ஈருறுப்புப் பரவல் குறித்த எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகளும் கலந்துரையாடலும்
ஈருறுப்புப் பரவல் என்பது மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் தனித்த நிகழ்தகவுப் பரவல்களில் ஒன்றாகும். வெற்றி அல்லது தோல்வியை விளைவிக்கும் பல ஒத்த, சார்பற்ற முயற்சிகளில் கிடைக்கும் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையை மாதிரியாக்குவதற்கு இது பயனுள்ளதாக இருக்கிறது. இந்தக் கட்டுரையில், பல எடுத்துக்காட்டுகளையும் ஒரு விரிவான விவாதத்தையும் வழங்குவதன் மூலம் ஈருறுப்புப் பரவலைப் பற்றி நாம் ஆழமாக ஆராய்வோம்.
ஈருறுப்புப் பரவலுக்கான அறிமுகம்
ஈருறுப்புப் பரவலின் முக்கிய பண்புகள்:
1. n : முயற்சிகளின் அல்லது மறுசெய்கைகளின் எண்ணிக்கை.
2. p : ஒவ்வொரு சோதனையிலும் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு.
3. q = 1-p : ஒவ்வொரு சோதனையிலும் தோல்வியடைவதற்கான நிகழ்தகவு.
ஈருறுப்புப் பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு:
\[ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{nk} \]
எங்கே:
– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி.
– \( k \): எதிர்பார்க்கப்படும் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை.
மாதிரி கேள்விகள் மற்றும் கலந்துரையாடல்
ஈருறுப்புப் பரவல் என்ற கருத்தை இன்னும் விரிவாகப் புரிந்துகொள்ள, சில எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளுடன் தொடங்குவோம்.
எடுத்துக்காட்டு 1: மாணவர் குழுவிலிருந்து தேர்வு செய்தல்
உதாரணமாக, நம்மிடம் 10 மாணவர்கள் கொண்ட ஒரு குழு உள்ளது என்றும், ஒரு போட்டியில் பங்கேற்க ஒவ்வொரு மாணவரும் தேர்ந்தெடுக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு 0,3 என்றும் வைத்துக்கொள்வோம். சரியாக 4 மாணவர்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவை நாம் அறிய விரும்புகிறோம்.
படி 1: ஈருறுப்புப் பரவலின் அளவுருக்களைக் கண்டறியவும்.
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.3 \)
படி 2: ஈருறுப்புப் பரவலைப் பயன்படுத்தி \( X = 4 \) என்பதன் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுங்கள்.
\[ P(X = 4) = {10 \choose 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
\( {10 \choose 4} \) ஐக் கணக்கிடுதல்:
\[ {10 ⇌ 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
இப்போது \( (0.3)^4 \) மற்றும் \( (0.7)^6 \) ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுங்கள்:
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
எனவே,
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \approx 0.20012 \]
எனவே, சரியாக 4 மாணவர்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு தோராயமாக 0.20012 அல்லது 20.012% ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டு 2: நிகழ்தகவு 2க்குக் குறைவாக அல்லது சமமாக இருத்தல்
இப்போது, உதாரணமாக, 2 அல்லது அதற்கும் குறைவான மாணவர்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு குறித்து நம்மிடம் கேட்கப்பட்டுள்ளது.
படி 1: நாம் \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), மற்றும் \( P(X = 2) \) ஆகியவற்றைக் கணக்கிட வேண்டும்.
– \( P(X = 0) \) க்கு:
\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \choose 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– \( P(X = 1) \) க்கு:
\[ P(X = 1) = {10 \choose 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \choose 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– \( P(X = 2) \) க்கு:
\[ P(X = 2) = {10 \choose 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \choose 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
படி 2: நிகழ்தகவுகளைக் கூட்டவும்.
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
எனவே, 2 அல்லது அதற்கும் குறைவான மாணவர்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு தோராயமாக 0.7740671 அல்லது 77.41% ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டு 3: குறைந்தது 8 என்பதற்கான நிகழ்தகவு
ஒரு சோதனை 12 முறை நிகழ்த்தப்பட்டு, ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.5 எனில், குறைந்தது 8 வெற்றிகள் ஏற்படுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
படி 1 : ஈருறுப்பு அளவுருக்களை அமைக்கவும்: \( n = 12, p = 0.5 \).
படி 2 : \( X \geq 8 \) என்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.
இதற்குப் பல தனித்தனி நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிட்டு அவற்றைக் கூட்ட வேண்டும்:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
ஒவ்வொன்றாக எண்ணுங்கள்:
– \( P(X = 8) \) க்கு:
\[ P(X = 8) = {12 \choose 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \choose 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– \( P(X = 9) \) க்கு:
\[ P(X = 9) = {12 \choose 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \choose 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– \( P(X = 10) \) க்கு:
\[ P(X = 10) = {12 \choose 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \choose 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– \( P(X = 11) \) க்கு:
\[ P(X = 11) = {12 \choose 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \choose 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– \( P(X = 12) \) க்கு:
\[ P(X = 12) = {12 \choose 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \choose 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
படி 3: அனைத்து நிகழ்தகவுகளையும் கூட்டவும்.
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \approx 0.1938477 \]
எனவே, 12 சோதனைகளில் குறைந்தது 8 வெற்றிகள் ஏற்படுவதற்கான நிகழ்தகவு தோராயமாக 0.1938477 அல்லது 19.38% ஆகும்.
முடிவுரை
ஈருறுப்புப் பரவல் என்பது புள்ளியியலில் உள்ள ஒரு அடிப்படைக் கருத்தாகும், இது பல நடைமுறைப் பயன்பாடுகளில் இன்றியமையாதது. மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, ஈருறுப்புப் பரவலின் பல்வேறு நிலைகளுக்கான நிகழ்தகவுகளை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், இந்தக் கருத்தை நாம் நிஜ உலகச் சூழ்நிலைகளில் பயன்படுத்தலாம். இந்தப் பயிற்சியானது, நிகழ்தகவுக் கட்டமைப்புகள் எவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்பதைப் பற்றிய நமது புரிதலை ஒரு தெளிவான மற்றும் ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட சூழலில் வலுப்படுத்துகிறது.
