Lagen för bevarande av vinkelmoment

Lagen för bevarande av vinkelmoment uppgav att om resulterande kraftmoment i ett stelt objekt som roterar är värdet noll då vinkelmoment Ett stelt objekt i konstant rotationsrörelse. Formeln för lagen om rörelsemängdens bevarande kan härledas matematiskt genom att modifiera formeln för Newtons andra rörelselag för rörelsemängden.
Denna rörelsemängdsversion av Newtons andra lag är en rotationsanalogi av formeln Newtons andra lag momentumversion.
Om det resulterande kraftmomentet är noll, ändras formeln ovan till:
Sammanfattning:

Exempel på problem:
1. En partikel i rotationsrörelse har ett tröghetsmoment på 4 kg/m² och en vinkelhastighet på 2 rad/s. Om partikelns vinkelhastighet ändras till 4 rad/s ändras partikelns tröghetsmoment till…
Diskussion
Det är känt :
Ursprungligt tröghetsmoment = 4 kg/m²
Initial vinkelhastighet = 2 rad/s
Slutlig vinkelhastighet = 4 rad/s
Frågade : sista tröghetsmoment?
Jawab :
Lagen om bevarande av rörelsemängdsmomentet säger att:
Initialt rörelsemängdsmoment (L_o) = slutligt rörelsemängdsmoment (L_t)
(initialt tröghetsmoment)(initial vinkelhastighet) = (slutligt tröghetsmoment)(slutligt vinkelhastighet)
(4 kg/m²²)(2 rad/s) = (slutligt tröghetsmoment)(4 rad/s)
Slutligt tröghetsmoment = 2 kg/m²

2. En partikel med massan 2 kg roterar runt rotationsaxeln från ett avstånd av 2 meter med en vinkelhastighet på 2 rad/s. Om partikelns avstånd från rotationsaxeln ändras till 1 meter, bestäm partikelns vinkelhastighet!
Diskussion
Det är känt :
Partikelmassa = 2 kg
Partikelns avstånd från rotationsaxeln (1) = 2 meter
Initial vinkelhastighet = 2 rad/s
Partikelns avstånd från rotationsaxeln (2) = 1 meter
Frågade : slutlig vinkelhastighet ?
Jawab :
Beräkna partikelns tröghetsmoment (I)
Ursprungligt tröghetsmoment (I _tidigt) :
I _tidigt = Herr² = (2 kg)(2 m)² = (2 kg)(4 m²²) = 8 kg/m²²
Slutligt tröghetsmoment (I _akhir) :
I _akhir = Herr² = (2 kg)(1 m² = (2 kg)(1 m²²) = 2 kg/m²²
Beräkna den slutliga vinkelhastigheten
Lagen för bevarande av vinkelmoment :
Initialt vinkelmoment = slutligt vinkelmoment
(initialt tröghetsmoment)(initial vinkelhastighet) = (slutligt tröghetsmoment)(slutligt vinkelhastighet)
(8 kg/m²²)(2 rad/s) = (2 kg/m²)(slutlig vinkelhastighet)
Slutlig vinkelhastighet = 8 rad/s

3. En homogen, solid cylindrisk skiva roterar initialt kring sin axel med en vinkelhastighet på 4 rad/s. Skivans massa och radie är 1 kg och 0,5 meter. När skivan roterar placeras en ring med en massa och radie på 0,2 kg och 0,1 meter ovanpå skivan så att skivan och ringen roterar tillsammans. Ringens centrum är direkt ovanför skivans centrum. Bestäm skivans och ringens vinkelhastighet!
Diskussion
Det är känt :
Initial vinkelhastighet = vinkelhastighet för solid cylinder = 4 rad/s
Massa av solid cylinder = 1 kg
Radie av solid cylinder = 0,5 meter
Ringens massa = 0,2 kg
Ringens radie = 0,1 meter
Frågade : slutlig vinkelhastighet = ringens och den solida cylinderns vinkelhastighet?
Jawab :
Formeln för tröghetsmomentet för en homogen solid cylinder = I = ½ mr²
Formeln för tröghetsmomentet för en ring = I = mr²
Ursprungligt tröghetsmoment = tröghetsmomentet för en solid cylinder:
Jag = ½ mr² = ½ (1 kg) (0,5 m)² = (0,5 kg)(0,25 m²²) = 0,125 kg/m²²
Slutligt tröghetsmoment = tröghetsmoment för solid cylinder + tröghetsmoment för ringen:
Ringens tröghetsmoment = I = mr² = (0,2 kg)(0,1 m)² = (0,2 kg)(0,01 m²²) = 0,002 kg/m²²  
Slutligt tröghetsmoment = 0,125 kg/m² + 0,002 kg/m²² = 0,127 kg/m²²

Lagen för bevarande av vinkelmoment :
Initialt rörelsemängdsmoment (L_o) = slutligt rörelsemängdsmoment (L_t)
(initialt tröghetsmoment)(initial vinkelhastighet) = (slutligt tröghetsmoment)(slutligt vinkelhastighet)
(0,125 kg/m²²)(4 rad/s) = (0,127 kg/m²)(slutlig vinkelhastighet)
0,5 kg/m²²/s = (0,127 kg/m²)(slutlig vinkelhastighet)
Slutlig vinkelhastighet = 0,5 / 0,127
Slutlig vinkelhastighet = 4 rad/s

Referenser