தொடர்ச்சி சமன்பாடு

தொடர்ச்சி சமன்பாட்டுப் பொருள்

குழாயிலிருந்து வரும் நீரின் ஓட்டத்தைக் கவனித்தவாறே, தண்ணீர்க் குழாயை மெதுவாகத் திறந்து பாருங்கள். குழாய் சுற்றுவதை நிறுத்தியவுடன், உங்கள் கையால் குழாயைப் பகுதியளவு அடைத்துக் கொள்ளுங்கள். இப்போது, ​​எந்த நீர் ஓட்டம் அதிகமாக உள்ளது என்பதை ஒப்பிட்டுப் பாருங்கள். பகுதியளவு அடைக்கப்பட்ட நிலையில் அதிகமாகவா அல்லது அடைக்கப்படாத நிலையில் அதிகமாகவா? பொதுவாகப் பூக்களுக்குத் தண்ணீர் ஊற்றப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு குழாய் உங்களிடம் இருந்தால், அதன் வழியாகத் தண்ணீரை ஓட விடுங்கள். உங்கள் கையாலோ அல்லது விரலாலோ குழாயைப் பகுதியளவு அடைத்துக் கொள்ளுங்கள். குழாயின் எந்தப் பகுதி அதிகமாக அடைக்கப்படுகிறதோ, அந்த அளவிற்குத் தண்ணீர் வேகமாக வெளியேறும். இதற்கு நேர்மாறாக, குழாய் அடைக்கப்படாமல் இருந்தால், தண்ணீர் மெதுவாகவே வெளியேறும். இது ஏன் இப்படி இருக்கிறது? இதைப் புரிந்துகொள்ள, தொடர்ச்சிச் சமன்பாட்டைப் படியுங்கள்.

நீரோட்டக் கோடுகள் மற்றும் பாய்வுக் குழாய்கள்

முதலில், நீரோட்டக் கோடுகள் மற்றும் பாய்வுக் குழாய்கள் பற்றிய கருத்துகளைப் புரிந்துகொள்வோம். இந்தக் கருத்து முக்கியமானது, ஏனெனில் இது தொடர்ச்சிச் சமன்பாட்டைப் புரிந்துகொள்ள உங்களுக்கு உதவும்.

நீரோட்டம்

கீழே உள்ள படத்தைப் பாருங்கள், நீலக் கோடுதான் ஸ்ட்ரீம்லைன்.

சீரான ஓட்டத்தில், புள்ளி A போன்ற ஒரு புள்ளியில் ஒவ்வொரு பாய்மத் துகளின் திசைவேகமும் மாறாமல் இருக்கும். அது புள்ளி B-ஐக் கடக்கும்போது, ​​பாய்மத் துகள்களின் திசைவேகம் மாறக்கூடும். இருப்பினும், புள்ளி B-ஐ வந்தடைந்தவுடன், பின்னால் வரும் பாய்மத் துகள்கள், தங்களுக்கு முன்னால் வந்த பாய்மத் துகள்களின் அதே திசைவேகத்தில் தொடர்ந்து பாய்கின்றன. புள்ளி C-ஐ வந்தடையும்போதும் இதுவே பொருந்தும், இப்படியே தொடரும். பாய்வுக்கோடு என்பது A, B, மற்றும் C ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் வளைகோடு ஆகும்.

பாய்வு குழாய்

அடிப்படையில், பாய்ம ஓட்டத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளி வழியாகவும் ஒவ்வொரு ஓட்டக்கோட்டையும் நம்மால் வரைய முடியும். சீரான பாய்ம ஓட்டத்தைக் கருத்தில் கொண்டால், ஒரு கற்பனைப் பரப்பின் மீது ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தில் செல்லும் பல ஓட்டக்கோடுகள் ஒரு பாய்வுக் குழாயை உருவாக்குகின்றன. எந்தப் பாய்மத் துகள்களும் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்வதில்லை, ஆனால் அவை எப்போதும் இணையாகவே இருக்கும். மேலும், அந்தப் பாய்வுக் குழாய் எப்போதும் ஒரே வடிவத்தைக் கொண்ட ஒரு குழாயைப் போலவே இருக்கும். குழாயின் ஒரு முனையில் நுழையும் பாய்மம், மறுமுனையில் வெளியேறும்.

டெபிட்

வெளியேற்றம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நேர இடைவெளியில், ஒரு குறிப்பிட்ட குறுக்குவெட்டுப் பகுதி வழியாகப் பாயும் திரவத்தின் கன அளவைக் குறிக்கிறது. கணிதரீதியாக, இதனைப் பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தலாம்:

உங்கள் புரிதலை மேலும் மேம்படுத்த, ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். ஒரு குழாய் வழியாக ஒரு திரவம் பாய்வதாகக் கொள்வோம். குழாய்கள் பொதுவாக உருளை வடிவிலும், ஒரு குறிப்பிட்ட குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவிலும் இருக்கும். அந்தக் குழாய்க்கு ஒரு நீளமும் உண்டு.

குழாயில் L தூரம் வரை பாய்மம் பாயும்போது, ​​குழாயில் உள்ள பாய்மத்தின் கன அளவு V = AL ஆகும் (V = பாய்மத்தின் கன அளவு, A = குறுக்கு வெட்டுப் பரப்பு மற்றும் L = குழாயின் நீளம்). குழாயில் L வழியே பாய்மமானது ஒரு குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியைக் கடப்பதால், பாய்ம வெளியேற்றத்தின் அளவு பின்வருமாறு கூறலாம்:

v = s/t = L/t —> L = vt என்பதால், மேலே உள்ள சமன்பாடு பின்வருமாறு மாற்றப்படுகிறது:

எனவே, ஒரு குறிப்பிட்ட குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவு மற்றும் நீளம் கொண்ட ஒரு குழாய் வழியாக ஒரு குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் திரவம் பாயும்போது, ​​திரவ வெளியேற்றத்தின் அளவு (Q), குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவை (A) திரவப் பாய்வு வேகத்தால் (v) பெருக்கினால் கிடைக்கும் மதிப்பிற்குச் சமமாக இருக்கும்.

தொடர்ச்சி சமன்பாடு

கீழேயுள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, வெவ்வேறு விட்டங்களைக் கொண்ட ஒரு குழாயில் பாயும் திரவத்தின் ஓட்டத்தைக் கருத்தில் கொள்க.

இந்தப் படம் இடமிருந்து வலமாக பாய்ம ஓட்டத்தைக் காட்டுகிறது (பெரிய விட்டம் கொண்ட குழாயிலிருந்து சிறிய விட்டம் கொண்ட குழாய்க்கு பாய்ம ஓட்டம்). புள்ளிக் கோடுகள் ஓட்டக்கோடுகள் ஆகும்.

பட விளக்கம்: A ₁ = பெரிய விட்டம் கொண்ட குழாய்ப் பகுதியின் குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவு, A ₂ = சிறிய விட்டம் கொண்ட குழாய்ப் பகுதியின் குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவு, v ₁ = பெரிய விட்டம் கொண்ட குழாய்ப் பகுதியில் பாய்ம ஓட்ட வேகம், v ₂ = சிறிய விட்டம் கொண்ட குழாய்ப் பகுதியில் பாய்ம ஓட்ட வேகம், L = பாய்மம் பயணித்த தூரம்.

பாய்ம இயக்கவியலின் அறிமுகத்தில், பாய்ம இயக்கவியலில் நாம் அமுக்கவியலாத, பிசுபிசுப்பற்ற, கொந்தளிப்பற்ற மற்றும் நிலையான பாய்மங்களின் ஓட்டத்தைப் பற்றி விவாதிக்கிறோம் என்று விளக்கப்பட்டது. நிலையான ஓட்டத்தில், ஒரு புள்ளியில் உள்ள பாய்மத் துகள்களின் திசைவேகம், அந்தப் புள்ளி வழியாகச் செல்லும் மற்ற பாய்மத் துகள்களின் திசைவேகத்திற்குச் சமமாக இருக்கும். பாய்ம ஓட்டங்களும் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்வதில்லை (பாய்ம ஓட்டக்கோடுகள் இணையாக இருக்கும்). எனவே, குழாயின் ஒரு முனையில் நுழையும் பாய்மத்தின் நிறை, மறுமுனையில் வெளியேறும் பாய்மத்தின் நிறைக்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும். ஒரு குறிப்பிட்ட நிறை கொண்ட பாய்மம் பெரிய விட்டம் கொண்ட ஒரு குழாயில் நுழைந்தால், அந்தப் பாய்மம் சிறிய விட்டம் கொண்ட குழாயிலிருந்து மாறாத நிறையுடன் வெளியேறும்.

இப்போது, ​​மேலே உள்ள குழாயின் படத்தைப் பாருங்கள். குழாயில் பெரிய விட்டம் உள்ள பகுதியையும் சிறிய விட்டம் உள்ள பகுதியையும் பாருங்கள்.

ஒரு குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில், பெரிய விட்டம் (A) கொண்ட ஒரு குழாயின் ஒரு பகுதி வழியாக ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு திரவம் பாய்கிறது.₁L வரை₁ (L₁ = வி₁ t). பாயும் திரவத்தின் கன அளவு V ஆகும்.₁ = அ₁ L₁ = அ₁ v₁ t. அதே கால இடைவெளியில், சிறிய விட்டம் (A) கொண்ட ஒரு குழாய்ப் பகுதி வழியாக மற்றொரு அளவு திரவம் பாய்கிறது.₂L வரை₂ (L₂ = வி₂ t). பாயும் திரவத்தின் கன அளவு V ஆகும்.₂ = அ₂ L₂ = அ₂ v₂ t.

அமுக்கவியலா திரவங்களுக்கான தொடர்ச்சிச் சமன்பாடு (அடக்க முடியாத)

முதலில், அமுக்கவியலாத பாய்மத்தின் நிலையைக் கருத்தில் கொள்வோம். ஒரு அமுக்கவியலாத பாய்மத்தில், அதன் அடர்த்தி அல்லது நிறை, அது கடந்து செல்லும் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். A1 ₍ குழாயின் பெரிய விட்டம்) குறுக்கு வெட்டுப் பரப்பைக் கொண்ட ஒரு குழாயில், ஒரு குறிப்பிட்ட நேர இடைவெளியில் பாயும் பாய்மத்தின் நிறை:

_{அதேபோல், A²} குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவு (சிறிய குழாய் விட்டம்) கொண்ட ஒரு குழாயில் ஒரு குறிப்பிட்ட நேர இடைவெளியில் பாயும் திரவத்தின் நிறை:

நிலையான ஓட்டத்தில், உள்ளே நுழையும் திரவத்தின் நிறையும் வெளியேறும் திரவத்தின் நிறையும் சமம் என்பதைக் கருத்தில் கொண்டால், பின்வருமாறு:

m ₁ = m ₂

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t (பாய்மத்தின் அடர்த்தியும் நேர இடைவெளியும் சமம் என்பதால் அவை ஒன்றுக்கொன்று சமன் செய்து கொள்கின்றன)

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

எனவே, அமுக்கவியலாத திரவங்களில், தொடர்ச்சிச் சமன்பாடு பொருந்தும்:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂ — சமன்பாடு 1

தகவல்:

A ₁ = குறுக்குவெட்டுப் பரப்பு 1, A ₂ = குறுக்குவெட்டுப் பரப்பு 2, v ₁ = குறுக்குவெட்டு 1-இல் பாய்ம ஓட்ட வேகம், v ₂ = குறுக்குவெட்டு 2-இல் பாய்ம ஓட்ட வேகம், A v = கன அளவு ஓட்ட விகிதம் V/t (வெளியேற்றம்)

சமன்பாடு 1, வெளியேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படும் கன அளவு பாய்வு வீதமானது, ஒரு குழாய் அல்லது பாய்வுக் குழாயின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் என்பதைக் காட்டுகிறது. குழாயின் குறுக்குவெட்டுப் பரப்பு குறையும்போது, ​​திரவப் பாய்வு வீதம் அதிகரிக்கிறது; இதற்கு நேர்மாறாக, குழாயின் குறுக்குவெட்டுப் பரப்பு அதிகரிக்கும்போது, ​​திரவப் பாய்வு வீதம் குறைகிறது.

நாம் குழாயை பாதியளவு அடைக்கும்போது, ​​அது பாதியளவு மூடப்பட்டிருக்கும்போது இருப்பதை விட நீரின் ஓட்டம் வேகமாகிறது. இதற்குக் காரணம், குழாய் பாதியளவு மூடப்பட்டிருக்கும்போது அதன் குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவு குறைந்து, நீரின் ஓட்ட விகிதம் அதிகரிக்கிறது (திரவம் வேகமாகப் பாய்கிறது). குழாய்களுக்கும் இதுவே பொருந்தும். இருப்பினும், குழாய் பாதியளவு மூடப்பட்டிருந்தாலும் இல்லாவிட்டாலும், நீர் ஓட்டத்தின் அனைத்துப் புள்ளிகளிலும் வெளியேற்ற அல்லது கன அளவு ஓட்ட விகிதம் ஒரே மாதிரியாகவே இருக்கும் என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். எனவே, மாறுவது திரவ ஓட்ட விகிதம்தான்.

அப்படியானால், ஒரு ஆற்றில் நீரின் ஓட்டம் எப்படி இருக்கும்? ஆற்றின் ஆழம் குறைந்த பகுதிகளை விட, ஆழமான பகுதிகள் பெரிய குறுக்குவெட்டுப் பரப்பைக் கொண்டுள்ளன. அதனால், ஆழம் குறைந்த பகுதிகளை விட ஆழமான பகுதிகளில் நீரின் ஓட்ட விகிதம் குறைவாக இருக்கும். ஆற்றின் ஓட்டம் மிகவும் அமைதியாக இருந்தால், அந்த ஆறு ஆழமானது என்று அர்த்தம். ஆனால், ஆறு திடீரென்று வேகமாகப் பாயத் தொடங்கினால், அந்தப் பகுதி நிச்சயமாக ஆழம் குறைந்ததுதான். இருப்பினும், ஆற்றின் ஆழமான அல்லது அமைதியான பகுதிகளில் நீரின் கன அளவு ஓட்ட விகிதம் எப்போதும் ஒரே மாதிரியாகவே இருக்கும்.

அமுக்கக்கூடிய திரவங்களுக்கான தொடர்ச்சிச் சமன்பாடு (சுருக்கக்கூடிய)

அமுக்கக்கூடிய பாய்மங்களைப் பொறுத்தவரை , பாய்மத்தின் அடர்த்தி எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதில்லை. வேறுவிதமாகக் கூறினால், பாய்மம் அமுக்கப்படும்போது அதன் அடர்த்தி மாறுகிறது. அமுக்கவியலாத பாய்மங்களில் , பாய்மத்தின் அடர்த்தி சமன்பாட்டிலிருந்து நீக்கப்பட்டுவிடும் நிலையில், இந்த நேர்வில், பாய்மத்தின் அடர்த்தி சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. முன்னர் வருவிக்கப்பட்ட சமன்பாட்டைக் கொண்டு, அமுக்கக்கூடிய பாய்மங்களுக்கான சமன்பாட்டை வருவிப்போம்.

நிலையான ஓட்டத்தில், உள்ளே நுழையும் திரவத்தின் நிறையும் வெளியேறும் திரவத்தின் நிறையும் சமம் என்பதைக் கருத்தில் கொண்டால், பின்வருமாறு:

m ₁ = m ₂

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t

பாய்ம ஓட்டத்தின் கால இடைவெளி ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால் அதை நீக்கிவிடலாம். சமன்பாடு பின்வருமாறு மாறுகிறது:

ρ A ₁ v ₁ = ρ A ₂ v ₂ → சமன்பாடு 2

இது அமுக்கக்கூடிய பாய்மத்திற்கான சமன்பாடு. இதில் உள்ள ஒரே வேறுபாடு பாய்மத்தின் அடர்த்தியில்தான் உள்ளது. ஒரு பாய்மம் அமுக்கப்படும்போது, ​​அதன் அடர்த்தி மாறுகிறது. இதற்கு நேர்மாறாக, ஒரு பாய்மம் அமுக்க முடியாததாக இருக்கும்போது, ​​அதன் அடர்த்தி மாறாமல் இருக்கும், மேலும் அதை நீக்கிவிடவும் முடியும்.

உதாரணக் கேள்வி 1:

10 செ.மீ விட்டம் கொண்ட ஒரு குழாய் வழியாக நீர் 2 மீ/வி வேகத்தில் பாய்கிறது. நீரின் வெளியேற்றம் என்ன?

கலந்துரையாடல்

அறியப்பட்ட விஷயம் என்னவென்றால்:

குழாயின் விட்டம் = 10 செ.மீ (இது குழாயின் உள் விட்டம்)

குழாயின் ஆரம் (r) = 5 செ.மீ = 0,05 மீ

v நீர் = 2 மீ/வி

கேட்கப்பட்டது: பற்று

பதில் :

Q = A v

Q = ( π r ² ) (2 மீ/வி)

Q = (3,14)(0,05 மீ) ² (2 மீ/வி)

Q = (3,14)(0,0025 மீ ² )(2 மீ/வி)

Q = 0,0157 மீ ³ / வி

உதாரணக் கேள்வி 2:

20 செ.மீ விட்டம் கொண்ட ஒரு நீர்க் குழாய், 10 செ.மீ விட்டம் கொண்ட மற்றொரு குழாயுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. 20 செ.மீ விட்டம் கொண்ட குழாயில் நீரின் பாய்வு விகிதம் = 4 மீ/வி எனில், 10 செ.மீ விட்டம் கொண்ட குழாயில் நீரின் பாய்வு விகிதம் என்ன?

கலந்துரையாடல்

அறியப்பட்ட விஷயம் என்னவென்றால்:

விட்டம் 1 = 20 செ.மீ (r ₁ = 10 செ.மீ = 0,1 மீ)

v ₁ = 4 மீ/வி

விட்டம் 2 = 10 செ.மீ (r ₂ = 5 செ.மீ = 0,05 மீ)

கேட்கப்பட்டது : வி ₁

பதில் :

கேள்வி ₁ = கேள்வி ₂

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

( π r ₁₂ ) (4 m/s) = (π r ₂₂ ) (v ₂ )

(0,1 மீ) ² (4 மீ/வி) = (0,05 மீ) ² (வி ² )

(0,01 மீ ² )(4 மீ/வி) = (0,0025 மீ ² )(v ² )

(0,04 மீ ³ /வி) = (0,0025 மீ ² )(வி ² )

v ² = 16 மீ/வி