ஒற்றைத் தரவின் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் குறித்து விவாதிக்கும் எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள் மற்றும் கலந்துரையாடல்: ஒற்றைத் தரவின் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலகல்

புள்ளியியல் என்பது தரவுகளைச் சேகரித்தல், பகுப்பாய்வு செய்தல், விளக்குதல், வழங்குதல் மற்றும் ஒழுங்கமைத்தல் ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடைய கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாகும். புள்ளியியலில் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் ஆகிய இரண்டு முக்கியமான கருத்துக்கள் உள்ளன. இந்தக் கட்டுரை, பல எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகள் மூலம் ஒரு தரவுத் தொகுப்பின் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கத்தை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதை விரிவாக விவாதிக்கும்.

மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலகலைப் புரிந்துகொள்ளுதல்

மாறுபாடு என்பது ஒரு தரவுத் தொகுப்பில் உள்ள எண்கள், சராசரியிலிருந்து எவ்வளவு தூரம் பரவியுள்ளன என்பதை அளவிடும் ஒரு அளவீடு ஆகும். மாறுபாடு, அசல் தரவின் சதுர அலகுகளில் வெளிப்படுத்தப்படுவதால், அதைப் புரிந்துகொள்வது பெரும்பாலும் கடினமாகிறது.

திட்ட விலக்கம் என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம் ஆகும். இதன் அலகுகள் தரவின் அசல் அலகுகளைப் போலவே இருப்பதால், தரவு பொதுவாக சராசரியிலிருந்து எவ்வளவு தூரம் விலகுகிறது என்பதை இது மிகவும் எளிதாகப் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய வகையில் அளவிடுகிறது.

பொதுவான சூத்திரம்

ஒற்றைத் தரவுகளுக்கு, மக்கள்தொகையின் மாறுபாடு \( \sigma^2 \) மற்றும் திட்ட விலக்கம் \( \sigma \) ஆகியவற்றிற்கான சூத்திரம் பின்வருமாறு:

1. மாறுபாடு (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)

2. திட்ட விலகல் (σ):
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)

எங்கே:
– \( N \) என்பது மக்கள்தொகையில் உள்ள தரவுகளின் எண்ணிக்கை.
– \( x_i \) என்பது i-வது தரவு மதிப்பாகும்.
– \( \mu \) என்பது தரவுகளின் சராசரி ஆகும்.

மாதிரியின் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலையை நாம் கணக்கிட்டால், மேற்கண்ட சூத்திரம் சிறிதளவு மாற்றியமைக்கப்படுகிறது:

1. மாதிரி மாறுபாடு (s²):
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)

2. மாதிரி திட்ட விலகல்(கள்):
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)

எங்கே:
– \( n \) என்பது மாதிரியில் உள்ள தரவுகளின் எண்ணிக்கை.
– \( \bar{x} \) என்பது மாதிரியின் சராசரி ஆகும்.

மாதிரி கேள்விகள் மற்றும் கலந்துரையாடல்

உதாரணக் கேள்வி 1:

பின்வரும் தரவுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:
8, 10, 10, 10, 12, 14

தரவுகளின் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலையைக் கணக்கிடுங்கள்!

தீர்வுக்கான வழிமுறைகள்:

1. சராசரியைக் (சராசரி) \( \mu \) கணக்கிடுதல்:
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]

2. தரவுக்கும் சராசரிக்கும் உள்ள வித்தியாசத்தைக் கணக்கிட்டு, பின்னர் வர்க்கப்படுத்தவும்:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]

3. அனைத்து வர்க்க முடிவுகளையும் கூட்டுதல்:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]

4. மக்கள்தொகைத் தரவுகளின் மாறுபாட்டை (σ²) கணக்கிடுதல்:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]

குறிப்பு: இந்தத் தரவு மக்கள்தொகைத் தரவாகக் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளதால், நாம் 6 ஆல் வகுக்கிறோம்.

5. திட்ட விலக்கத்தைக் (σ) கணக்கிடுதல்:
\[
சிக்மா = √3.559 ≈ 1.886
\]

எனவே, தரவின் மாறுபாடு 3.559 மற்றும் திட்ட விலகல் 1.886 ஆகும்.

உதாரணக் கேள்வி 2:

பின்வரும் மாதிரித் தரவுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:
5, 6, 8, 9, 10, 11

மாதிரியின் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடுங்கள்!

தீர்வுக்கான வழிமுறைகள்:

1. சராசரியைக் (சராசரி) \( \bar{x} \) கணக்கிடுதல் :
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]

2. தரவுக்கும் சராசரிக்கும் உள்ள வித்தியாசத்தைக் கணக்கிட்டு, பின்னர் வர்க்கப்படுத்தவும்:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]

3. அனைத்து வர்க்க முடிவுகளையும் கூட்டுதல்:
\[
கூட்டுத்தொகை (x_i – x)² = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]

4. மாதிரி மாறுபாட்டை (s²) கணக்கிடுதல்:
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]

குறிப்பு: இது மாதிரித் தரவு என்பதால், நாம் 5 (n-1) ஆல் வகுக்கிறோம்.

5. திட்ட விலக்கத்தைக் (களை) கணக்கிடுதல்:
\[
s = \sqrt{5.351} \approx 2.313
\]

எனவே, மாதிரித் தரவின் மாறுபாடு 5.351 மற்றும் திட்ட விலகல் 2.313 ஆகும்.

முடிவுரை

ஒரு குறிப்பிட்ட தரவுத் தொகுப்பில், தரவுகள் எவ்வளவு பரவியுள்ளன என்பதைப் புரிந்துகொள்வதற்கு, மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடுவது இன்றியமையாதது. மாறுபாடு என்பது பரவலுக்கான ஒரு கோட்பாட்டு அளவீட்டை மூல அலகுகளின் வர்க்கங்களில் வழங்குகிறது, அதேசமயம் திட்ட விலக்கம் என்பது பரவலுக்கான அளவீட்டைத் தரவுகளின் மூல அலகுகளின் அடிப்படையில் விளக்குவதால், அதைப் புரிந்துகொள்வது எளிதாகிறது. தரவுப் பகுப்பாய்வில், தரவு மாறுபாட்டை மதிப்பிடுவதற்கும் புள்ளிவிவர முடிவுகளை எடுப்பதற்கும் இந்த இரண்டு அளவீடுகளும் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

தேவையான வழிமுறைகளையும் சூத்திரங்களையும் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், அன்றாடத் தரவு சேகரிப்பு மற்றும் பகுப்பாய்வில் நாம் எதிர்கொள்ளும் பல்வேறு சூழ்நிலைகளுக்கான மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கத்தை எளிதாகக் கணக்கிடலாம். இந்தக் கட்டுரை, ஒற்றைத் தரவுத் தொகுப்புகளில் உள்ள மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் ஆகிய கருத்துருக்கள் குறித்த ஆழமான புரிதலை வழங்கும் என நம்புகிறோம்.