வரையறுக்கப்பட்ட தொகையீடுகளின் பண்புகளை விவாதிக்கும் எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

வரையறுக்கப்பட்ட தொகையீடுகளின் பண்புகள் குறித்த எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகளும் கலந்துரையாடலும்

வரையறுக்கப்பட்ட தொகையீடு என்பது நுண்கணிதத்தில் ஒரு அடிப்படைக் கருத்தாகும். இது கணிதம், இயற்பியல் மற்றும் பொறியியல் ஆகிய துறைகளில் பரந்த அளவிலான பயன்பாடுகளில் மிகவும் பயனுள்ளதாக விளங்குகிறது. இந்தக் கட்டுரையில், வரையறுக்கப்பட்ட தொகையீட்டின் சில முக்கியப் பண்புகளை விளக்கி, இத்தலைப்பைப் பற்றிய உங்கள் புரிதலை ஆழப்படுத்த எடுத்துக்காட்டுகளையும் தீர்வுகளையும் வழங்குவோம்.

வரையறுக்கப்பட்ட தொகையீடுகளின் பண்புகள்

எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளுக்குள் செல்வதற்கு முன், தெரிந்துகொள்ள வேண்டிய வரையறுக்கப்பட்ட தொகையீடுகளின் சில அடிப்படைப் பண்புகளை மீள்பார்வை செய்வோம்:

1. நேரியல் பண்பு:
– \( f(x) \) மற்றும் \( g(x) \) ஆகியவை தொகையிடக்கூடிய சார்புகள் மற்றும் \( a \) மற்றும் \( b \) ஆகியவை மாறிலிகள் எனில்:
\[
\int_a^b [af(x) + bg(x)] \, dx = a \int_a^bf(x) \, dx + b \int_a^bg(x) \, dx.
\]

2. ஒரு மாறிலியின் தொகையீடு:
– \( c \) ஒரு மாறிலி எனில், :
\[
\int_a^bc \, dx = c(b – a).
\]

3. இடைவெளி கூட்டலின் பண்புகள்:
\[
\int_a^cf(x) \, dx + \int_c^bf(x) \, dx = \int_a^bf(x) \, dx
\]

4. எல்லைகளின் தலைகீழ் மாற்றம்:
\[
\int_a^bf(x) \, dx = – \int_b^af(x) \, dx
\]

5. அதே எல்லையில் பூஜ்ஜியம் :
\[
\int_a^af(x) \, dx = 0
\]

எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 1: நேரியல் பண்பைப் பயன்படுத்துதல்

சிக்கல்களுக்கான எடுத்துக்காட்டு :
இதன் மதிப்பைக் கணக்கிடுக:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx
\]

கலந்துரையாடல் :
நேரியல் பண்பைப் பயன்படுத்தி தொகையீட்டை இரண்டாகப் பிரிக்கவும்:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx = \int_0^2 3x^2 \, dx + \int_0^2 2x \, dx
\]

முதல் தொகையீட்டைக் கணக்கிடுவோம்:
\[
\int_0^2 3x^2 \, dx
\]
\[
= 3 \int_0^2 x^2 \, dx
\]
\[
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2
\]
\[
= 3 \left( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right)
\]
\[
= 3 \left( \frac{8}{3} \right)
\]
\[
= 8
\]

இப்போது, ​​இரண்டாவது தொகையீட்டைக் கணக்கிடுவோம்:
\[
\int_0^2 2x \, dx
\]
\[
= 2 \int_0^2 x \, dx
\]
\[
= 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2
\]
\[
= 2 \left( 1 – 0 \right)
\]
\[
= 2
\]

இரண்டு முடிவுகளையும் இணைக்கவும்:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx = 8 + 2 = 10
\]

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 2: ஒரு மாறிலியின் தொகையீடு

சிக்கல்களுக்கான எடுத்துக்காட்டு :
இதன் மதிப்பைக் கணக்கிடுக:
\[
\int_1^4 5 \, dx
\]

கலந்துரையாடல் :
மாறிலிகளின் தொகையீட்டுப் பண்பைப் பயன்படுத்தி, நாம் பின்வருமாறு எழுதலாம்:
\[
\int_1^4 5 \, dx = 5 \cdot (4 – 1)
\]
\[
= 5 · 3
\]
\[
= 15
\]

எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 3: எல்லை மாற்றத்தின் பண்புகள்

சிக்கல்களுக்கான எடுத்துக்காட்டு :
நிரூபிக்கவும்:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = – \int_5^2 x^2 \, dx
\]

கலந்துரையாடல் :
நாம் \( [2, 5] \) என்ற இடைவெளியில் \( x^2 \) இன் தொகையீட்டிலிருந்து தொடங்குகிறோம்:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_2^5
\]
\[
= \frac{5^3}{3} – \frac{2^3}{3}
\]
\[
= \frac{125}{3} – \frac{8}{3}
\]
\[
= \frac{117}{3}
\]
\[
= 39
\]

இப்போது, ​​\( [5, 2] \) என்ற இடைவெளியில் \( x^2 \) இன் தொகையைக் கணக்கிட்டு, விடையின் குறியை மாற்றுவதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்:
\[
\int_5^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_5^2
\]
\[
= \frac{2^3}{3} – \frac{5^3}{3}
\]
\[
= \frac{8}{3} – \frac{125}{3}
\]
\[
= -\frac{117}{3}
\]
\[
= -39
\]

இது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = – \int_5^2 x^2 \, dx.
\]

எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 4: இடைவெளி கூட்டலின் பண்புகள்

சிக்கல்களுக்கான எடுத்துக்காட்டு :
\(\int_2^4 f(x) \, dx = 7\) மற்றும் \(\int_4^6 f(x) \, dx = 5\) ஆகியவை தெரிந்தால், \(\int_2^6 f(x) \, dx\) இன் மதிப்பைக் கணக்கிடுக.

கலந்துரையாடல் :
இடைவெளி கூட்டல் பண்பைப் பயன்படுத்தி:
\[
\int_2^6 f(x) \, dx = \int_2^4 f(x) \, dx + \int_4^6 f(x) \, dx
\]
\[
= 7 + 5
\]
\[
= 12
\]

முடிவுரை

வரையறுக்கப்பட்ட தொகையீடு, பல்வேறு வகையான கணக்குகளை மிகவும் திறமையாகத் தீர்க்க உதவும் பல முக்கியமான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்தக் கட்டுரையில், இந்தப் அடிப்படைப் பண்புகளில் சிலவற்றைப் பற்றி விவாதித்து, நடைமுறையில் இந்தப் பண்புகளை எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம் என்பதைக் காட்டும் எடுத்துக்காட்டுகளையும் வழங்கியுள்ளோம். போதுமான புரிதல் மற்றும் பயிற்சியுடன், உங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட தொகையீட்டுக் கணக்குகளை அதிக நம்பிக்கையுடன் தீர்க்க முடியும்.