முக்கோணவியல் விகிதங்களின் பயன்பாடு குறித்த எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள் tan θ
முக்கோணவியல் என்பது முக்கோணங்களில் உள்ள கோணங்கள் மற்றும் கோணச் சார்புகளைக் கையாளும் கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாகும். முக்கோணவியலில் உள்ள ஒரு முக்கியமான கருத்து, சைன் (sin), கோசைன் (cos) மற்றும் டேன்ஜென்ட் (tan) போன்ற கோணங்களின் முக்கோணவியல் விகிதங்கள் ஆகும். இந்தக் கட்டுரையில், tan θ எனக் குறிக்கப்படும் ஒற்றைக் கோணம் θ-வின் டேன்ஜென்ட் மீது நாம் கவனம் செலுத்துவோம்.
Tan θ-வின் வரையறை
ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கோணம் θ-வின் டேன்ஜென்ட் என்பது, கோணம் θ-வின் எதிர்ப்பக்கத்தின் நீளத்திற்கும் அதன் அடுத்துள்ள பக்கத்தின் நீளத்திற்கும் உள்ள விகிதமாகும். கணிதரீதியாக, tan θ பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:
\[ \tan \theta = \frac{\text{கோணம் θ-வின் எதிர்ப்பக்கம்}}{\text{கோணம் θ-வின் அடுத்துள்ள பக்கம்}} \]
இந்தக் கருத்தை நன்கு புரிந்துகொள்ள, நாம் சில எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளைப் பார்த்து, tan θ-வின் பயன்பாடுகளைப் பற்றி விவாதிப்போம்.
உதாரணம் கேள்வி 1: Tan θ ஐக் கணக்கிடுதல்
புள்ளி A-இல் கோணம் θ கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதில், கோணம் θ-வின் எதிர்ப்பக்கத்தின் நீளம் 3 செ.மீ மற்றும் அடுத்துள்ள பக்கத்தின் நீளம் 4 செ.மீ ஆகும். tan θ-வைக் கணக்கிடுக.
தீர்வு:
மேற்கண்ட சிக்கல்களிலிருந்து நாம் அறிவது:
– கோணம் θ-வின் எதிர்ப்பக்கம் = 3 செ.மீ.
– கோணம் θ-வின் அடுத்துள்ள பக்கம் = 4 செ.மீ.
tan θ-வின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, நாம் கணக்கிடுவது:
\[ \tan \theta = \frac{\text{எதிர்}}{\text{அடுத்துள்ள}} \]
\[ \tan \theta = \frac{3}{4} \]
எனவே, tan θ = 0.75.
வடிவியல் ரீதியாக, ஒரு முக்கோணத்தில் θ என்ற கோணத்திற்கு, எதிர்ப்பக்கத்தின் நீளத்திற்கும் அடுத்துள்ள பக்கத்தின் நீளத்திற்கும் உள்ள விகிதம் 0.75 ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டு 2: பக்க நீளத்தைக் கணக்கிட Tan θ-வைப் பயன்படுத்துதல்
ஒரு ஏணி 30 டிகிரி ஏற்றக் கோணம் θ-வில் ஒரு சுவரில் சாய்ந்துள்ளது. ஏணியின் அடியிலிருந்து சுவர் வரையிலான தூரம் 5 மீட்டர். ஏணி எவ்வளவு நீளத்திற்கு சுவரில் சாய்ந்துள்ளது?
தீர்வு:
முதல் படியாக, tan θ-வின் வரையறையை நினைவு கூர்வோம்:
\[ \tan \theta = \frac{\text{எதிர்}}{\text{அடுத்துள்ள}} \]
இந்தப் பிரச்சனையின் பின்னணியில்:
– θ = 30 டிகிரி
– அருகாமை (ஏணியின் அடியிலிருந்து சுவர் வரையிலான தூரம்) = 5 மீட்டர்
– எதிர் (சுவரிலிருந்து ஏணியின் உயரம்) = ???
நாம் முதலில் எதிர்நிலையைக் கணக்கிடுகிறோம்:
\[ \tan 30^\circ = \frac{\text{opposite}}{5} \]
முக்கோணவியல் அட்டவணையிலிருந்து நமக்குத் தெரிவது என்னவென்றால்:
\[ \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
ஆகவே:
\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\text{எதிர்}}{5} \]
இருபுறமும் 5 ஆல் பெருக்கவும்:
\[ \text{எதிர்} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \]
எதிர் திசை (ஏணியின் உயரத்திற்கும் சுவருக்கும் உள்ள தூரம்):
\[ \frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2.89 \text{ மீட்டர்கள்} \]
ஆகவே, ஏணியின் நீளம் 5 மீட்டர் ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டு 3: Tan θ ஐப் பயன்படுத்தி கோணங்களைக் கணக்கிடுதல்
ஒரு கோபுரம் 12 மீட்டர் நீளமுள்ள நிழலை ஏற்படுத்துகிறது. கோபுரத்தின் உயரம் 8 மீட்டர் எனில், சூரியனின் ஏற்றக்கோணம் θ என்ன?
தீர்வு:
இந்தப் பிரச்சினையில், நமக்குக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளவை:
– கோபுரத்தின் உயரம் (எதிர்ப்பக்கம்) = 8 மீட்டர்
– நிழலின் நீளம் (அடுத்துள்ள பகுதி) = 12 மீட்டர்
θ-வைக் கண்டறிய tan θ-வின் வரையறையை நாம் பயன்படுத்துகிறோம்:
\[ \tan \theta = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \]
இப்போது நாம் θ-வை பின்வரும் சமன்பாட்டின் மூலம் காண்கிறோம்:
\[ \theta = \tan^{-1} \left(\frac{2}{3}\right) \]
நேர்மாறு டேன்ஜென்ட்டின் மதிப்பைக் கண்டறிய அட்டவணை அல்லது கணிப்பானைப் பார்க்கும்போது, நாம் காண்பது:
\[ \theta \approx 33.69^\circ \]
ஆகவே, சூரியனின் ஏற்றக் கோணம் சுமார் 33.69 பாகைகள் ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டு 4: நிஜ உலகத் தேவைகளுக்கு Tan θ-வைப் பயன்படுத்துதல்
ஒரு காருக்கு மேலே 4 மீட்டர் உயரமுள்ள கம்பத்தில் ஒளி பிரதிபலிப்பான் ஒன்று பொருத்தப்பட்டுள்ளது. தரையிலிருந்து 45 டிகிரி கோணத்தில் பார்க்கக்கூடிய ஒரு சைரனைப் பொருத்த விரும்பினால், அந்த சைரன் தொடர்ந்து பார்க்கக்கூடிய அதிகபட்ச தூரத்தைக் கணக்கிடுங்கள்.
தீர்வு:
கேள்வியிலிருந்து தெரிவது என்னவென்றால்:
– கம்பத்தின் உயரம் (எதிர்ப்பக்கம்) = 4 மீட்டர்
– கோணம் θ = 45 டிகிரி
tan θ-வின் வரையறையின்படி:
\[ \tan 45^\circ = \frac{\text{எதிர்}}{\text{அடுத்துள்ள}} \]
\(\tan 45^\circ = 1\) என்று நமக்குத் தெரியும், எனவே:
\[ 1 = \frac{4}{\text{அடுத்துள்ள}} \]
ஆகவே:
\[ \text{அடுத்துள்ள} = 4 \text{ மீட்டர்} \]
ஆகவே, சைரனைக் காணக்கூடிய அதிகபட்ச தூரம் 4 மீட்டர் ஆகும்.
முடிவுரை
மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, ஒரு கோணம் θ-வின் டேன்ஜென்ட் (\(\tan \theta\)) என்பது மிகவும் பயனுள்ள ஒரு கருத்துரு என்பதையும், கணிதத்தில் எளிய கணக்குகளைத் தீர்ப்பது முதல் கட்டுமானம் மற்றும் வழிசெலுத்தல் போன்ற அன்றாடத் தேவைகளில் அதன் பயன்பாடு வரை பரந்த அளவிலான நடைமுறைப் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதையும் நாம் காண்கிறோம். இந்தக் கருத்துருவைப் பற்றிய நல்ல புரிதல், ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்களை ஒப்பிடுவது தொடர்பான பல்வேறு கணக்குகளைத் தீர்க்க உதவும்.
ஒட்டுமொத்தமாக, முக்கோணவியலின் ஒரு பகுதியாக உள்ள tan θ, முறையான கல்வியில் ஒரு முக்கியமான பாடமாக இருப்பது மட்டுமல்லாமல், நிஜ வாழ்க்கையின் பல்வேறு அம்சங்களிலும் மிகவும் பயனுள்ள ஒரு கருவியாக விளங்குகிறது. தொடர்புடைய சிக்கல்களைத் தீர்க்க tan θ-வை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பது குறித்த தெளிவான மற்றும் ஆழமான கண்ணோட்டத்தை இந்தக் கட்டுரை வழங்கும் என நம்புகிறோம்.
