¾ మీ కిలోగ్రాములు
బి. 3/2 మీ కిలోగ్రాములు
సి. 2 మీ కిలోగ్రాములు
డి. 3 మీ కేజీ
E. 4 మీటర్ల కిలోగ్రాములు

చర్చ :
ఇది తెలిసిన విషయమే:
ఘన డిస్క్ పుల్లీ ద్రవ్యరాశి: 2M
ఘన డిస్క్ పుల్లీ యొక్క వ్యాసార్థం : R
లోడ్ ద్రవ్యరాశి: మీ
అడిగారు :
బరువు యొక్క ద్రవ్యరాశి ఎంత?
సమాధానం :

M ద్రవ్యరాశి గల వస్తువును ఒక ఘన డిస్క్ పుల్లీకి జోడించడానికి ముందు మరియు తర్వాత దాని జడత్వ భ్రమణాన్ని లెక్కించండి:
జడత్వ భ్రామకం 1 : I = ½ mr² = ½ (2M)(R)² = MR²
జడత్వ భ్రామకం 2 : I = ½ mr² = ½ (2M + M)(R)² = ½ (3M)(R)² = 1,5 MR²

ప్రశ్న మూలం:

సీనియర్ హైస్కూల్/వొకేషనల్ హైస్కూల్ విద్యార్థుల కోసం జాతీయ భౌతికశాస్త్ర పరీక్ష ప్రశ్నలు