Den kallas Poiseuille-ekvationen eftersom den upptäcktes av den framlidne Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Som förklarats kan varje vätska betraktas som en ideal vätska. Ideala vätskor har inte viskositet. Om vi föreställer oss en ideal vätska som flödar i ett rör, rör sig varje del av vätskan med samma hastighet (v). Till skillnad från ideala vätskor har verkliga vätskor, eller de vätskor vi möter i vardagen, viskositet. Eftersom de har viskositet varierar hastigheten för varje del av vätskan när de flödar i ett rör, till exempel. Vätskeskiktet i mitten rör sig snabbare (v är stort), medan vätskeskiktet som är fäst vid röret inte rör sig, dvs. fortfarande (v = 0). Så, från mitten till kanten av röret rör sig varje del av vätskan med olika hastigheter. För att göra det lättare för dig att förstå, titta på bilden nedan…
Sammanfattning:
R = rörets radie
v 1 = vätskeflödeshastighet i rörets centrum/axel
v² = vätskeflödeshastighet på avståndet r² från rörets kant
v⁴ = vätskeflödeshastighet på avståndet r⁴ från rörets kant
v⁴ = vätskeflödeshastighet på avståndet r⁴ från rörets kant
r = avstånd
För att säkerställa att flödeshastigheten för varje vätska är densamma måste det finnas en tryckskillnad i båda ändar av alla rör eller slangar genom vilka vätskan flödar. Med vätska menar vi här riktiga vätskor, såsom vatten eller olja som flödar genom ett rör, blod som flödar genom blodkärl, etc. Förutom att hjälpa en riktig vätska att flöda smidigt kan tryckskillnader också tillåta vätskor att flöda i rör på olika höjder.
Jean Louis Marie Poiseuille, en före detta fransk forskare intresserad av de fysiska aspekterna av mänsklig blodcirkulation, utförde forskning för att undersöka hur faktorer som tryckskillnader, ett rörs tvärsnittsarea och rörets storlek påverkar hastigheten hos en verklig vätska. Resultaten som Jean Louis Marie Poiseuille erhöll är kända som Poiseuille-ekvationen.
Poiseuille-ekvationen kan härledas med hjälp av den tidigare härledda viskositetskoefficientekvationen. Vi använder viskositetsekvationen eftersom fallet är likartat, men inte identiskt. När vi härleder viskositetskoefficientekvationen betraktar vi flödet av ett verkligt vätskelager mellan två parallella plattor, och vätskan kan röra sig på grund av dragkraften (F). Skillnaden är att Poiseuille-ekvationen vi kommer att härleda faktiskt anger de faktorer som påverkar flödet av en verklig vätska i ett rör, och vätskan flödar på grund av tryckskillnader. Därför behöver viskositetskoefficientekvationen justeras igen.
Vätskor kan flöda på grund av tryckskillnader (vätskor flödar från platser med högt tryck till platser med lågt tryck), så vi ersätter F med p1 – p2 ( p1 > p2 ).
När vi härleder ekvationen för viskositetskoefficienten betraktar vi flödet av ett verkligt vätskelager mellan två parallella plattor. Varje del av vätskan upplever en regelbunden hastighetsförändring med ett avstånd l. I detta fall ändras vätskeflödeshastigheten regelbundet från rörets axel till rörets kant. Vätskan vid rörets axel strömmar med en högre hastighet (v). Ju längre mot kanten man kommer, desto minskar vätskehastigheten. Rörets radie = avståndet mellan rörets axel och rörets kant = R. Avståndet mellan varje del av vätskan och rörets kant = r. Eftersom antalet av varje del av vätskan är mycket stort och deras avstånd från rörets kant också varierar, skriver vi det helt enkelt så här:
v 1 = vätskans hastighet på avståndet r1 från rörets kant (r1 = R)
v2 = vätskans hastighet på avståndet r2 från rörets kant (r2 < r1)
v3 = vätskans hastighet på avståndet r3 från rörets kant (r3 < r2 < r1)
v 4 = vätskans hastighet på avståndet r4 från rörets kant (r4 < r3 < r2 < r1)
……………………………………… ..
vn = fluidhastighet på avståndet rn från rörets kant (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
Antalet av varje del av vätskan är mycket stort och vi vet inte heller exakt hur mycket det faktiskt är, så det räcker med att skriva det med symbolen n. Varje del av vätskan upplever en regelbunden förändring i hastighet (v), från rörets axel (r1 = R) till rörets kant (rn). Från rörets axel (r1 = R) till rörets kant (rn) blir hastigheten för varje del av vätskan mindre (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
Från förklaringen ovan kan vi få en uppfattning om att från R till rn minskar vätskehastigheten. Rörets längd = L. Den erhållna ekvationen är:
Eftersom det vi betraktar är vätskeflödets hastighet (v), blir ekvation 2:
Detta är ekvationen för vätskeflödeshastigheten på avståndet r från ett rör med radien R. Om du är förvirrad när du tittar på bilden ovan... Observera att vätskan flödar i ett rör, så vi behöver granska vätskans volymflödeshastighet.
Inuti röret finns en vätska. Till exempel delar vi upp vätskan i mycket små bitar, där varje bit har en ytenhet dA, är avståndstagande från rörets axel och har en flödeshastighet v. Matematiskt kan detta skrivas enligt följande:
dA1 = vätskesektion 1, vilket är ett avstånd på 1 från röraxeln
dA2 = vätskesektion 2, vilket är ett avstånd på 2 från röraxeln
dA3 = vätskesektion 3, vilket är ett avstånd på 3 från röraxeln
..................................
dA n = fluidsektion n, vilket är avståndet dA n från röraxeln
Det finns så många vätskedelar att det är bekvämt att helt enkelt skriva dem med symbolen n. Volymflödet för varje vätskedel kan skrivas matematiskt enligt följande:
Varje vätskebit har ett avstånd på r = 0 till r = R (R = rörets radie). Med andra ord varierar avståndet till varje vätskebit mätt från rörets axel. Om vi experimenterar med kalkyl (integration) får vi ekvationen för vätskans volymflöde i röret:
Sammanfattning:
Q = Debet
R = Rörets eller slangens inre radie
η = Viskositetskoefficient
P 1 – p 2 = Tryckskillnad mellan rörets två ändar
L = Rörets längd
p 1 -p 2 /L = Tryckgradient (vätskeflödet går alltid i riktning mot minskande tryck)
Baserat på Poiseuille-ekvationen ovan verkar det som att vätskans volymflöde, även kallat utloppet (Q), är proportionell mot rörradien (R4) i fjärde potens , tryckgradienten (p2 – p1 / L) och är omvänt proportionell mot viskositeten. Om rörradien ökas (viskositetskoefficienten och tryckgradienten förblir konstanta) ökar vätskans flödeshastighet med en faktor 16.
Grundprincipen för att designa rör, sprutor och andra saker använder denna ekvation. Vätskeflödet är proportionellt mot R⁴ ( R = rörets radie). Sprutans radie eller rörets radie måste beräknas noggrant. Om vi till exempel fördubblar nålens radie (r x 2), så ökar vätskeflödet som sprutar = tummens tryckkraft med 16 gånger.
Poiseuilles ekvation visar också att radiens fjärde potens (r4 ) är omvänt proportionell mot tryckskillnaden mellan rörets två ändar. Till exempel, initialt flyter blod i ett blodkärl med en inre radie på r. Om det sker en förträngning av blodkärlet (till exempel, r/2 = blodkärlets inre radie minskas med 2 gånger), behövs en tryckskillnad på 16 gånger för att få blodet att flöda som tidigare (så att utflödet eller blodvolymflödet förblir konstant).
