பரவல் அளவு

பரவலின் அளவீடுகள்: தரவுகளில் உள்ள மாறுபாட்டைப் புரிந்துகொள்ளுதல்

புள்ளிவிவரவியல் மற்றும் தரவுப் பகுப்பாய்வில், துல்லியமான மற்றும் பொருத்தமான அனுமானங்களைச் செய்வதற்கு, தரவுகளின் பரவல் மற்றும் மாறுபாட்டைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியமானது. தரவுகளில் உள்ள மாறுபாட்டை விவரிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு முக்கியக் கருத்து "பரவல் அளவீடு" ஆகும். இந்தக் கட்டுரை, பல்வேறு பரவல் அளவீடுகள், அவற்றின் முக்கியத்துவம், அவற்றை எவ்வாறு கணக்கிடுவது, மற்றும் தரவுப் பகுப்பாய்வுச் சூழலில் அவற்றின் விளக்கம் ஆகியவற்றை விவாதிக்கும்.

பரவலின் அளவீடு என்றால் என்ன?

பரவல் அளவீடுகள் என்பவை, ஒரு தரவுத் தொகுப்பில் உள்ள தரவுகள் ஒரு மைய மதிப்பிலிருந்து எந்த அளவிற்குப் பரவியுள்ளன அல்லது சிதறியுள்ளன என்பதை விவரிக்கப் பயன்படும் அளவீடுகளாகும். இந்த மைய மதிப்பானது, பொதுவாக சராசரி அல்லது இடைநிலை போன்ற மையப் போக்கு அளவீடுகளைப் பயன்படுத்தி அளவிடப்படுகிறது. பரவல் அளவீடுகள், தரவுகளின் வீச்சு, மாறுபாடு மற்றும் நிலைத்தன்மை குறித்த புரிதலை வழங்குகின்றன.

பரவல் அளவு ஏன் முக்கியமானது?

1. மாறுபாட்டைப் புரிந்துகொள்ளுதல்:
மாறுபடும் தன்மை என்பது எந்தவொரு தரவின் இன்றியமையாத பகுதியாகும். தரவு எவ்வளவு மாறுபடுகிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், அந்தத் தரவின் உள்ளார்ந்த இயக்கவியலை நம்மால் புரிந்துகொள்ள முடியும்.

2. விதிவிலக்குகளை அடையாளம் காணுதல்:
தரவுப் பரவல், மேலதிகப் பகுப்பாய்விற்கு முக்கியமானதாக இருக்கக்கூடிய அல்லது பிழைத் தரவுகளாக இருக்கக்கூடிய புறமதிப்புகளை (மீதமுள்ள தரவுகளிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ள உச்சநிலை மதிப்புகள்) அடையாளம் காண உதவும்.

3. தரவுத்தொகுப்பு ஒப்பீடு:
பரவல் அளவீடுகள் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தரவுத் தொகுப்புகளுக்கு இடையே ஒப்பீடுகளைச் செய்ய அனுமதிக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு தரவுத் தொகுப்புகள் ஒரே சராசரியைக் கொண்டிருக்கலாம், ஆனால் வெவ்வேறு மாறுபாடுகள் அல்லது பரவல்களைக் கொண்டிருக்கலாம்.

4. அனுமானப் புள்ளிவிவரங்கள்:
பல அனுமானப் புள்ளிவிவர முறைகளுக்கு, சரியான மற்றும் குறிப்பிடத்தக்க முடிவுகளை எடுப்பதற்குத் தரவுகளின் பரவல் குறித்த நல்ல புரிதல் தேவைப்படுகிறது.

பரவல் அளவின் வகைகள்

புள்ளிவிவரத் தரவுப் பகுப்பாய்வில் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் பரவலின் பல அளவீடுகள் உள்ளன:

1. வரம்பு

வீச்சு என்பது பரவலின் எளிய அளவீடு ஆகும், மேலும் இது ஒரு தரவுத் தொகுப்பில் உள்ள அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடாகக் கணக்கிடப்படுகிறது.

\[ \text{வீச்சு} = \text{அதிகபட்ச மதிப்பு} – \text{குறைந்தபட்ச மதிப்பு} \]

கணக்கிடுவது எளிதானது என்றாலும், இந்த வரம்பு இரண்டு தரவுப் புள்ளிகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்கிறது, மேலும் இது குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச மதிப்புகளுக்கு இடையிலான தரவுகளின் பரவலைப் பிரதிபலிப்பதில்லை.

2. கால்மான இடைவெளி (IQR)

IQR என்பது வீச்சைக் காட்டிலும் பரவலின் ஒரு வலுவான அளவீடு ஆகும், ஏனெனில் அது புறத்தன்மை மதிப்புகளால் பாதிக்கப்படுவதில்லை. இது 75வது சதவிகிதத்திலிருந்து (Q3) 25வது சதவிகிதத்தைக் (Q1) கழிப்பதன் மூலம் தரவின் இடைநிலை வீச்சைக் கணக்கிடுகிறது.

[ \text{IQR} = Q3 – Q1 \]

சராசரியில் கவனம் செலுத்துவதன் மூலம், IQR அடிப்படைத் தரவுகளின் பரவலைப் பற்றிய ஒரு சிறந்த சித்திரத்தை வழங்குகிறது.

3. மாறுபாடு

மாறுபாடு என்பது ஒரு தரவுத் தொகுப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு மதிப்பும் சராசரியிலிருந்து எவ்வளவு தூரம் விலகி உள்ளது என்பதை அளவிடுகிறது. இது, சராசரியிலிருந்து ஒவ்வொரு மதிப்பும் கொண்டுள்ள வேறுபாடுகளின் வர்க்கங்களைக் கூட்டி, பின்னர் அதனை தரவுக் கூறுகளின் எண்ணிக்கையால் (ஒரு மக்கள் தொகைக்கு) அல்லது கூறுகளின் எண்ணிக்கையிலிருந்து ஒன்றைக் கழித்த எண்ணால் (ஒரு மாதிரிக்கு) வகுப்பதன் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது.

மக்கள் தொகைக்கு (\(\sigma^2\)):

\[ \sigma^2 = \frac{\sum (X_i – \mu)^2}{N} \]

மாதிரிக்கு (\(s^2\)):

\[ s^2 = \frac{\sum (X_i – \overline{X})^2}{n-1} \]

மாறுபாடு என்பது தரவுகளின் நிலைத்தன்மையைப் பற்றிய ஒரு கருத்தை வழங்குகிறது; இருப்பினும், மாறுபாடு வர்க்க அலகுகளைப் பயன்படுத்துவதால், அதை நேரடியாகப் புரிந்துகொள்வது கடினமாக இருக்கலாம்.

4. திட்ட விலகல்

திட்ட விலக்கம் என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம் ஆகும், மேலும் இது அசல் தரவுகளின் அதே அலகுகளில் இருப்பதால், விளக்கமளிப்பது எளிதாகிறது.

மக்கள் தொகைக்கு (\(\sigma\)):

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{\sum (X_i – \mu)^2}{N}} \]

மாதிரிக்கு (\(s\)):

\[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{\sum (X_i – \overline{X})^2}{n-1}} \]

திட்ட விலக்கம் என்பது பரவலின் மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் அளவீடுகளில் ஒன்றாகும், ஏனெனில் அதனைப் புரிந்துகொள்வது எளிது மற்றும் இது பல்வேறு புள்ளியியல் பகுப்பாய்வுகளில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

5. மாறுபாட்டுக் குணகம் (CV)

CV என்பது திட்ட விலகலுக்கும் சராசரிக்கும் உள்ள விகிதமாக வெளிப்படுத்தப்படும் சார்புப் பரவலின் ஓர் அளவீடு ஆகும், மேலும் இது பெரும்பாலும் சதவீதமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

\[ \text{CV} = \frac{s}{\overline{X}} \times 100\% \]

வெவ்வேறு சராசரிகளைக் கொண்ட தரவுத் தொகுப்புகளுக்கு இடையேயான மாறுபாட்டை ஒப்பிடுவதற்கு CV மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கிறது.

கணக்கிடுவது மற்றும் விளக்குவது எப்படி

கணக்கீட்டு எடுத்துக்காட்டு

பின்வரும் தரவு உதாரணத்தின் மூலம் விளக்குவோம்:

\[ \{15, 20, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95\} \]

1. வரம்பு:

\[ \text{வீச்சு} = 95 – 15 = 80 \]

2. கால்மான இடைவெளி (IQR):

தரவுகளை வரிசைப்படுத்திய பிறகு, நாம் கால்மானங்களான Q1 மற்றும் Q3-ஐக் கண்டறியலாம். இந்த நேர்வில், Q1 என்பது 25 மற்றும் Q3 என்பது 75 ஆகும்.

\[ \text{IQR} = 75 – 25 = 50 \]

3. மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலகல்:

தரவின் சராசரி (\(\overline{X}\)) 51.5 ஆகும். பின்னர் நாம் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலையைக் கணக்கிடுகிறோம்.

\[ \text{மாறுபாடு (s^2)} = \frac{1}{n-1} \sum (X_i – \overline{X})^2 = 816.11 \]

\[ \text{திட்ட விலகல் (வி)} = \sqrt{816.11} = 28.57 \]

4. மாறுபாட்டுக் குணகம் (CV):

\[ \text{CV} = \frac{28.57}{51.5} \times 100\% \approx 55.48\% \]

இதிலிருந்து, திட்ட விலக்கம் 28.57 என நாம் புரிந்துகொள்ளலாம், அதே சமயம் மாறுபாட்டுக் குணகம் (CV) திட்ட விலக்கமானது அசல் தரவின் சராசரியில் சுமார் 55.48% என்பதைக் காட்டுகிறது.

முடிவுரை

பரவல் அளவீடுகள் புள்ளிவிவரத் தரவுப் பகுப்பாய்வின் இன்றியமையாத கூறுகளாகும், ஏனெனில் அவை ஒரு மைய மதிப்பைச் சுற்றியுள்ள தரவுகளின் மாறுபாடு மற்றும் பரவல் குறித்த நுண்ணறிவை வழங்குகின்றன. பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் பரவல் அளவீடுகளில் வீச்சு, கால்மான இடைவெளி, மாறுபாடு, திட்ட விலக்கம் மற்றும் மாறுபாட்டுக் கெழு ஆகியவை அடங்கும். இந்த அளவீடுகள் ஒவ்வொன்றும் குறிப்பிட்ட பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் தரவின் சூழல் மற்றும் பகுப்பாய்வின் நோக்கத்தைப் பொறுத்து மதிப்புமிக்க நுண்ணறிவுகளை வழங்க முடியும். பரவல் அளவீடுகளை முறையாகப் புரிந்துகொண்டு பயன்படுத்துவதன் மூலம், பல்வேறு ஆராய்ச்சித் துறைகளிலும் தரவு அறிவியல் பயன்பாடுகளிலும் நாம் மேலும் தகவலறிந்த மற்றும் துல்லியமான முடிவுகளை எடுக்க முடியும்.