சார்புகள் மற்றும் சார்பற்றவைகள் குறித்து விவாதிக்கும் எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

சார்புகள் மற்றும் சார்பற்றவைகள் குறித்து விவாதிக்கும் எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்: அடிப்படைக் கருத்துகளைப் புரிந்துகொள்ளுதல்

பென்கெனாலன்

கணிதத்தில், குறிப்பாக இயற்கணிதத்தில், சார்பு என்ற கருத்து மிகவும் அடிப்படையான மற்றும் முக்கியமான ஒன்றாகும். இரண்டு கணங்களுக்கு இடையேயான உறவை மிகவும் முறைப்படுத்தப்பட்ட வழியில் புரிந்துகொள்ள சார்புகள் நமக்கு உதவுகின்றன. ஒரு சார்பைப் புரிந்துகொள்ள, நாம் முதலில் அதன் வரையறையையும் பண்புகளையும் புரிந்துகொள்ள வேண்டும். எனவே, இந்தக் கட்டுரை எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளை மீள்பார்வை செய்து, சார்புகள் மற்றும் சார்பற்றவைகளைப் பற்றி விவாதிக்கும். இது இத்தலைப்பைப் பற்றிய ஆழமான புரிதலை வளர்த்துக்கொள்ள நமக்கு உதவும்.

சார்பு மற்றும் சார்பற்றதன் வரையறை

சார்பின் வரையறையைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம் தொடங்குவோம். கணிதத்தில், ஒரு சார்பு என்பது களக் கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் துணைக்களக் கணத்தின் ஒரே ஒரு உறுப்புடன் மட்டுமே தொடர்புபடுத்தும் ஒரு உறவாக வரையறுக்கப்படுகிறது. வேறுவிதமாகக் கூறினால், களக் கணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும், துணைக்களக் கணத்தில் அதற்கு இணையான ஒரே ஒரு உறுப்பு மட்டுமே உள்ளது.

சார்புகளாக உள்ள தொடர்புகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:
– கணம் A = {1, 2, 3}
– கணம் B = {4, 5, 6}
– தொடர்பு R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}

கணம் A-இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் கணம் B-இன் ஒரே ஒரு உறுப்புடன் மட்டுமே ஜோடியாக இருப்பதால், R என்ற தொடர்பு ஒரு சார்பு ஆகும்.

செயல்பாடற்ற தொடர்பு என்பது இந்த அளவுகோல்களைப் பூர்த்தி செய்யாத ஒரு உறவாகும்; அதாவது, அசல் பகுதியில் உள்ள குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பாவது, விளைவுப் பகுதியில் உள்ள ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட உறுப்புகளுடன் ஜோடியாக அமைந்திருக்கும்.

சார்புகள் அல்லாத தொடர்புகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:
– கணம் C = {1, 2, 3}
– கணம் D = {4, 5, 6}
– தொடர்பு S = {(1, 4), (1, 5), (2, 6)}

கணம் C-இல் உள்ள உறுப்பு '1', கணம் D-இல் உள்ள இரண்டு உறுப்புகளுடன் (அதாவது 4 மற்றும் 5) ஜோடியாக இருப்பதால், S என்ற தொடர்பு ஒரு சார்பு அல்ல.

மாதிரி கேள்விகள் மற்றும் கலந்துரையாடல்

சார்புகள் மற்றும் சார்பற்றவைகள் குறித்த நமது புரிதலை மேலும் ஆழப்படுத்த, சில எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகளையும் அவற்றின் விவாதங்களையும் காண்போம்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 1: சார்புகளைத் தீர்மானித்தல்

X = {a, b, c, d} என்ற ஒரு கணமும், Y = {1, 2, 3, 4} என்ற ஒரு கணமும் கொடுக்கப்பட்டால், பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்ட தொடர்பு ஒரு சார்பா?
– R = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}

கலந்துரையாடல்:

X என்ற கணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பையும் சரிபார்ப்போம்:
– 'a' என்பது '1' உடன் ஜோடியாக உள்ளது
– 'b' என்பது '2' உடன் ஜோடியாக உள்ளது
– 'c' உடன் '3' இணைக்கப்பட்டது
– 'd' உடன் '4' இணைக்கப்பட்டது

கணம் X-இல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் கணம் Y-இல் உள்ள ஒரே ஒரு உறுப்புடன் மட்டுமே ஜோடியாக இருப்பதால், தொடர்பு R ஒரு சார்பாகும்.

எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 2: சார்புகள் அல்லது சார்பற்றவைகளைக் கண்டறிதல்

P = {u, v, w} என்ற ஒரு கணம் மற்றும் Q = {5, 6, 7} என்ற ஒரு கணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. பின்வரும் தொடர்பு ஒரு சார்பா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்:
– S = {(u, 5), (v, 6), (u, 7)}

கலந்துரையாடல்:

P என்ற கணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பையும் ஆராய்வோம்:
– 'u' உடன் '5' இணைக்கப்பட்டது
– 'v' உடன் '6' இணைக்கப்பட்டது
– 'u' என்பது '7' உடனும் ஜோடியாக வருகிறது.

கணம் P-இல் உள்ள உறுப்பு 'u', கணம் Q-இல் உள்ள ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட உறுப்புகளுடன் ஜோடியாக இருப்பதால், S என்ற தொடர்பு ஒரு சார்பு அல்ல.

எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 3: வரைபடங்களிலிருந்து சார்புகளை வரைதல்

ஆயத்தளத்தில் உள்ள ஒரு தொடர்பின் வரைபடம் கொடுக்கப்பட்டால், அது ஒரு சார்பா இல்லையா எனத் தீர்மானிக்கவும். அந்த வரைபடம் பின்வரும் புள்ளிகளைக் காட்டுகிறது:
– (1, 2)
– (2, 4)
– (3, 6)
– (4, 8)
– (5, 10)

கலந்துரையாடல்:

வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் (x, y) என்ற வடிவத்தில் ஒரு ஜோடியைக் கொண்டுள்ளது, இது x-இன் ஒவ்வொரு கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பிற்கும், அதனுடன் தொடர்புடைய y-இன் ஒரே ஒரு மதிப்பு மட்டுமே உள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. ஆட்களத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் துணை ஆட்களத்தில் உள்ள ஒரே ஒரு உறுப்புடன் மட்டுமே ஜோடியாக இருப்பதால், கொடுக்கப்பட்ட வரைபடம் ஒரு சார்பின் வரைபடமாகும்.

எடுத்துக்காட்டு கணக்கு 4: சமன்பாட்டு வடிவத்தில் உள்ள சார்புகள்

கொடுக்கப்பட்ட ஆட்களம் அனைத்து மெய் எண்களாக இருந்தால், y = x² என்ற சமன்பாடு ஒரு சார்பா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.

கலந்துரையாடல்:

ஆட்களத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு x-மதிப்புக்கும் ஒரே ஒரு y-மதிப்பு மட்டுமே தொடர்புடையதா என்பதை நாம் சரிபார்க்க வேண்டும். சில x-மதிப்புகளைப் பிரதியிடவும்:
– x = 1 எனில், y = 1² = 1
– x = 2 எனில், y = 2² = 4
– x = -1 எனில், y = (-1)² = 1
x-இன் ஒவ்வொரு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மதிப்பிற்கும், y-இன் ஒரே ஒரு தொடர்புடைய மதிப்பு மட்டுமே உள்ளது என்பதைக் காணலாம். எனவே, y = x² என்பது ஒரு சார்பு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 5: நேர்மாறுச் சார்புகளைக் கொண்ட சார்புகள்

f: x → x + 3 என வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு f(x) என்க. இந்தச் சார்புக்கு நேர்மாறு சார்பு இருந்தால், அதைக் காண்க.

கலந்துரையாடல்:

f: x → x + 3 எனில், f(g(x)) = x மற்றும் g(f(x)) = x என அமையும் ஒரு சார்பு g-ஐ நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். சமன்பாட்டிலிருந்து தொடங்குவோம்:
– y = x + 3
நேர்மாறைக் கண்டுபிடிக்க, நாம் x-ஐத் தனிமைப்படுத்துகிறோம்:
– x = y – 3
எனவே, நேர்மாறு சார்பு g(y) = y – 3 ஆகும்.
எனவே, f(x) = x + 3 என்ற சார்பின் நேர்மாறு f⁻¹(x) = x – 3 ஆகும்.

முடிவுரை

மேற்கண்ட கலந்துரையாடலில் இருந்து, சார்புகள் மற்றும் சார்பற்றவைகளை உள்ளடக்கிய கணக்குகளின் பல எடுத்துக்காட்டுகளையும், அவற்றின் விளக்கங்களையும் நாம் பார்த்தோம். சார்பு என்ற கருத்து, ஆட்களக் கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் துணை ஆட்களக் கணத்தின் ஒரே ஒரு உறுப்புடன் மட்டுமே ஜோடியாக இருக்க வேண்டும் என்று நமக்குக் கற்பிக்கிறது. வரைபடங்கள் மற்றும் சமன்பாடுகளில் இருந்து சார்புகளைக் கண்டறிவதும் ஒரு உறவின் தன்மையைத் தீர்மானிப்பதற்கான ஒரு பயனுள்ள நுட்பமாகும். இவ்வகையான கணக்குகளைப் பயிற்சி செய்வதன் மூலம், இயற்கணிதம் மற்றும் பிற கணிதப் பகுப்பாய்வுகளில் இன்றியமையாத அடித்தளங்களாக விளங்கும் சார்புகள் மற்றும் சார்பற்றவைகளின் அடிப்படைக் கருத்துக்களுடன் நாம் மேலும் பரிச்சயமாகி, அவற்றை நன்கு புரிந்துகொள்வோம்.