ஈருறுப்புப் பரவலின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு

ஈருறுப்புப் பரவலின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு

ஈருறுப்புப் பரவல் என்பது புள்ளியியல் மற்றும் நிகழ்தகவில் பொதுவாகக் காணப்படும் தனித்த நிகழ்தகவுப் பரவல்களில் ஒன்றாகும். இந்தப் பரவலானது, சார்பற்ற இருமைச் சோதனைகளின் (வெற்றி அல்லது தோல்வி என இரண்டு விளைவுகளை மட்டுமே கொண்ட சோதனைகள்) தொடரில் கிடைக்கும் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையை விவரிக்கிறது. ஈருறுப்புப் பரவலை நன்கு புரிந்துகொள்ள, நீண்ட காலத்திற்கு மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும் ஒரு சோதனையின் சராசரி மதிப்பை விவரிக்கும் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு என்ற கருத்தைப் புரிந்துகொள்வது அவசியம். இந்தக் கட்டுரை, ஈருறுப்புப் பரவலின் பின்னணியில் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு என்ற கருத்தை மீள்பார்வை செய்யும்.

ஈருறுப்பு பரவலின் வரையறை

நாம் பல ஒத்த மற்றும் சார்பற்ற சோதனைகளைச் செய்யும்போது, ​​ஒவ்வொரு சோதனைக்கும் பொதுவாக "வெற்றி" மற்றும் "தோல்வி" என்று குறிப்பிடப்படும் இரண்டு ஒன்றையொன்று விலக்கும் விளைவுகள் இருக்கும் சூழல்களில் ஈருறுப்புப் பரவல் ஏற்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நாணயத்தைச் சுண்டுவது (தலை அல்லது பூ), ஒரு தேர்வுக் கேள்விக்கு பதிலளிப்பது (சரியா தவறா), அல்லது ஒரு மருத்துவ சோதனை (குணமடைந்தாரா இல்லையா).

ஈருறுப்புப் பரவல் இரண்டு அளவுருக்களால் வரையறுக்கப்படுகிறது:
– n , சோதனைகளின் எண்ணிக்கை.
– p , ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு.

தோராயமாகச் சொல்வதானால், n முயற்சிகளில் கிடைக்கும் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X எனில், X ஆனது n மற்றும் p ஆகிய அளவுருக்களுடன் கூடிய ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றும், இது X ~ Binomial(n, p) எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

நிகழ்தகவுச் சார்பு

ஈருறுப்புப் பரவலின் நிகழ்தகவுச் சார்பு பின்வருமாறு:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
எங்கே:
– \( \binom{n}{k} \) என்பது ஈருறுப்புக் கெழு ஆகும், இது \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) எனக் கணக்கிடப்படுகிறது.
– \( k \) என்பது விரும்பிய வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை.
– \( n \) என்பது சோதனைகளின் எண்ணிக்கை.
– \( p \) என்பது ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும்.
– \( (1-p) \) என்பது ஒவ்வொரு சோதனையிலும் தோல்வியடைவதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும்.

எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு

ஒரு நிகழ்தகவுப் பரவலின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு அல்லது சராசரி என்பது மைய இருப்பிடத்தின் மிக முக்கியமான அளவீடுகளில் ஒன்றாகும். ஈருறுப்புப் பரவலுக்கு, Binomial(n, p)-ஐப் பின்பற்றும் ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X-இன் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு:
\[ E(X) = np \]

எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பின் ஆதாரம்

ஈருறுப்புப் பரவலின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு ஏன் np ஆக உள்ளது என்பதைப் புரிந்துகொள்ள, நாம் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பின் நேரியல் பண்பைப் பயன்படுத்தி, ஈருறுப்பு மாறிகள் எவ்வாறு தங்கள் பங்களிப்பை அளிக்கின்றன என்பதைக் காணலாம்.

n இரும சோதனைகளில் கிடைக்கும் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையை \( X \) என வரையறுப்போம். இன்னும் குறிப்பாக, i-வது சோதனையின் முடிவைக் குறிக்கும் ஒரு சமவாய்ப்பு மாறியாக \( X_i \) இருக்கட்டும்; i-வது சோதனை வெற்றியடைந்தால் \( X_i = 1 \) என்றும், அது தோல்வியுற்றால் \( X_i = 0 \) என்றும் கொள்வோம். அப்படியானால், நாம் \( X \) -ஐ பின்வருமாறு எழுதலாம்:
\[ X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]

ஒவ்வொரு \( X_i \) என்பதும் p என்ற வெற்றி நிகழ்தகவு கொண்ட ஒரு ஈருறுப்பு மாறி என்பதால், \( X_i \) இன் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு:
\[ E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]

X-இன் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பிற்கு, எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பின் நேரியல் பண்பை நாம் பயன்படுத்தலாம்:
\[ E(X) = E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) \]
\[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_n) \]
\[ E(X) = p + p + \ldots + p \]
\[ E(X) = np \]

ஈருறுப்புப் பரவலின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு np என்பதை இது காட்டுகிறது.

விளக்க உதாரணம்

ஒரு சமமான நாணயத்தை நாம் 10 முறை சுழற்றுவதாகக் கருதுவோம். தலைகள் விழும் சுழற்சிகளின் எண்ணிக்கையின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு என்னவாக இருக்கும் என்று கேட்போம்.

இந்த விஷயத்தில்:
– n = 10 (நாணயச் சுழல்களின் எண்ணிக்கை)
– p = 0.5 (நாணயம் நேர்மையானது என்பதால், தலை விழுவதற்கான நிகழ்தகவு)

எனவே, எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு:
\[ E(X) = np = 10 \times 0.5 = 5 \]

இதன் பொருள் என்னவென்றால், நீண்ட காலத்திற்கு நாம் ஒரு நாணயத்தை 10 முறை தொடர்ந்து சுழற்றினால், சராசரியாக 5 முறை தலை விழும்.

மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலகல்

எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்புடன், ஈருறுப்புப் பரவலின் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கத்தையும் புரிந்துகொள்வது முக்கியம்.

ஈருறுப்புப் பரவலுக்கு, மாறுபாடு \( \sigma^2 \) மற்றும் திட்ட விலகல் \( \sigma \) ஆகியவை பின்வருமாறு:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]

மாறுபாடு என்பது, தரவு எதிர்பார்க்கப்பட்ட மதிப்பிலிருந்து எவ்வளவு தூரம் பரவியுள்ளது என்பதை அளவிடுகிறது. திட்ட விலக்கம் என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலமாகும். இதுவும் தரவின் பரவலை அளவிடுகிறது, ஆனால் அசல் தரவின் அதே அலகுகளில்.

முடிவுரை

ஈருறுப்புப் பரவல் என்பது புள்ளியியல் மற்றும் நிகழ்தகவில் ஒரு அடிப்படைக் கருத்தாகும். இது வணிகம் முதல் சமூக அறிவியல் மற்றும் உயிரியல் வரை பல்வேறு நிஜ உலகப் பயன்பாடுகளில் அடிக்கடி காணப்படுகிறது. np எனக் கணக்கிடப்படும் ஈருறுப்புப் பரவலின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பானது, தொடர்ச்சியான இருநிலைச் சோதனைகளில் கிடைக்கும் சராசரி வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை குறித்த முக்கியமான புரிதலை வழங்குகிறது. எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு, மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் ஆகிய கருத்துக்களைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், ஈருறுப்புப் பரவலின் பண்புகளையும், அது அன்றாட வாழ்வில் சில நிகழ்வுகளை எவ்வாறு விவரிக்கிறது என்பதையும் நாம் தெளிவாகப் புரிந்துகொள்ள முடியும்.

இந்த அறிவு, தரவுப் பகுப்பாய்வு மற்றும் புள்ளிவிவரங்களில் மட்டுமல்லாமல், நிகழ்தகவு மற்றும் நிச்சயமற்ற தன்மையை மதிப்பிட வேண்டிய முடிவெடுக்கும் செயல்முறைகளிலும் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கிறது. எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு மற்றும் ஈருறுப்புப் பரவலைப் புரிந்துகொள்வது, நாம் மிகவும் துல்லியமான கணிப்புகளைச் செய்யவும், மேலும் தகவலறிந்த முடிவுகளை எடுக்கவும் உதவும்.