இயற்பியல் திசையன் எடுத்துக்காட்டு கேள்விகள்

திசையன்கள் இயற்பியலில் ஒரு முக்கியமான கருத்தாகும், இது எண்மதிப்பு மற்றும் திசை ஆகிய இரண்டையும் கொண்ட அளவுகளைக் குறிக்கப் பயன்படுகிறது. இயற்பியலில், விசை, திசைவேகம், முடுக்கம் மற்றும் பல போன்ற பல்வேறு நிகழ்வுகளை விவரிக்க திசையன்கள் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்தக் கட்டுரை, இயற்பியல் திசையன் கணக்குகளின் பல எடுத்துக்காட்டுகளையும், அவற்றின் தீர்வுகள் மற்றும் விளக்கங்களையும் விவாதிக்கும்.

1. திசையன் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்

உதாரணக் கேள்வி 1:
\(\mathbf{A}\) மற்றும் \(\mathbf{B}\) ஆகிய இரண்டு வெக்டர்கள் பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:
\[
\mathbf{A} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{B} = -2\mathbf{i} + 5\mathbf{j}
\]

கணக்கிடுங்கள்:
1. \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\)
2. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\)

தீர்வு:
இரண்டு வெக்டர்களைக் கூட்டுவதற்கு, அவற்றின் கூறுகளைத் தனித்தனியாகக் கூட்ட வேண்டும்.

1. \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\):
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) + (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – 2)\mathbf{i} + (4 + 5)\mathbf{j}
\]
\[
= 1\mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]

2. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\):
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) – (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – (-2))\mathbf{i} + (4 – 5)\mathbf{j}
\]
\[
= (3 + 2)\mathbf{i} + (-1)\mathbf{j}
\]
\[
= 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]

ஆகவே, இதன் விளைவு என்னவென்றால்:
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]

2. திசையிலிப் பெருக்கல் (புள்ளிப் பெருக்கல்)

உதாரணக் கேள்வி 2:
\(\mathbf{C}\) மற்றும் \(\mathbf{D}\) ஆகிய இரண்டு வெக்டர்கள் பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:
\[
\mathbf{C} = 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{D} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]

\(\mathbf{C}\) மற்றும் \(\mathbf{D}\) ஆகியவற்றின் திசையிலிப் பெருக்கத்தை (புள்ளிப் பெருக்கத்தை) கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு:
இரு வெக்டர்கள் \(\mathbf{C}\) மற்றும் \(\mathbf{D}\) ஆகியவற்றின் ஸ்கேலார் பெருக்கல்:
\[
\mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = (6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) \cdot (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})
\]
\[
= 6 · 3 + 2 · 4
\]
\[
= 18 + 8
\]
\[
= 26
\]

எனவே, \(\mathbf{C}\) மற்றும் \(\mathbf{D}\) ஆகியவற்றின் ஸ்கேலார் பெருக்கத்தின் முடிவு 26 ஆகும்.

3. குறுக்கு பெருக்கல்

உதாரணக் கேள்வி 3:
\(\mathbf{E}\) மற்றும் \(\mathbf{F}\) ஆகிய இரண்டு வெக்டர்கள் பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:
\[
\mathbf{E} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}
\]
\[
\mathbf{F} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}
\]

\(\mathbf{E}\) மற்றும் \(\mathbf{F}\) ஆகியவற்றின் குறுக்குப் பெருக்கத்தைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு:
இரண்டு வெக்டர்கள் \(\mathbf{E}\) மற்றும் \(\mathbf{F}\) ஆகியவற்றின் குறுக்குப் பெருக்கத்தை அணி அணிக்கோவையைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
vmatrix-இன் முடிவு
\]

அணியின் அணிக்கோவையைக் கணக்கிடுக:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \mathbf{i} (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5) – \mathbf{j} (1 \cdot 6 – 3 \cdot 4) + \mathbf{k} (1 \cdot 5 – 2) \cdot
\]
\[
= \mathbf{i} (12 – 15) – \mathbf{j} (6 – 12) + \mathbf{k} (5 – 8)
\]
\[
= \mathbf{i} (-3) – \mathbf{j} (-6) + \mathbf{k} (-3)
\]
\[
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]

ஆகவே, \(\mathbf{E}\) மற்றும் \(\mathbf{F}\) ஆகியவற்றின் குறுக்குப் பெருக்கத்தின் விளைவு:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]

4. திசையன் அளவு

உதாரணக் கேள்வி 4:
வெக்டர் \(\mathbf{G} = 3\mathbf{i} – 4\mathbf{j}\) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. வெக்டர் \(\mathbf{G}\)-இன் எண்மதிப்பை (நீளத்தை) கணக்கிடுக.

தீர்வு:
வெக்டர் \(\mathbf{G}\)-இன் எண்மதிப்பை பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:
\[
|\mathbf{G}| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}
\]
\[
= \sqrt{9 + 16}
\]
\[
= \sqrt{25}
\]
\[
= 5
\]

எனவே, வெக்டர் \(\mathbf{G}\) இன் எண்மதிப்பு 5 ஆகும்.

5. திசையன் தெளிவுத்திறன்

உதாரணக் கேள்வி 5:
வெக்டர் \(\mathbf{H}\) 10 அலகுகள் பருமனை உடையது மற்றும் x-அச்சுடன் 30° கோணத்தை உருவாக்குகிறது. x- மற்றும் y-அச்சுகளில் வெக்டர் \(\mathbf{H}\)-இன் கூறுகளைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:
x (\(\mathbf{H}_x\)) மற்றும் y (\(\mathbf{H}_y\)) அச்சுகளில் உள்ள திசையன் \(\mathbf{H}\) இன் கூறுகளை முக்கோணவியலைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:
\[
\mathbf{H}_x = |\mathbf{H}| \cos(\theta)
\]
\[
\mathbf{H}_y = |\mathbf{H}| \sin(\theta)
\]

\(|\mathbf{H}| = 10\) மற்றும் \(\theta = 30°\) உடன்:
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cos(30°)
\]
\[
\mathbf{H}_y = 10 \sin(30°)
\]

\(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) மற்றும் \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\) ஆகியவற்றின் மதிப்புகள்:
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}
\]
\[
\mathbf{H}_y = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5
\]

எனவே, வெக்டர் \(\mathbf{H}\) இன் கூறுகள்:
\[
\mathbf{H}_x = 5\sqrt{3}
\]
\[
\mathbf{H}_y = 5
\]

முடிவுரை

இந்தக் கட்டுரையில், இயற்பியலில் திசையன்கள் தொடர்பான பல எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளைப் பற்றி விவாதித்துள்ளோம். திசையன் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல், திசையிலி மற்றும் குறுக்குப் பெருக்கல் முதல் திசையன் பருமன் மற்றும் பிரிதிறன் வரை இதில் அடங்கும். இயற்பியலில் திசையன்களின் கருத்து மற்றும் செயல்பாடுகளைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியமானது, ஏனெனில் பல இயற்கை நிகழ்வுகளைத் திசையன்களைப் பயன்படுத்தி விளக்க முடியும். இந்த எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகள், திசையன்களின் கருத்தை நீங்கள் இன்னும் ஆழமாகப் புரிந்துகொள்ள உதவும் என்று நம்புகிறோம்.