వృత్తానికి గీసే స్పర్శరేఖ సమీకరణంపై చర్చా ప్రశ్నకి ఉదాహరణ

వృత్తానికి స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

పెండహులువాన్
వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖ సమీకరణం విశ్లేషణాత్మక జ్యామితిలో ఒక ముఖ్యమైన అంశం. వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని ఎలా కనుక్కోవాలో అర్థం చేసుకోవడం, మధ్యస్థం నుండి ఉన్నత స్థాయిల వరకు అనేక రకాల గణిత సమస్యలను పరిష్కరించడంలో సహాయపడుతుంది. ఈ వ్యాసం వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోవడానికి సంబంధించిన వివిధ ఉదాహరణ సమస్యలను మరియు పద్ధతులను చర్చిస్తుంది.

నిర్వచనం మరియు ప్రాథమిక సిద్ధాంతం
నిరూపక తలంలో ఒక వృత్తాన్ని సాధారణంగా ఒక వర్గ సమీకరణం ద్వారా సూచించవచ్చు:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
ఇక్కడ \((a, b)\) అనేది వృత్తం యొక్క కేంద్ర బిందువు మరియు \(r\) అనేది వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం.

బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖ అనేది వృత్తాన్ని సరిగ్గా ఒకే బిందువు వద్ద తాకే రేఖ. ఆ రేఖ సమీకరణం అని మనం అనుకుంటే:
[ y = mx + c ]
అప్పుడు \(y = mx + c\) అనే రేఖ వృత్తానికి స్పర్శరేఖగా ఉంటుందనే షరతును ఈ క్రింది రూపంలో వ్యక్తీకరించవచ్చు:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
ఇక్కడ \(m\) అనేది స్పర్శరేఖ యొక్క వాలు మరియు \(c\) అనేది ఒక స్థిరాంకం.

స్పర్శరేఖ సమీకరణ సూత్రం
కేంద్రం \((0,0)\) మరియు వ్యాసార్థం \(r\) గల వృత్తానికి, ఆ వృత్తంపై ఉన్న బిందువు \((x_1, y_1)\) వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ సమీకరణం:
\[ x_1x + y_1y = r^2 \]
కానీ వృత్త కేంద్రం \((a, b)\) బిందువు వద్ద ఉంటే, అప్పుడు సమీకరణం:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]

నమూనా ప్రశ్నలు మరియు చర్చలు

ప్రశ్న 1
కేంద్రం \((3, 4)\) వద్ద మరియు వ్యాసార్థం 5 యూనిట్లు కలిగిన ఒక వృత్తం. బిందువు \((6, 8)\) నుండి గీసిన స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

చర్చ:
ఈ సమస్యలో, కేంద్రం \((3, 4)\) మరియు వ్యాసార్థం 5 కలిగిన ఒక వృత్తం మనకు ఇవ్వబడింది, మరియు మనం బిందువు \((6, 8)\) నుండి గీసిన స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనాలి. దీనిని పరిష్కరించే దశలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

1. బిందువు \((6, 8)\) వృత్తం లోపల లేదని సరిచూసుకోండి: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
కాబట్టి ఆ బిందువు వృత్తం మీద ఉంది, అందువల్ల స్పర్శరేఖను కనుగొనడానికి దాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

2. సూత్రాన్ని ఉపయోగించి:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3)(x – 3) + (8 – 4)(y – 4) = 5^2
\]

3. సమీకరణాన్ని సరళీకరించండి:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]

4. అభివృద్ధి చేయండి:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4y – 25 = 50
\]

పొందిన స్పర్శరేఖ సమీకరణం:
\[
3x + 4y = 50
\]

ప్రశ్న 2
సమీకరణం \[x^2 + y^2 = 16\] గల వృత్తం. బిందువు \((4, 0)\) నుండి గీసిన స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

చర్చ:
కేంద్రం \((0, 0)\) మరియు వ్యాసార్థం 4 యూనిట్లు కలిగిన ఒక వృత్తం. ఇవ్వబడిన బాహ్య బిందువు \((4, 0)\).

1. కేంద్రం \((0, 0)\) గల వృత్తానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి:
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]

2. విలువ ప్రతిక్షేపణ:
\[
4x + 0 ⋅ y = 4^2
\]

3. సరళీకరించండి:
\[
4x = 16
\]
\[
x = 4
\]

అంటే, మనకు ఉన్న టాంజెంట్ సమీకరణం ఇది:
\[
x = 4
\]

ప్రశ్న 3
వృత్తం \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\) కు \((-1, 5)\) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖను గీయండి.

చర్చ:
కేంద్రం \((-2, 3)\) వద్ద మరియు వ్యాసార్థం 3 యూనిట్లు కలిగిన ఒక వృత్తం. స్పర్శ బిందువు \((-1, 5)\).

1. ఆ బిందువు వృత్తంపై ఉందని సరిచూసుకోండి:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{వృత్తంపై లేదు}
\]
అందువల్ల, ప్రశ్న లేదా బిందువును నమోదు చేయడంలో లోపం ఉండవచ్చు. స్పర్శ బిందువుగా \((-2, 6)\) ఇవ్వబడితే:

2. సరళీకరించండి:
\[
(x_1-a)(xa) + (y_1-b)(yb) = r^2
\]
ప్రతిస్థాపన:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
ఫలితం:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3y-9=9
\]
\[
y = 6

పాయింట్ & పర్స్ అని తేలింది:
y = 6 ఖచ్చితంగా సరైనది.

ముగింపు: కలయికను తనిఖీ చేయండి, గుర్తుంచుకోండి, లెక్కించడానికి 2 మార్గాలు.
చెల్లుబాటు/తప్పు..అది ప్లస్ సారాంశం గార్. టిడి 2; ఆకారాన్ని (గ్రిడ్)తో ధృవీకరించండి. ప్లిస్ పరిధి అన్ని కవరేజ్ బటన్లు.

ఇంతే, ధన్యవాదాలు మరియు ఇది నా స్నేహితులకు ఉపయోగపడుతుందని ఆశిస్తున్నాను.

అదనంగా, అవగాహనను పటిష్టం చేసుకునే భావనను నేర్చుకోండి.

ఇంతకుముందు అర్థం చేసుకోని వారికి, దైవానుగ్రహంతో, మరింత వివరమైన కీలక శస్త్రచికిత్స దశలు తెలుస్తాయి.

\[
.facts(n+x)=qa.\color{prevents}-fu.
"