Mlinganyo wa mwendelezo

Nyenzo ya Mlinganyo wa Mwendelezo

Jaribu kufungua bomba la maji polepole huku ukiangalia mtiririko wa maji ukitoka kwenye bomba. Mara tu bomba linapoacha kugeuka, funga bomba kwa kiasi kwa mkono wako. Sasa linganisha mtiririko wa maji ulio mkubwa zaidi. Linapoziba au kufunguliwa kwa kiasi? Ikiwa una hose ambayo kwa kawaida hutumika kumwagilia maua, acha maji yatiririke kupitia hiyo. Zuia hose kwa kiasi kwa mkono au kidole chako. Kadiri sehemu kubwa ya hose inavyoziba, ndivyo maji yatakavyotoka kwa kasi zaidi. Kinyume chake, ikiwa hose haijaziba, maji yatatiririka kwa kasi kidogo. Kwa nini hii iko hivyo? Ili kuelewa hili, tafadhali soma mlinganyo wa mwendelezo.

Mistari na Mirija ya Mtiririko

Kwanza, hebu tuelewe dhana za mifereji ya mtiririko na mirija ya mtiririko. Dhana hii ni muhimu kwa sababu itakusaidia kuelewa mlinganyo wa mwendelezo.

Mstari wa mtiririko

Angalia picha iliyo hapa chini, mstari wa bluu ni Mkondo.

Katika mtiririko thabiti, kasi ya kila chembe ya umajimaji katika sehemu fulani, tuseme sehemu A, hubaki bila kubadilika. Inapopita sehemu B, kasi ya chembe za umajimaji inaweza kubadilika. Hata hivyo, inapofika sehemu B, chembe za umajimaji zinazofuata nyuma huendelea kutiririka kwa kasi sawa na chembe za umajimaji zilizotangulia. Vivyo hivyo inatumika inapofika sehemu C, na kadhalika. Mtiririko ni sehemu za kuunganisha za mkunjo A, B, na C.

Mrija wa mtiririko

Kimsingi, tunaweza kuchora kila mtiririko wa maji kupitia kila nukta katika mtiririko wa maji. Tukizingatia mtiririko thabiti wa maji, mtiririko kadhaa unaopita kwenye pembe fulani kwenye eneo la uso wa kufikirika (eneo la uso wa kufikirika) huunda bomba la mtiririko. Hakuna chembe za maji zinazokutana lakini huwa sambamba kila wakati, na bomba la mtiririko litafanana na bomba ambalo huwa na umbo sawa kila wakati. Maji yanayoingia kwenye ncha moja ya bomba yatatoka kwenye bomba kwenye ncha nyingine.

Debit

Utoaji huonyesha ujazo wa umajimaji unaopita katika sehemu fulani ya msalaba katika kipindi fulani cha muda. Kihisabati, inaweza kuelezwa kama ifuatavyo:

Ili kuongeza uelewa wako, hebu tutumie mfano. Tuseme umajimaji unapita kwenye bomba. Mabomba kwa kawaida huwa ya silinda na yana eneo maalum la sehemu mtambuka. Bomba pia lina urefu.

Wakati umajimaji unapita kwenye bomba hadi L, basi ujazo wa umajimaji kwenye bomba ni V = AL (V = ujazo wa umajimaji, A = eneo la sehemu mtambuka na L = urefu wa bomba). Kwa sababu wakati wa mtiririko kwenye bomba kando ya L umajimaji husafiri kwa muda fulani, basi tunaweza kusema kwamba ukubwa wa utoaji wa umajimaji ni:

Kwa sababu v = s/t = L/t —> L = vt, mlinganyo hapo juu umebadilishwa kuwa:

Kwa hivyo, wakati umajimaji unapita kupitia bomba ambalo lina eneo na urefu fulani wa sehemu mtambuka kwa muda fulani, ukubwa wa kutokwa kwa umajimaji (Q) ni sawa na eneo la uso wa sehemu mtambuka (A) linalozidishwa na kasi ya mtiririko wa umajimaji (v).

Mlinganyo wa Mwendelezo

Fikiria mtiririko wa umajimaji katika bomba lenye kipenyo tofauti, kama inavyoonyeshwa kwenye mchoro ulio hapa chini.

Picha hii inaonyesha mtiririko wa umajimaji kutoka kushoto kwenda kulia (umajimaji hutiririka kutoka bomba lenye kipenyo kikubwa hadi bomba lenye kipenyo kidogo). Mistari yenye nukta ni laini.

Maelezo ya picha: A ₁ = eneo la sehemu ya msalaba ya sehemu ya bomba lenye kipenyo kikubwa, A ₂ = eneo la sehemu ya msalaba ya sehemu ya bomba lenye kipenyo kidogo, v ₁ = kasi ya mtiririko wa maji katika sehemu ya bomba lenye kipenyo kikubwa, v ₂ = kasi ya mtiririko wa maji katika sehemu ya bomba lenye kipenyo kidogo, L = umbali uliosafiriwa na maji.

Katika utangulizi wa mienendo ya kimiminika, ilielezwa kwamba katika mienendo ya kimiminika, tunajadili mtiririko wa kimiminika ambacho hakiwezi kugandamizwa, hakina mwonekano, hakina msukosuko, na kithabiti. Katika mtiririko thabiti, kasi ya chembe za kimiminika katika sehemu fulani ni sawa na kasi ya chembe zingine za kimiminika zinazopita katika sehemu hiyo. Mtiririko wa kimiminika pia hauingiliani (mikondo ya maji ni sambamba). Kwa hivyo, wingi wa kimiminika unaoingia upande mmoja wa bomba lazima uwe sawa na wingi wa kimiminika unaotoka upande mwingine. Ikiwa kimiminika chenye uzito fulani kinaingia kwenye bomba lenye kipenyo kikubwa, basi kimiminika kitatoka kwenye bomba lenye kipenyo kidogo chenye uzito usiobadilika.

Sasa, angalia picha ya bomba hapo juu. Tazama sehemu ya bomba yenye kipenyo kikubwa na sehemu ya bomba yenye kipenyo kidogo.

Katika kipindi fulani cha muda, kiasi fulani cha umajimaji hutiririka kupitia sehemu ya bomba yenye kipenyo kikubwa (A).₁) hadi L₁ (L₁ =v₁ t). Kiasi cha maji yanayotiririka ni V₁ =A₁ L₁ =A₁ v₁ t. Katika kipindi hicho hicho, kiasi kingine cha umajimaji hutiririka kupitia sehemu ya bomba yenye kipenyo kidogo (A).₂) hadi L₂ (L₂ =v₂ t). Kiasi cha maji yanayotiririka ni V₂ =A₂ L₂ =A₂ v₂ t.

Mlinganyo wa Mwendelezo kwa Maji Yasiyoweza Kugandamizwa (isiyoweza kubanwa)

Kwanza, hebu tuangalie kisa cha umajimaji usioweza kuganda. Katika umajimaji usioweza kuganda, msongamano, au uzito, wa umajimaji huwa sawa kila wakati katika kila sehemu inayopita. Uzito wa umajimaji unaotiririka kwenye bomba lenye eneo la sehemu mtambuka A1 ₍ kipenyo kikubwa cha bomba) wakati wa kipindi fulani cha muda ni:

Vile vile, wingi wa umajimaji unaotiririka kwenye bomba lenye eneo la sehemu mtambuka la A ₂ (kipenyo kidogo cha bomba) wakati wa kipindi fulani cha muda ni:

Kwa kuzingatia kwamba katika mtiririko thabiti, wingi wa umajimaji unaoingia ni sawa na wingi wa umajimaji unaotoka, basi:

m ₁ = m ₂

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t (uzito wa umajimaji na muda ni sawa kwa hivyo hughairi)

A ₁ dhidi ya ₁ = A ₂ dhidi ya ₂

Kwa hivyo, katika maji yasiyoweza kugandamizwa, mlinganyo wa mwendelezo unatumika:

A ₁ dhidi ya ₁ = A ₂ dhidi ya ₂ — Mlinganyo 1

Taarifa:

A ₁ = eneo la sehemu mtambuka 1, A ₂ = eneo la sehemu mtambuka 2, v ₁ = kasi ya mtiririko wa umajimaji katika sehemu mtambuka 1, v ₂ = kasi ya mtiririko wa umajimaji katika sehemu mtambuka 2, A v = kiwango cha mtiririko wa ujazo V/t au kutokwa

Mlinganyo 1 unaonyesha kwamba kiwango cha mtiririko wa ujazo, pia kinachojulikana kama kutokwa, huwa sawa kila wakati katika kila nukta kando ya bomba au bomba la mtiririko. Sehemu ya msalaba wa bomba inapopungua, kiwango cha mtiririko wa maji huongezeka; kinyume chake, sehemu ya msalaba wa bomba inapoongezeka, kiwango cha mtiririko wa maji hupungua.

Tunapoziba bomba kwa sehemu, mtiririko wa maji unakuwa haraka kuliko wakati bomba limefungwa kwa sehemu. Hii ni kwa sababu eneo la sehemu ya mtambuka wa bomba hupungua wakati bomba limefungwa kwa sehemu, na kuongeza kiwango cha mtiririko wa maji (maji hutiririka kwa kasi zaidi). Vivyo hivyo kwa mabomba. Hata hivyo, ni muhimu kutambua kwamba kiwango cha mtiririko wa maji au ujazo hubaki sawa katika sehemu zote kando ya mtiririko wa maji, iwe bomba limefungwa kwa sehemu au la. Kwa hivyo, kinachobadilika ni kiwango cha mtiririko wa maji.

Vipi kuhusu mtiririko wa maji mtoni? Sehemu zenye kina kirefu cha mto zina sehemu kubwa zaidi ya kuvuka kuliko sehemu zenye kina kifupi, kwa hivyo kiwango cha mtiririko wa maji katika sehemu zenye kina kirefu ni cha chini kuliko sehemu zenye kina kifupi. Ukiona mtiririko wa mto mtulivu sana, hiyo ina maana kwamba mto ni wa kina kirefu. Lakini ikiwa mto unapita kwa kasi ghafla, sehemu hiyo hakika ni ya kina kifupi. Hata hivyo, kiwango cha mtiririko wa maji huwa sawa kila wakati, iwe katika sehemu zenye kina kirefu au tulivu za mto.

Mlinganyo wa Mwendelezo kwa Maji Yanayoweza Kugandamizwa (inayoweza kubanwa)

Katika hali ya vimiminika vinavyoweza kubanwa , msongamano wa kimiminika si sawa kila wakati. Kwa maneno mengine, msongamano wa kimiminika hubadilika unapobanwa. Wakati katika vimiminika visivyoweza kubanwa , msongamano wa kimiminika huondolewa kwenye mlinganyo, katika hali hii, msongamano wa kimiminika bado unajumuishwa. Tukirejelea mlinganyo uliotokana hapo awali, hebu tupate mlinganyo wa vimiminika vinavyoweza kubanwa.

Kwa kuzingatia kwamba katika mtiririko thabiti, wingi wa umajimaji unaoingia ni sawa na wingi wa umajimaji unaotoka, basi:

m ₁ = m ₂

ρ A ₁ dhidi ya ₁ t = ρ A ₂ dhidi ya ₂ t

Muda wa mtiririko wa maji ni sawa kwa hivyo unaweza kuondolewa. Mlinganyo hubadilika kuwa:

ρ A ₁ v ₁ = ρ A ₂ v ₂ → Mlinganyo 2

Huu ndio mlinganyo wa umajimaji unaoweza kugandamizwa. Tofauti pekee iko katika msongamano wa umajimaji. Umajimaji unapobanwa, msongamano wake hubadilika. Kinyume chake, umajimaji unaposhindwa kubanwa, msongamano wake hubaki palepale na unaweza kufutwa.

Mfano wa swali la 1:

Maji hutiririka kupitia bomba lenye kipenyo cha sentimita 10 kwa kasi ya mita 2 kwa sekunde. Je, ni nini kinachotoa maji?

Majadiliano

Inajulikana kwamba:

Kipenyo cha bomba = 10 cm (hiki ni kipenyo cha ndani cha bomba)

Kipenyo cha bomba (r) = 5 cm = 0,05 m

maji = 2 m/s

Aliuliza: Debit

Jibu:

Q = A v

Q = (π r ² ) (2 m/s)

Q = (3,14)(0,05 m) ² (2 m/s)

Q = (3,14)(0,0025 m2 ⁾ (2 m/s)

Q = 0,0157 m ³ / s

Mfano wa swali la 2:

Bomba la maji lenye kipenyo cha sentimita 20 limeunganishwa na bomba lingine lenye kipenyo cha sentimita 10. Ikiwa kiwango cha mtiririko wa maji katika bomba la kipenyo cha sentimita 20 = mita 4/s, kiwango cha mtiririko wa maji katika bomba la kipenyo cha sentimita 10 ni kipi?

Majadiliano

Inajulikana kwamba:

Kipenyo 1 = 20 cm (r ₁ = 10 cm = 0,1 m)

v ₁ = 4 m/s

Kipenyo 2 = 10 cm (r ₂ = 5 cm = 0,05 m)

Aliuliza: v ₁

Jibu:

Swali _{la 1} = Swali la ₂

A ₁ dhidi ya ₁ = A ₂ dhidi ya ₂

( π r ₁₂ ) (4 m/s) = (π r ₂₂ ) (mst ₂ )

(0,1 m) ² (4 m/s) = (0,05 m) ² (v ² )

(0,01 m ² )(4 m/s) = (0,0025 m ² )(v ² )

(0,04 m ³ /s) = (0,0025 m ² )(v ² )

v ² = 16 m/s