సమతల ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడంలో సమాకలనాల అనువర్తనానికి సంబంధించిన ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు చర్చ
గణిత బోధనలో, కలన గణితంలో సమాకలనాలు తరచుగా ఎదురవుతాయి. ఒక వక్రం లేదా తలం కింద ఉన్న వైశాల్యాన్ని లెక్కించడం అనేది సమాకలనాల యొక్క అత్యంత ప్రసిద్ధ అనువర్తనాలలో ఒకటి. ఈ వ్యాసం అనేక ఉదాహరణ సమస్యలను చర్చిస్తుంది మరియు ఒక తలం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి సమాకలనాల అనువర్తనాన్ని చర్చిస్తుంది.
సిద్ధాంత పరిచయం
ఉదాహరణ సమస్యలోకి వెళ్ళే ముందు, సమాకలనాలను ఉపయోగించి ఒక వక్రరేఖ కింద వైశాల్యాన్ని లెక్కించే ప్రాథమిక భావనను సమీక్షించుకుందాం. మనకు [a, b] అంతరంలో అవిచ్ఛిన్నంగా ఉండే ఒక ప్రమేయం f(x) ఉంటే, అప్పుడు x = a నుండి x = b వరకు y = f(x) వక్రరేఖ కింద వైశాల్యం:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
జ్యామితీయంగా, దీని అర్థం మనం x = a నుండి x = b వరకు ఉన్న చాలా సన్నని దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యాన్ని కూడుతున్నాము.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 1
ప్రశ్న
[1, 3] అంతరంలో y = x² వక్రం క్రింద ఉన్న వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి.
చర్చ
వైశాల్యాన్ని గణించడానికి, మనం సమాకలనాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
మనం \( x^2 \) యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ను కనుగొనడం ద్వారా ప్రారంభిస్తాము. \( x^2 \) యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ \( \frac{x^3}{3} \). అప్పుడు ఇంటిగ్రల్ ఇలా అవుతుంది:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
సమాకలనం యొక్క అవధులపై మనం వ్యతిరేక అవకలనాన్ని మూల్యాంకనం చేయాలని గుర్తుంచుకోండి:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
కాబట్టి, y = x² వక్రం కింద x = 1 నుండి x = 3 వరకు ఉన్న వైశాల్యం:
\[ \frac{26}{3} \, \text{వైశాల్యం యూనిట్} \]
ఉదాహరణ ప్రశ్న 2
ప్రశ్న
y = x³ వక్రం మరియు x = 1, x = 2 రేఖలచే పరిమితమైన ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
చర్చ
వైశాల్యాన్ని గణించడానికి, మనం సమాకలనాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
ఎప్పటిలాగే, మనం \( x^3 \) యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ను కనుగొనడం ద్వారా ప్రారంభిస్తాము. \( x^3 \) యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ \( \frac{x^4}{4} \). సమాకలనం ఇలా అవుతుంది:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
సమాకలనం యొక్క అవధులను కనుగొనండి:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
కాబట్టి, y = x³ వక్రం కింద x = 1 నుండి x = 2 వరకు ఉన్న వైశాల్యం:
\[ \frac{15}{4} \, \text{వైశాల్యం యూనిట్} \]
ఉదాహరణ ప్రశ్న 3
ప్రశ్న
x = 0 నుండి x = 1 అంతరంలో y = x² + 1 మరియు y = 2x + 2 వక్రాలచే పరిమితమైన ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
చర్చ
మొదట, సమాకలనం యొక్క అవధులను నిర్ధారించడానికి మనం ఖండన బిందువులను కనుగొనాలి. \( x^2 + 1 = 2x + 2 \) యొక్క సాధన:
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
వర్గ సమీకరణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
అయితే, 0 మరియు 1 మధ్య ఉన్న ఎగువ మరియు దిగువ పరిమితుల కోసం, మనం వర్గ సమీకరణ పరిష్కారాన్ని ఉపయోగించాల్సిన అవసరం లేదు, కేవలం 0 నుండి 1 వరకు ఉన్న సాధారణ సమాకలన పరిమితిని ఉపయోగిస్తే సరిపోతుంది. తరువాత, ఈ పరిమితుల ప్రకారం పై y వక్రం యొక్క వైశాల్యం నుండి కింది y వక్రం యొక్క వైశాల్యాన్ని తీసివేసి లెక్కించండి:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
ఫంక్షన్ సరళీకరణ:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
తరువాత, మనం యాంటీడెరివేటివ్ను కనుగొంటాము:
\( (-x^2) \) యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ \( -\frac{x^3}{3} \),
\( (2x) \) యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ \( x^2 \),
\( (1) \) యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ \( x \).
అందువల్ల,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
తదుపరి మూల్యాంకనం:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
కాబట్టి, [0, 1] అంతరంలో y = x² + 1 మరియు y = 2x + 2 వక్రాలచే పరిమితమైన ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యం:
\[ \frac{5}{3} \, \text{వైశాల్యం యూనిట్} \]
-
పై ఉదాహరణల నుండి, ఒక వక్రరేఖ కింద లేదా రెండు వక్రరేఖల మధ్య ఉన్న వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి సమాకలనాలను ఎలా ఉపయోగించవచ్చో మనం చూడవచ్చు. సమాకలనాలు మరియు యాంటీడెరివేటివ్ పద్ధతుల యొక్క ప్రాథమిక భావనలపై సరైన అవగాహనతో, ఈ వైశాల్యాలను లెక్కించడం చాలా క్రమబద్ధంగా మరియు సమర్థవంతంగా మారుతుంది. ఈ వ్యాసం, నిజ ప్రపంచంలో, ముఖ్యంగా సమతల ఉపరితలాల వైశాల్యాన్ని కొలిచే రంగంలో, సమాకలనాల అనువర్తనంపై మన అవగాహనను పెంచిందని ఆశిస్తున్నాము.
