వృత్త సమీకరణంపై చర్చా ప్రశ్న యొక్క ఉదాహరణ
వృత్త సమీకరణం అనేది విశ్లేషణాత్మక జ్యామితిలో ఒక ముఖ్యమైన అంశం. వృత్త సమీకరణంపై మంచి అవగాహన గణితంలోనే కాకుండా వివిధ ఇంజనీరింగ్ మరియు శాస్త్రీయ అనువర్తనాలలో కూడా చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ఈ వ్యాసంలో, మనం వృత్త సమీకరణాలకు సంబంధించిన అనేక ఉదాహరణలు మరియు వాటి పరిష్కారాల గురించి చర్చిస్తాము. వృత్త సమీకరణాలకు సంబంధించిన సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో స్పష్టమైన మరియు సమగ్రమైన అవలోకనాన్ని అందించడమే దీని లక్ష్యం.
వృత్తం యొక్క సాధారణ సమీకరణం
కార్టీసియన్ నిరూపక వ్యవస్థలో వృత్తానికి అత్యంత సాధారణ సమీకరణం:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
ఎక్కడ:
– \( (a, b) \) లు వృత్త కేంద్రం యొక్క నిరూపకాలు.
– \( r \) అనేది వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం.
వృత్త కేంద్రం \( (0, 0) \) బిందువు వద్ద ఉంటే, ఆ వృత్త సమీకరణం ఇలా ఉంటుంది:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
ఇప్పుడు, కొన్ని ఉదాహరణ సమస్యలు మరియు వాటి పరిష్కారాల గురించి చర్చిద్దాం.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 1
ప్రశ్న: కేంద్రం (3, -2) వద్ద ఉండి, వ్యాసార్థం 5 కలిగిన వృత్త సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:
వృత్త సమీకరణం యొక్క సాధారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
\( a = 3 \), \( b = -2 \), మరియు \( r = 5 \) విలువలను ప్రతిక్షేపించండి:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
కాబట్టి, వృత్త సమీకరణం:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
ఉదాహరణ ప్రశ్న 2
ప్రశ్న: కేంద్రం మూలబిందువు (0, 0) వద్ద ఉండి, వ్యాసార్థం 7 కలిగిన వృత్త సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:
వృత్త కేంద్రం మూలబిందువు వద్ద ఉన్నందున, మనం ఈ సరళ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
\( r = 7 \) విలువను ప్రతిక్షేపించండి:
\[ x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
కాబట్టి, వృత్త సమీకరణం:
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
ఉదాహరణ ప్రశ్న 3
ప్రశ్న: కేంద్రం (4, -5) బిందువు వద్ద ఉండి, Y అక్షాన్ని తాకే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:
Y-అక్షాన్ని స్పర్శించే వృత్తం అంటే, వృత్త కేంద్రం నుండి Y-అక్షానికి గల దూరం దాని వ్యాసార్థానికి సమానం. ఈ దూరం వృత్త కేంద్రం యొక్క X-నిర్దేశాంకం యొక్క సంపూర్ణ విలువ. కాబట్టి, వ్యాసార్థం 4.
వృత్త సమీకరణం యొక్క సాధారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
\( a = 4 \), \( b = -5 \), మరియు \( r = 4 \) విలువలను ప్రతిక్షేపించండి:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
కాబట్టి, వృత్త సమీకరణం:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
ఉదాహరణ ప్రశ్న 4
ప్రశ్న: ఒక వృత్తం యొక్క సమీకరణం \( x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \). ఆ వృత్తం యొక్క కేంద్రాన్ని మరియు వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:
ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మనం దానిని ప్రామాణిక రూపంలోకి మార్చాలి \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \). దీనిని పూర్తి చేయడానికి దశలు ఈ క్రింది విధంగా ఉన్నాయి:
1. సంపూర్ణ వర్గాలను సమూహపరచడం మరియు సాధించడం:
ప్రారంభ సమీకరణం:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]
గ్రూప్ \( x \) మరియు \( y \):
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
2. సంపూర్ణ వర్గాన్ని పరిష్కరించండి:
\( x^2 – 6x \) కొరకు:
\[ x^2 – 6x + 9 \]
\( y^2 + 4y \) కొరకు:
\[ y^2 + 4y + 4 \]
సమీకరణానికి ఇరువైపులా 9 మరియు 4 లను కలపండి:
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
కాబట్టి, వృత్త సమీకరణం ప్రామాణిక రూపంలో ఈ విధంగా ఉంటుంది:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
ఇక్కడ నుండి, వృత్త కేంద్రం \( (3, -2) \) అని మరియు వ్యాసార్థం \( r = \sqrt{25} = 5 \) అని మనం చూడవచ్చు.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 5
ప్రశ్న: (2, 3) మరియు (4, 5) బిందువుల గుండా వెళుతూ, x = 3 రేఖపై కేంద్రాన్ని కలిగి ఉన్న వృత్త సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:
ప్రశ్న నుండి, వృత్త కేంద్రం (3, b) అని మనకు తెలుసు. ఆ వృత్తం రెండు తెలిసిన బిందువుల గుండా కూడా వెళుతుంది. వృత్తం (2, 3) గుండా వెళుతుంది కాబట్టి, కేంద్రం నుండి ఈ బిందువుకు గల దూరమే వ్యాసార్థం అవుతుంది.
వృత్త సమీకరణం:
\[ (x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
ప్రతిక్షేపణ స్థానం (2, 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ (3 – b)^2 = r^2 – 1 \]
ప్రతిక్షేపణ స్థానం (4, 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ (5 – b)^2 = r^2 – 1 \]
రెండు సమీకరణాల నుండి, మనకు (3 – b)^2 = (5 – b)^2 అని తెలుసు. కాబట్టి:
\[ 3 – b = \pm(5 – b) \]
(3 – b = 5 – b) అయితే, ఫలితం నిజం కాజాలదు. కాబట్టి:
\[ 3 – b = -(5 – b) \]
[b = 4]
b = 4 అయితే, వృత్త సమీకరణం:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
అయితే, కేంద్రానికి మరియు బిందువు (2, 3) కి మధ్య ఉన్న దూరం నుండి మనం వ్యాసార్థం r ను లెక్కించవచ్చు = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)
వృత్త సమీకరణం:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
ముగింపు
వృత్త సమీకరణాన్ని అర్థం చేసుకోవడం వల్ల అనేక గణిత సమస్యలను సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు. ప్రతి సందర్భంలోనూ, కేంద్రాన్ని మరియు వ్యాసార్థాన్ని గుర్తించడం చాలా ముఖ్యం. ఈ ఉదాహరణ సమస్యలు మరియు వాటి వివరణలు మీకు స్పష్టతను అందించి, వృత్త సమీకరణాన్ని నేర్చుకోవడంలో సహాయపడతాయని ఆశిస్తున్నాము. గణితంలో సాధనతోనే పరిపూర్ణత వస్తుంది, కాబట్టి మీ నైపుణ్యాలను మెరుగుపరచుకోవడానికి వివిధ సమస్యలను ప్రయత్నించడానికి సంకోచించకండి.
