கூட்டுத் தொடர்கள் பற்றிய எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

எண்கணிதத் தொடர்களைப் பற்றி விவாதிக்கும் எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

கூட்டுத்தொடர்கள் என்பது கணிதத்தில் ஒரு அடிப்படைக் கருத்தாகும், இது பல்வேறு தேர்வுகளிலும் நிஜ உலகப் பயன்பாடுகளிலும் அடிக்கடி இடம்பெறுகிறது. ஒரு கூட்டுத்தொடர் என்பது, அடுத்தடுத்த இரண்டு உறுப்புகளுக்கு இடையே ஒரு நிலையான வித்தியாசத்தைக் கொண்ட எண்களின் வரிசையாகும். இந்தக் கட்டுரையில், விரிவான விளக்கங்களுடன் கூடிய பல எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகள் மூலம் கூட்டுத்தொடர்கள் என்ற கருத்தை இன்னும் ஆழமாக ஆராய்வோம்.

வரையறைகள் மற்றும் குறியீடுகள்

எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளுக்குள் செல்வதற்கு முன், கூட்டுத் தொடர்களில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் குறியீட்டைப் புரிந்துகொள்வது முக்கியம். \(a\) என்பது முதல் உறுப்பு மற்றும் \(d\) என்பது பொது வித்தியாசம் (மாறாத வித்தியாசம்) எனில், கூட்டுத் தொடரை இவ்வாறு எழுதலாம்:

\[ a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots, a+(n-1)d \]

இந்தத் தொடரின் n-ஆவது உறுப்பை (Un) பின்வருமாறு உருவாக்கலாம்:

\[ U_n = a + (n-1)d \]

எண்கணிதத் தொடர்களை எளிதாகப் புரிந்துகொள்வதற்காக, கீழே சில எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகளும் அவற்றின் விளக்கங்களும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 1

கேள்வி:

முதல் உறுப்பு \(a = 5\) மற்றும் பொது வித்தியாசம் \(d = 3\) கொண்ட ஒரு கூட்டுத்தொடர் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அத்தொடரின் 10வது உறுப்பைக் கண்டறியவும்.

கலந்துரையாடல்:

n-ஆவது உறுப்பிற்கான பொதுவான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, அதாவது \( U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]

ஆகவே, அந்தத் தொடரின் 10வது உறுப்பு 32 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 2

கேள்வி:

ஐந்தாவது உறுப்பு 20 மற்றும் எட்டாவது உறுப்பு 35 ஆக உள்ள ஒரு கூட்டுத்தொடர் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அத்தொடரின் முதல் உறுப்பு \(a\) மற்றும் பொது வித்தியாசம் \(d\) ஆகியவற்றைக் காண்க.

கலந்துரையாடல்:

கேள்வியிலிருந்து நாம் அறிவது:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]

\(a\)-ஐ நீக்குவதற்கு இரு சமன்பாடுகளையும் கழிக்கவும்:
\[ (a + 7d) – (a + 4d) = 35 – 20 \]
\[ 3d = 15 \]
\[ ஈ = 5 \]

இப்போது \(a\) ஐக் கண்டுபிடிக்க \(d = 5\) ஐப் பிரதியிடுகிறோம்:
\[ a + 4 \cdot 5 = 20 \]
\[ a + 20 = 20 \]
\[ a = 0 \]

ஆகவே, தொடரின் முதல் உறுப்பு 0 மற்றும் வித்தியாசம் 5 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 3

கேள்வி:

முதல் உறுப்பு \(a = 2\) மற்றும் பொது வித்தியாசம் \(d = 4\) கொண்ட ஒரு கூட்டுத் தொடரின் முதல் 20 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை என்ன?

கலந்துரையாடல்:

ஒரு கூட்டுத் தொடரின் முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:
\[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1)d \right) \]

இந்த வரிக்கு:
\[ S_{20} = \frac{20}{2} \left( 2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 4 \right) \]
\[ S_{20} = 10 \left( 4 + 76 \right) \]
\[ S_{20} = 10 \cdot 80 \]
\[ S_{20} = 800 \]

ஆகவே, அந்தத் தொடரின் முதல் 20 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை 800 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 4

கேள்வி:

ஒரு கூட்டுத் தொடரின் மூன்றாவது உறுப்பு 15 மற்றும் ஏழாவது உறுப்பு 27 ஆகும். அத்தொடரின் 12வது உறுப்பைக் காண்க.

கலந்துரையாடல்:

முதலில், நாம் \(a\) மற்றும் \(d\) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். கேள்வியிலிருந்து நமக்குத் தெரிவது:
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]

\(a\)-ஐ நீக்குவதற்கு இரு சமன்பாடுகளையும் கழிக்கவும்:
\[ (a + 6d) – (a + 2d) = 27 – 15 \]
\[ 4d = 12 \]
\[ ஈ = 3 \]

இப்போது \(a\) ஐக் கண்டுபிடிக்க \(d = 3\) ஐப் பிரதியிடுகிறோம்:
\[ a + 2 \cdot 3 = 15 \]
\[ a + 6 = 15 \]
\[ a = 9 \]

n-ஆவது உறுப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி 12-ஆவது உறுப்பைக் கண்டறியவும்:
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[ U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[ U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]

ஆகவே, அந்தத் தொடரின் 12வது உறுப்பு 42 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 5

கேள்வி:

முதல் உறுப்பு \(a\) மற்றும் பொது வித்தியாசம் \(d\) கொண்ட ஒரு கூட்டுத் தொடரின் முதல் 10 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை 55 ஆகும். \(d = 1\) எனில், முதல் உறுப்பு \(a\)-ஐக் காண்க.

கலந்துரையாடல்:

\(d = 1\) மற்றும் \(S_{10} = 55\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. முதல் உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]

n = 10 எனில்:
\[ S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[ 5 (2a + 9) = 55 \]
\[ 2a + 9 = 11 \]
\[ 2a = 2 \]
\[ a = 1 \]

ஆகவே, தொடரின் முதல் உறுப்பு 1 ஆகும்.

முடிவுரை

கூட்டுத் தொடர்கள் என்பது கணிதத்தில் உள்ள ஒரு அடிப்படைக் கருத்தாகும், இது பல்வேறு துறைகளில் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கிறது. இந்தக் கட்டுரையில், கூட்டுத் தொடர்களின் பல எடுத்துக்காட்டுகளையும் அவற்றின் தீர்வுகளையும் நாம் விவாதித்துள்ளோம். கூட்டுத் தொடர்களின் சூத்திரங்கள் மற்றும் அடிப்படைப் பண்புகளைப் பற்றிய நல்ல புரிதல், இத்தலைப்பு தொடர்பான பல்வேறு வகையான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு மிகவும் உதவியாக இருக்கும்.

மேலே உள்ளதைப் போன்ற எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயிற்சி செய்வதன் மூலம், கூட்டுத் தொடர்கள் தொடர்பான கணக்குகளைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் அதிகத் திறமையும் வேகமும் பெறுவீர்கள் என்று நம்பப்படுகிறது.