విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి చర్చా ప్రశ్నల ఉదాహరణ
పెండహులువాన్
విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి అనేది స్థలం మరియు ఆకారానికి సంబంధించిన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి బీజగణితం మరియు జ్యామితిని కలిపే గణితశాస్త్ర శాఖ. ఇది సమీకరణాలు మరియు నిరూపకాలను ఉపయోగించి జ్యామితీయ సమస్యలను విశ్లేషించడానికి మనకు వీలు కల్పించే ఒక శక్తివంతమైన సాధనం. ఈ వ్యాసం విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి వైశాల్య సమస్యలకు సంబంధించిన అనేక ఉదాహరణలను చర్చిస్తుంది మరియు లోతైన అవగాహనను సులభతరం చేయడానికి వాటిని వివరంగా చర్చిస్తుంది.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 1: రేఖ సమీకరణం
ప్రశ్న:
A(1, 2) మరియు B(3, 7) అనే రెండు బిందువులు ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ రెండు బిందువుల గుండా వెళ్ళే రేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.
చర్చ:
రెండు బిందువుల గుండా వెళ్ళే రేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి, మనం వాలు (గ్రేడియంట్) సూత్రం mను ఉపయోగించవచ్చు:
\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]
బిందువు A(x1, y1) = (1, 2) మరియు బిందువు B(x2, y2) = (3, 7) తో:
\[ m = \frac{7 – 2}{3 – 1} = \frac{5}{2} \]
తరువాత, రేఖ సమీకరణం యొక్క సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]
ఒక బిందువు ప్రతిక్షేపణ, ఉదాహరణకు బిందువు A(1, 2):
\[ y – 2 = \frac{5}{2}(x – 1) \]
ఈ రూపాన్ని y కోసం ఒక స్పష్టమైన సమీకరణంగా మార్చండి:
\[ y – 2 = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} \]
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} + 2 \]
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
కాబట్టి, ఆ రేఖ యొక్క సమీకరణం:
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
ఉదాహరణ ప్రశ్న 2: వృత్తం
ప్రశ్న:
C(-2, 3) బిందువు వద్ద కేంద్రంగా మరియు 4 వ్యాసార్థంతో ఉన్న వృత్త సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.
చర్చ:
(h, k) వద్ద కేంద్రం మరియు r వ్యాసార్థం కలిగిన వృత్తం యొక్క సాధారణ సమీకరణం:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
ప్రశ్న ప్రకారం, వృత్త కేంద్రం (h, k) = (-2, 3) మరియు వ్యాసార్థం r = 4. కాబట్టి,
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 4^2 \]
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
కాబట్టి, వృత్త సమీకరణం:
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
ఉదాహరణ ప్రశ్న 3: పరావలయం
ప్రశ్న:
(1, -2) వద్ద శీర్షం మరియు (1, 0) వద్ద నాభి కలిగిన నిలువు పరావలయం యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.
చర్చ:
(h, k) శీర్షం కలిగిన నిలువు పరావలయానికి, సాధారణ సమీకరణం:
\[ (x – h)^2 = 4p(y – k) \]
శీర్షం (h, k) = (1, -2) ఇవ్వబడింది, మనం p విలువను కనుగొనాలి. పరావలయం యొక్క నాభి (h, k + p), మరియు సమస్య ప్రకారం నాభి (1, 0):
\[ k + p = 0 – (-2) = 2 \]
అందువల్ల:
[p = 2]
కాబట్టి, సాధారణ సమీకరణం ఇలా అవుతుంది:
\[ (x – 1)^2 = 4 \cdot 2 (y + 2) \]
\[ (x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
కాబట్టి, పరావలయం యొక్క సమీకరణం:
\[ (x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
ఉదాహరణ ప్రశ్న 4: దీర్ఘవృత్తం
ప్రశ్న:
(0, 0) బిందువు వద్ద కేంద్రాన్ని కలిగి, ప్రధాన అక్షం పొడవు 10 మరియు లఘు అక్షం 6 ఉన్న ఒక దీర్ఘవృత్తం ఇవ్వబడింది. ఆ దీర్ఘవృత్తం యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.
చర్చ:
దీర్ఘవృత్తం (h, k) యొక్క కేంద్రం (0, 0), ప్రధాన అక్షం పొడవు 2a = 10 కాబట్టి a = 5, మరియు గౌణ అక్షం పొడవు 2b = 6 కాబట్టి b = 3. (0, 0) వద్ద కేంద్రం ఉన్న దీర్ఘవృత్తానికి సాధారణ సమీకరణం:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
a మరియు b విలువలలో ప్రతిక్షేపించండి:
\[ \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
కాబట్టి, దీర్ఘవృత్తం యొక్క సమీకరణం:
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
ఉదాహరణ ప్రశ్న 5: అతిపరావలయం
ప్రశ్న:
(1, -3) వద్ద కేంద్రాన్ని కలిగిన ఒక అతిపరావలయం ఇవ్వబడింది, దాని తిర్యక్ అక్షం పొడవు 8 మరియు సంయుగ్మ అక్షం పొడవు 6. ఆ అతిపరావలయం యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.
చర్చ:
(h, k) కేంద్రంగా మరియు క్షితిజ సమాంతర తిర్యక్ అక్షం కలిగిన అతిపరావలయానికి, సాధారణ సమీకరణం:
\[ \frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 \]
అతిపరావలయం (h, k) యొక్క కేంద్రం (1, -3), తిర్యక్ అక్షం పొడవు 2a = 8, కాబట్టి a = 4, మరియు సంయుగ్మ అక్షం పొడవు 2b = 6, కాబట్టి b = 3. అందువల్ల, అతిపరావలయం యొక్క సమీకరణం:
\[ \frac{(x – 1)^2}{4^2} – \frac{(y + 3)^2}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
కాబట్టి, అతిపరావలయం యొక్క సమీకరణం:
\[ \frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
ముగింపు
విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి అనేది బీజగణిత సమీకరణాలను ఉపయోగించి జ్యామితీయ ఆకారాలు మరియు నిర్మాణాలను విశ్లేషించడానికి ఒక శక్తివంతమైన పద్ధతి. రేఖలు, వృత్తాలు, పరావలయాలు, దీర్ఘవృత్తాలు మరియు అతిపరావలయాల సమీకరణాల ప్రాథమిక భావనలను అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా, మనం వివిధ రకాల జ్యామితీయ సమస్యలను సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు. ఈ వ్యాసం మీ అవగాహనను మరింత లోతుగా పెంచుకోవడానికి విశ్లేషణాత్మక జ్యామితిలోని ముఖ్యమైన సమస్యల ఉదాహరణలు మరియు చర్చలను అందిస్తుంది. అదనపు అభ్యాస సమస్యలు ఈ అంశంపై మీ అవగాహనను పటిష్టం చేయడానికి మరియు విస్తరించడానికి సహాయపడతాయి.
