அலகு திசையன் கூறுகளைப் பயன்படுத்தி புள்ளி பெருக்கல் பொருள்
A மற்றும் B ஆகிய வெக்டர்களின் (அறியப்பட்ட வெக்டர்கள்) x, y மற்றும் z கூறுகள் நமக்குத் தெரிந்தால், ஸ்கேலார் பெருக்கத்தை நாம் நேரடியாகக் கணக்கிடலாம் .
இந்த முறையில் புள்ளிப் பெருக்கத்தைச் செய்வதற்கு, நாம் முதலில் அலகு திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கத்தைச் செய்கிறோம், அதன் பிறகு A மற்றும் B திசையன்களை அவற்றின் கூறுகளாக வெளிப்படுத்தி, அந்தப் பெருக்கத்தைப் பிரித்து, அலகு திசையன்களின் பெருக்கத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
அலகு வெக்டர்கள் i , j மற்றும் k ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருப்பதால், கணக்கீடுகள் எளிதாகின்றன. மேலே வருவிக்கப்பட்ட ஸ்கேலார் பெருக்கல் சமன்பாட்டை ( AB = AB cos theta ) பயன்படுத்தி நாம் பெறுவது:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
இப்போது நாம் வெக்டர்கள் A மற்றும் B-ஐ அவற்றின் கூறுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தி, அவற்றின் பெருக்கத்தைப் பிரித்து, அலகு வெக்டர்களின் பெருக்கத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
கரேனா i . i = j . j = k . k = 1 மற்றும் i . j = i . k = j . k = 0 எனில்:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
இந்தக் கணக்கீட்டின் முடிவுகளின் அடிப்படையில், இரண்டு வெக்டர்களின் ஸ்கேலார் பெருக்கல் அல்லது புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது அவற்றின் ஒத்த கூறுகளின் பெருக்கல்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமம் என்று முடிவு செய்யலாம்.
உதாரணக் கேள்வி 1:
பெரிய திசையன் A டான் B கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, முறையே 5 மற்றும் 4 ஆகும். உருவாகும் கோணம் 90°.oஅதை எண்ணுங்கள் புள்ளி பெருக்கல் இரண்டு திசையன்களும்.
கலந்துரையாடல்
A மற்றும் B திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கத்தைக் கணக்கிடுவதற்கு முன், இரண்டாவது திசையனின் கூறுகளை நாம் முதலில் தெரிந்துகொள்ள வேண்டும்.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
வெக்டர் A ஆனது x-அச்சில் மட்டுமே வெக்டர் கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது, மற்றும் வெக்டர் B ஆனது y-அச்சில் மட்டுமே வெக்டர் கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. வெக்டர்கள் A மற்றும் B ஆகியவை xy தளத்தில் இருப்பதால், z கூறு சுழியாகும்.
இப்போது, கூறு திசையன்களைக் கொண்ட புள்ளிப் பெருக்கல் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, திசையன்கள் A மற்றும் B- க்கு இடையேயான புள்ளிப் பெருக்கலைக் கணக்கிடுவோம் :
அ. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
இதை முதல் முறையுடன் ஒப்பிட்டுப் பார்ப்போம்.
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
முடிவு ஒன்றுதான்.
உதாரணக் கேள்வி 2:
பெரிய திசையன் A டான் B கீழேயுள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, முறையே 5 மற்றும் 4 ஆகும். கணக்கிடுக. புள்ளி பெருக்கல் இரு வெக்டர்களும், உருவாக்கும் கோணம் 30 ஆக இருந்தால்o
கலந்துரையாடல்
A மற்றும் B திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கத்தைக் கணக்கிடுவதற்கு முன், இரண்டாவது திசையனின் கூறுகளை நாம் முதலில் தெரிந்துகொள்ள வேண்டும்.
A மற்றும் B திசையன்கள் xy தளத்தில் இருப்பதால், z கூறு சுழியாகும் .
இப்போது, கூறு திசையன்களைக் கொண்ட புள்ளிப் பெருக்கல் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, திசையன்கள் A மற்றும் B- க்கு இடையேயான புள்ளிப் பெருக்கலைக் கணக்கிடுவோம் :
முதல் முறையுடன் ஒப்பிடுக.
