முக்கோணவியல் விகிதங்கள் பற்றிய எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

முக்கோணவியல் விகிதங்கள் பற்றிய எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

முக்கோணவியல் என்பது முக்கோணங்களில் உள்ள நீளங்களுக்கும் கோணங்களுக்கும் இடையிலான தொடர்புகளைக் கையாளும் கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாகும். பொறியியல், இயற்பியல், வானியல் மற்றும் அன்றாட வாழ்க்கை போன்ற பல்வேறு துறைகளில் முக்கோணவியல் விகிதங்கள் முக்கியப் பங்கு வகிக்கின்றன. முக்கோணவியல் விகிதங்களின் அடிப்படைக் கருத்துக்களை நீங்கள் புரிந்துகொள்ள உதவும் வகையில், இந்தக் கட்டுரை பல எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளையும் அவற்றின் தீர்வுகளையும் மீள்பார்வை செய்யும்.

செங்கோண முக்கோணங்களில் முக்கோணவியல் விகிதங்கள்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள அடிப்படை விகிதங்களைப் புரிந்துகொள்வதில் இருந்து தொடங்குவோம். இந்த விகிதங்கள் சைன் (sin), கோசைன் (cos) மற்றும் டேன்ஜென்ட் (tan) என அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், நாம் அடையாளம் காண வேண்டிய மூன்று முக்கியமான பக்கங்கள் உள்ளன:

1. எதிர்ப்பக்கம்: நாம் கருத்தில் கொள்ளும் கோணத்திற்கு நேர் எதிரே உள்ள பக்கம்.
2. அடுத்துள்ள பக்கம்: நாம் கருத்தில் கொள்ளும் கோணத்திற்கு அடுத்ததாக உள்ள பக்கம்.
3. கர்ணம்: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் செங்கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள மிக நீளமான பக்கம்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 1

கோணம் θ கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், கோணம் θ-விற்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் நீளம் 3 அலகுகள், அடுத்துள்ள பக்கத்தின் நீளம் 4 அலகுகள் மற்றும் கர்ணத்தின் நீளம் 5 அலகுகள் எனில், கோணம் θ-வின் sin, cos மற்றும் tan மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:
கோணம் θ-வின் சைன், கோசைன் மற்றும் டேன்ஜென்ட் மதிப்புகளைக் கண்டறிய, நாம் அடிப்படை முக்கோணவியல் விகித சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

– சைன் (பாவம்) θ = முன் பக்கம் / ஹைபோடென்யூஸ்
\[ \sin θ = \frac{3}{5} \]

– கொசைன் (cos) θ = பக்கம் பக்கம் / கர்ணம்
\[ \cos θ = \frac{4}{5} \]

– தொடுகோடு (tan) θ = முன்பக்கம் / பக்கம்
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]

மற்ற கோணங்களின் முக்கோணவியல் உறவுகள்

சமபக்க முக்கோணங்கள் மற்றும் ஒழுங்கு முக்கோணங்கள் உள்ளிட்ட பல்வேறு வகையான முக்கோணங்களில் உள்ள மற்ற கோணங்களுக்கும் முக்கோணவியல் விகிதங்களைப் பயன்படுத்தலாம். செங்கோண முக்கோணங்கள் அல்லாத முக்கோணங்களுக்குப் பொருந்தும் சைன் விதி மற்றும் கோசைன் விதி போன்ற அடிப்படை விதிகளைப் புரிந்துகொள்வது முக்கியம்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 2

ABC என்ற முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் a = 7 செ.மீ, b = 24 செ.மீ மற்றும் கோணம் C = 90° எனில், பக்கம் c-யின் நீளம் மற்றும் கோணங்கள் A, B-யின் மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

கோணம் C ஒரு செங்கோணம் என்பதால், பிதாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி பக்கம் c-யின் (கர்ணம்) நீளத்தைக் கண்டறியலாம்:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
\[ c = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
\[ c = \sqrt{49 + 576} \]
[ c = \sqrt{625} ]
\[ c = 25 \, \text{செ.மீ} \]

அடுத்து, கோணங்கள் A மற்றும் B-யின் மதிப்பைக் கண்டறிய, நாம் அடிப்படை முக்கோணவியல் விகிதங்களைப் பயன்படுத்தலாம்.

கோணம் A-க்கு, நாம் கொசைனைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
\[ \cos A = \frac{\text{அடுத்துள்ள பக்கம்}}{\text{கர்ணம்}} = \frac{24}{25} \]
\[ A = \cos^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]

கோணம் B-க்கு, நாம் சைன் சார்பைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
\[ \sin B = \frac{\text{எதிர் பக்கம்}}{\text{கர்ணம்}} = \frac{24}{25} \]
\[ B = \sin^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]

ஏனெனில் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் செங்கோணத்தைத் தவிர மற்ற கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90° ஆக இருக்க வேண்டும்:
\[ A + B = 90° \]
\[ A = 90° – B \]

சைன் விதி

சைன் விதி பின்வருமாறு கூறப்பட்டுள்ளது:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 3

பக்கம் a = 8 செ.மீ, பக்கம் b = 15 செ.மீ மற்றும் கோணம் C = 60° எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ள ஒரு முக்கோணத்தில், சைன் விதியைப் பயன்படுத்தி கோணம் A மற்றும் பக்கம் c-யின் நீளத்தைக் காண்க.

தீர்வு:

முதலில், சைன் விதியைப் பயன்படுத்தி மற்ற கோணங்களில் ஒன்றைக் கண்டறியவும் (எடுத்துக்காட்டாக, கோணம் A):
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{c}{\sin 60°} \]

நாம் முதலில் c-யின் மதிப்பைக் கணக்கிட வேண்டும். கோணம் C 60° என்பதால், நாம் கொசைன் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்:

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(C) \]
\[ c^2 = 8^2 + 15^2 – 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60°) \]
\[ c^2 = 64 + 225 – 240 \cdot 0.5 \]
\[ c^2 = 289 – 120 \]
\[ c^2 = 169 \]
\[ c = 13 \, \text{செ.மீ} \]

இப்போது, ​​நாம் கோணம் A-ஐக் கண்டுபிடிக்கலாம்:
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sin 60°} \]
\(\sin 60° = \sqrt{3}/2\) என்பதால்:
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sqrt{3}/2} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{26}{\sqrt{3}} \]
\[ 8 \cdot \sqrt{3} = 26 \sin A \]
\[ \sin A = \frac{8 \sqrt{3}}{26} \]
\[ \sin A = \frac{4 \sqrt{3}}{13} \]

இறுதியாக, நேர்மாறு சைனைப் பயன்படுத்தி:
\[ A = \sin^{-1}\left(\frac{4 \sqrt{3}}{13}\right) \]

கோசைன் விதி

கோசைன் விதி கூறுகிறது:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 4

பக்கம் a = 9 செ.மீ., பக்கம் b = 12 செ.மீ., மற்றும் பக்கம் c = 15 செ.மீ. கொண்ட ஒரு முக்கோணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. கோணம் C-ஐக் காண்க.

தீர்வு:

கோணம் C-ஐக் கண்டறிய, நாம் கொசைன் விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
\[ 15^2 = 9^2 + 12^2 – 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos C \]
\[ 225 = 81 + 144 – 216 \cos C \]
\[ 225 = 225 – 216 \cos C \]
\[ 0 = -216 \cos C \]
\[ \cos C = 0 \]

cos 90° = 0 என்பதால், கோணம் C என்பது 90° என்று இதிலிருந்து நாம் அறிந்துகொள்கிறோம்.

முக்கோணவியல் விகிதங்களைப் புரிந்துகொள்ள உங்களுக்கு உதவும் சில எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகள் இவை. பல்வேறு கணக்குகளைக் கொண்டு தொடர்ந்து பயிற்சி செய்வது, இந்தக் கருத்துகள் குறித்த உங்கள் புரிதலை வலுப்படுத்தப் பெரிதும் உதவும். இந்தக் கட்டுரை உங்கள் கற்றலுக்கு உதவியாக இருந்திருக்கும் என நம்புகிறோம்!