Kanuni na Mlinganyo wa Bernoulli

Nyenzo ya Kanuni na Mlinganyo ya Bernoulli

KTunapoendesha pikipiki haraka sana, nguo tunazovaa hujikunja nyuma. Ikiwa huwezi kuendesha pikipiki bado, zingatia wazazi wako au marafiki wanaoendesha pikipiki. Sehemu ya nyuma ya nguo zao kwa kawaida hujikunja nyuma wakati pikipiki inaenda kwa kasi. Wakati mwingine upepo unapovuma kwa nguvu, mlango wa nyumba unaweza kujifunga wenyewe. Ingawa upepo unavuma nje ya nyumba, huku mlango ukiwa ndani ya nyumba.

Hili linaweza kuelezewa kwa kutumia kanuni ya Bernoulli. Daniel Bernoulli (1700–1782) aligundua kanuni ambayo inaweza kutumika kuelezea baadhi ya yaliyo hapo juu.

Kanuni ya Bernoulli

Kanuni ya Bernoulli inasema kwamba pale ambapo kasi ya mtiririko wa maji ni kubwa, shinikizo la maji ni la chini. Kinyume chake, ikiwa kasi ya mtiririko wa maji ni ya chini, shinikizo huwa juu. Pikipiki inaposonga haraka, kasi ya hewa mbele na kando ya mwili wako ni ya juu. Hivyo, shinikizo la hewa huwa chini. Sehemu ya nyuma ya mwili wako imezuiwa na sehemu ya mbele ya mwili wako, kwa hivyo kasi ya hewa nyuma ya mwili wako haibadiliki kuwa ya juu (nyuma ya mwili wako). Matokeo yake, shinikizo la hewa nyuma ya mwili wako huwa kubwa zaidi. Kwa sababu kuna tofauti katika shinikizo la hewa, pale ambapo shinikizo la hewa nyuma ya mwili wako ni kubwa zaidi, hewa husukuma shati lako nyuma, na kuifanya ionekane kama imevimba nyuma.

Vipi kuhusu mlango unaojifunga wenyewe wakati upepo unavuma kwa nguvu nje? Hewa ya nje husogea kwa kasi zaidi kuliko hewa ya ndani. Kwa hivyo, shinikizo la hewa nje ni chini kuliko shinikizo la hewa ndani. Kwa sababu ya tofauti hii ya shinikizo, ambapo shinikizo la hewa ndani ni kubwa, mlango husukumwa nje. Kwa maneno mengine, mlango husogea kutoka mahali penye shinikizo la hewa kubwa hadi mahali penye shinikizo la hewa la chini.

Mlinganyo wa Bernoulli

Hapo awali, tulijifunza kuhusu kanuni ya Bernoulli. Bernoulli pia aliendeleza kanuni hii kwa kiasi. Ili kupata mlinganyo wa Bernoulli, tunadhania mtiririko thabiti wa umajimaji wa laminar, kutobana, na mnato mdogo, ambao unaweza kupuuzwa.

Katika majadiliano ya Mlinganyo wa Mwendelezo, tulijifunza kwamba kiwango cha mtiririko wa maji kinaweza pia kutofautiana kulingana na eneo la sehemu mtambuka ya bomba la mtiririko. Kulingana na kanuni ya Bernoulli iliyoelezwa hapo juu, shinikizo la maji linaweza pia kutofautiana kulingana na kiwango cha mtiririko wa maji. Shinikizo la maji linaweza pia kutofautiana kulingana na urefu wa maji. Uhusiano kati ya shinikizo, kiwango cha mtiririko, na urefu wa mtiririko unaweza kupatikana kutoka kwa mlinganyo wa Bernoulli.

Mlinganyo wa Bernoulli ni muhimu sana kwa sababu unaweza kutumika kuchambua safari za ndege, mitambo ya umeme wa maji, mifumo ya mabomba, n.k. Ili kufanya mlinganyo wa Bernoulli ambao tutaupata utumike kwa ujumla, tutachukulia mtiririko wa umajimaji kupitia bomba la mtiririko lenye maeneo yasiyolingana ya sehemu mtambuka na pia urefu tofauti (tazama mchoro ulio hapa chini). Ili kupata mlinganyo wa Bernoulli, tunatumia nadharia ya kazi na nishati kwenye umajimaji katika eneo la bomba la mtiririko. Kisha, tutahesabu kiasi cha umajimaji na kazi iliyofanywa ili kusogeza umajimaji.

Rangi isiyo na mwangaza kwenye bomba la mtiririko kwenye picha inaonyesha mtiririko wa umajimaji huku rangi nyeupe ikionyesha kutokuwepo kwa umajimaji.

Kioevu katika eneo la sehemu mtambuka 1 (upande wa kushoto) hutiririka umbali L₁ na kulazimisha umajimaji katika sehemu ya msalaba ya 2 (upande wa kulia) kusogeza umbali L₂Kwa sababu eneo la sehemu mtambuka 2 upande wa kulia ni dogo, kiwango cha mtiririko wa umajimaji upande wa kulia wa bomba la mtiririko ni kikubwa zaidi (Kumbuka mlinganyo wa mwendelezo). Hii husababisha tofauti ya shinikizo kati ya sehemu mtambuka 2 (upande wa kulia wa bomba la mtiririko) na sehemu mtambuka 1 (upande wa kushoto wa bomba la mtiririko) - Kumbuka kanuni ya Bernoulli. Umajimaji upande wa kushoto wa sehemu mtambuka 1 hutoa shinikizo P₁ kwenye umajimaji upande wa kulia na hufanya kazi ya:

Kisha mlinganyo W₁ inaweza kuandikwa kama:

W₁ = uk₁ A₁ L₁

Katika sehemu ya msalaba ya 2 (upande wa kulia wa bomba la mtiririko), kazi inayofanywa kwenye umajimaji ni:

W₂ = − p₂ A₂ L₂

Ishara hasi inaonyesha kwamba nguvu inayotumika iko kinyume na mwelekeo wa mwendo. Kwa hivyo, umajimaji hufanya kazi upande wa kulia wa sehemu ya 2. Zaidi ya hayo, nguvu ya uvutano pia hufanya kazi kwenye umajimaji. Katika hali iliyo hapo juu, umajimaji fulani huhamishwa kutoka sehemu ya 1 kwa umbali wa L.₁ kuvuka sehemu ya 2 hadi L₂, ambapo ujazo wa umajimaji katika sehemu ya msalaba 1 (A₁ L₁) = ujazo wa umajimaji katika sehemu ya msalaba ya 2 (A₂ L₂Kazi inayofanywa na mvuto ni:

W₃ = − mg (h₂ - h₁)

W₃ = − mgh₂ + mgh₁)

W₃ = mgh₁ - mgh₂

Ishara hasi inatokana na umajimaji unaotiririka juu, kinyume na mwelekeo wa uvutano. Kwa hivyo, kazi yote iliyofanywa kwenye umajimaji, kama inavyoonyeshwa kwenye mchoro hapo juu, ni:

W = W₁ +W₂ +W₃

W = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

Nadharia ya nishati ya kazi inasema kwamba jumla ya kazi inayofanywa kwenye mfumo ni sawa na mabadiliko katika nishati yake ya kinetiki. Hivyo, tunaweza kuchukua nafasi ya Kazi (W) na mabadiliko katika nishati ya kinetiki (EK).₂ ‐ EK₁).

Tunaweza kuandika upya mlinganyo hapo juu kama:

W = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

EK₂ ‐ EK₁ = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

1⁄2 mv₂² – 1⁄2 mv₁² = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

Uzito wa maji yanayotiririka umbali L₁ kwenye sehemu A₁ = wingi wa umajimaji unaotiririka umbali L₂ (sehemu mtambuka A₂). Uzito fulani wa umajimaji, tuseme m, una ujazo wa A.₁L₁ na A₂ L₂ ambapo A₁ L₁ =A₂ L₂ (L₂ ndefu kuliko L₁).

Sasa tunabadilisha, au tunabadilisha m katika mlinganyo hapo juu na m = ρ AL:

Huu ndio mlinganyo wa Bernoulli. Tulipata mlinganyo wa Bernoulli kulingana na kanuni ya kazi-nishati, kwa hivyo ni aina ya Sheria ya Uhifadhi wa Nishati.

Taarifa:

P = Shinikizo

ρ = Uzito wa maji

v = Kasi ya mtiririko wa maji

g = Kuongeza kasi kutokana na mvuto

h = Urefu wa bomba/mrija wa mtiririko kutoka kwenye uso wa ardhi

Pande za kushoto na kulia za mlinganyo wa Bernoulli hapo juu zinaweza kurejelea nukta mbili zozote kando ya bomba la mtiririko ili tuweze kuandika upya mlinganyo hapo juu kama:

Mlinganyo huu unasema kwamba jumla ya kiasi katika mlinganyo huo ina thamani sawa katika bomba lote la mtiririko.

Sasa hebu tupitie mlinganyo wa Bernoulli kwa baadhi ya visa.

Mlinganyo wa Bernoulli wa Majimaji ya Pumziko

Mfano maalum wa mlinganyo wa Bernoulli ni kwa vimiminika vilivyopumzika (vimiminika tuli). Kimiminika kinapokuwa kimepumzika, hakina kasi. Hivyo v₁ =v₂ = 0. Katika hali ya umajimaji usiotulia, tunaweza kuunda mlinganyo wa Bernouli kama:

Ikiwa h₂ - h₁ = h, basi mlinganyo huu unaweza kuandikwa kama:

p₁ - p₂ = ρ g (h₂ - h₁)

p₁ - p₂ = ρ gh

Mlinganyo wa Bernoulli kwa mirija ya mtiririko au mabomba yenye urefu sawa

Ikiwa urefu wa bomba la mtiririko au bomba ni sawa, basi mlinganyo wa Bernoulli hubadilishwa kuwa: