ஈருறுப்புப் பரவல் சார்பு குறித்து விவாதிக்கும் எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

ஈருறுப்புப் பரவல் சார்பு குறித்த எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

ஈருறுப்புப் பரவல் என்பது, வெற்றி மற்றும் தோல்வி என இரண்டு சாத்தியமான விளைவுகளைக் கொண்ட பல சார்பற்ற முயற்சிகளைக் கொண்ட ஒரு சோதனையில் கிடைக்கும் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையை விவரிக்கும் ஒரு தனித்த நிகழ்தகவுப் பரவலாகும். ஒவ்வொரு முயற்சியும் ஒரு சோதனை என அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் பல சார்பற்ற முயற்சிகளில் கிடைக்கும் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையில் ஆர்வம் இருக்கும் சூழ்நிலைகளில் ஈருறுப்புப் பரவல் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்தக் கட்டுரையில், நாம் ஈருறுப்புப் பரவலின் அடிப்படைக் கருத்துக்களைப் பற்றி விவாதித்து, எடுத்துக்காட்டுகளையும் தீர்வுகளையும் வழங்குவோம்.

ஈருறுப்புப் பரவல் சார்பின் அடிப்படைக் கருத்துக்கள்

எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள் மற்றும் கலந்துரையாடலுக்குள் செல்வதற்கு முன், ஈருறுப்புப் பரவல் தொடர்பான சில அடிப்படைக் கருத்துக்களைப் பற்றி விவாதிப்போம்.

1. வரையறை: ஈருறுப்புப் பரவல் என்பது 'n' சார்பற்ற முயற்சிகளில் கிடைக்கும் வெற்றிகளின் கூட்டுத்தொகையாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இதில் ஒவ்வொரு முயற்சிக்கும் இரண்டு சாத்தியமான விளைவுகள் உண்டு: வெற்றி (p நிகழ்தகவுடன்) அல்லது தோல்வி (q = 1 – p நிகழ்தகவுடன்).

2. நிகழ்தகவுச் சார்பு: ஈருறுப்புப் பரவலின் நிகழ்தகவுச் சார்பு பின்வருமாறு:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
எங்கே:
– \( P(X = k) \) என்பது n முயற்சிகளில் k வெற்றிகளைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும்.
– \( \binom{n}{k} \) என்பது n-ஐ k-ஆல் எடுக்கும் ஒரு சேர்மானம் ஆகும், இது \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) என வரையறுக்கப்படுகிறது.
– \( p \) என்பது ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும்.
– \( (1-p) \) என்பது ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் தோல்வியடைவதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும்.

3. எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு மற்றும் மாறுபாடு:
– ஈருறுப்புப் பரவலின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு (சராசரி) \( \mu = np \) ஆகும்.
– ஈருறுப்புப் பரவலின் மாறுபாடு \( \sigma^2 = np(1-p) \).

இப்போது, ​​ஆழமான புரிதலை வழங்குவதற்காக, இந்தக் கருத்துக்களை ஒரு எடுத்துக்காட்டுக் கணக்கில் பயன்படுத்துவோம்.

எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 1: ஈருறுப்புப் பரவலின் அடிப்படைக் கணக்கீடுகள்

கேள்வி :
ஒரு நிறுவனம் மின்னணு பாகங்களை உற்பத்தி செய்கிறது, அந்நிறுவனத்தின் ஒவ்வொரு பாகமும் தரச் சோதனையில் தேர்ச்சி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.95 ஆகும். மொத்தம் 10 பாகங்கள் உற்பத்தி செய்யப்பட்டால், சரியாக 8 பாகங்கள் தரச் சோதனையில் தேர்ச்சி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுங்கள்.

கலந்துரையாடல் :
இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்க நாம் ஈருறுப்புப் பரவல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம். முதலில், பின்வரும் அளவுருக்களை நாம் அடையாளம் காண்கிறோம்:
– \( n \) (மொத்த சோதனைகளின் எண்ணிக்கை) = 10
– \( k \) (வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை) = 8
– \( p \) (வெற்றியின் நிகழ்தகவு) = 0.95
– \( q \) (தோல்வியின் நிகழ்தகவு) = 1 – 0.95 = 0.05

பின்னர் இந்த மதிப்புகளை ஈருறுப்புப் பரவல் சூத்திரத்தில் பிரதியிடவும்:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]

முதலில், \( \binom{10}{8} \) என்ற சேர்க்கையைக் கணக்கிடுங்கள்:
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]

பின்னர், நிகழ்தகவுகள் \( (0.95)^8 \) மற்றும் \( (0.05)^2 \) ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுங்கள்:
\[
(0.95)^8 ≈ 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]

இறுதியாக, அந்த மதிப்புகள் அனைத்தையும் பெருக்கினால் கிடைப்பது:
\[
P(X = 8) = 45 \times 0.6634 \times 0.0025 \approx 0.0744
\]

எனவே, 10 கூறுகளில் சரியாக 8 கூறுகள் தரச் சோதனையில் தேர்ச்சி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு சுமார் 0.0744 அல்லது 7.44% ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 2: திரள் நிகழ்தகவு

கேள்வி :
அதே நிறுவனத்தில், 10 கூறுகளில் குறைந்தது 9 கூறுகள் தரச் சோதனையில் தேர்ச்சி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுங்கள்.

கலந்துரையாடல் :
இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்க, நாம் திரள் நிகழ்தகவைக் கணக்கிட வேண்டும். 10 கூறுகளில் குறைந்தது 9 கூறுகள் சோதனையில் தேர்ச்சி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்பது \( P(X \geq 9) \) ) என்பதைக் கணக்கிடுவதாகும், இதை பின்வருமாறு எழுதலாம்:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]

ஈருறுப்புப் பரவல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]

முதலில், ஒவ்வொரு நேர்வுக்குமான சேர்மானத்தைக் கணக்கிடுங்கள்:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]

பின்னர், \( P(X = 9) \) மற்றும் \( P(X = 10) \) ஆகியவற்றிற்கான நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிடுங்கள்:
\[
P(X = 9) = 10 \times (0.95)^9 \times 0.05
\]
\[
(0.95)^9 ≈ 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 \times 0.6302 \times 0.05 \approx 0.3151
\]

\[
P(X = 10) = 1 \times (0.95)^{10} \times 1
\]
\[
(0.95)^{10} ≈ 0.5987
\]
\[
பி(எக்ஸ் = 10) = 0.5987
\]

\( P(X \geq 9) \) க்கான மொத்த நிகழ்தகவு:
\[
P(X ≥ 9) = 0.3151 + 0.5987 ≈ 0.9138
\]

எனவே, 10 கூறுகளில் குறைந்தது 9 கூறுகள் தரச் சோதனையில் தேர்ச்சி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு சுமார் 0.9138 அல்லது 91.38% ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 3: எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு மற்றும் மாறுபாடு

கேள்வி :
உற்பத்தி செய்யப்பட்ட 10 கூறுகளில், தரச் சோதனையில் தேர்ச்சி பெறும் கூறுகளின் எண்ணிக்கையின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுக. தேர்ச்சி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.95 ஆகும்.

கலந்துரையாடல் :
பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:
– எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு (சராசரி) \( \mu = np \)
– மாறுபாடு \( \sigma^2 = np(1-p) \)

\( n = 10 \) மற்றும் \( p = 0.95 \) உடன்:
\[
μ = 10 × 0.95 = 9.5
\]
\[
சிக்மா^2 = 10 × 0.95 × 0.05 = 0.475
\]

எனவே, தரச் சோதனையில் தேர்ச்சி பெறும் கூறுகளின் எண்ணிக்கையின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு 9.5 ஆகவும், மாறுபாடு 0.475 ஆகவும் உள்ளது.

முடிவுரை

மேலே உள்ள மூன்று எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளின் மூலம், ஈருறுப்புப் பரவலைப் பயன்படுத்தி பல்வேறு சூழ்நிலைகளில் நிகழ்தகவை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதைப் பற்றி விவாதித்துள்ளோம்: அதாவது, துல்லியமான நிகழ்தகவு, திரள் நிகழ்தகவு, மற்றும் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு மற்றும் மாறுபாடு ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுவது. உற்பத்தித் துறை, மருத்துவ ஆராய்ச்சி, மற்றும் சமூகப் புள்ளிவிவரங்கள் போன்ற பல்வேறு துறைகளில் ஈருறுப்புப் பரவல் பற்றிய அறிவு பயனுள்ளதாக இருக்கிறது. இத்துறைகளில், முடிவெடுப்பதற்கு உதவியாக, இரண்டு சாத்தியமான விளைவுகளைக் கொண்ட மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும் சோதனைகளின் முடிவுகளைப் பகுப்பாய்வு செய்ய முடியும். இங்கு வழங்கப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளும் விவாதங்களும் ஈருறுப்புப் பரவல் குறித்த உங்கள் புரிதலை மேலும் மேம்படுத்த உதவும் என நம்புகிறோம்.