Exempelfrågor och diskussion: Varians och standardavvikelse för enskilda data
Statistik är en gren av matematiken som sysslar med insamling, analys, tolkning, presentation och organisering av data. Två viktiga begrepp inom statistik är varians och standardavvikelse. Den här artikeln kommer att diskutera i detalj hur man beräknar variansen och standardavvikelsen för en enskild datamängd genom flera exempelproblem.
Förstå varians och standardavvikelse
Varians är ett mått som kvantifierar hur långt siffrorna i en datamängd avviker från medelvärdet eller genomsnittet. Varians uttrycks i kvadratenheter av originaldata, vilket ofta gör den svår att tolka.
Standardavvikelsen är kvadratroten ur variansen. Den ger ett mer intuitivt mått på hur mycket data generellt avviker från medelvärdet eftersom dess enheter är desamma som de ursprungliga enheterna för data.
Allmän formel
För enstaka data är formeln för populationens varians \( \sigma^2 \) och standardavvikelse \( \sigma \) följande:
1. Varians (σ²):
(\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Standardavvikelse (σ):
(\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Din mana:
– \(N \) är antalet data i populationen.
– \(x_i \) är det i:te datavärdet.
– \( \mu \) är medelvärdet eller genomsnittet av data.
Om vi beräknar variansen och standardavvikelsen för urvalet, modifieras ovanstående formel något:
1. Provvarians (s²):
(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Standardavvikelse för prov:
(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2})
Din mana:
– \(n \) är antalet data i urvalet.
– \( \bar{x} \) är medelvärdet eller genomsnittet av urvalet.
Exempel på Soal och Pembahasan
Exempelfråga 1:
Med följande data:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Beräkna variansen och standardavvikelsen för data!
Lösningssteg:
1. Beräkning av medelvärdet (Mean) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Beräkna skillnaden mellan data och medelvärdet, och kvadrera sedan:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Addera alla kvadratiska resultat:
\[
\summa (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Beräkning av varians (σ²) för populationsdata:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Obs: Eftersom dessa uppgifter anges som befolkningsdata dividerar vi med 6.
5. Beräkning av standardavvikelse (σ):
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \approx 1.886
\]
Så är variansen för data 3.559 och standardavvikelsen är 1.886.
Exempelfråga 2:
Med följande exempeldata:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Beräkna variansen och standardavvikelsen för urvalet!
Lösningssteg:
1. Beräkning av medelvärdet (Mean) \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Beräkna skillnaden mellan data och medelvärdet, och kvadrera sedan:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Addera alla kvadratiska resultat:
\[
\sum(x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Beräkning av stickprovsvariansen (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Obs: Eftersom detta är exempeldata dividerar vi med 5 (n-1).
5. Beräkning av standardavvikelse (s):
\[
s = ∫5.351 \approx 2.313
\]
Så är variansen för urvalsdata 5.351 och standardavvikelsen är 2.313.
slutsats
Att beräkna varians och standardavvikelse är avgörande för att förstå hur utspridd data är inom en given mängd. Medan varians ger ett teoretiskt mått på spridning i kvadrater av de ursprungliga enheterna, tolkar standardavvikelsen måttet på spridning i termer av dataens ursprungliga enheter, vilket gör det lättare att förstå. Vid dataanalys används dessa två mått ofta för att bedöma datavariabilitet och fatta statistiska beslut.
Genom att förstå de nödvändiga stegen och formlerna kan vi enkelt beräkna varians och standardavvikelse för olika situationer vi stöter på i vardaglig datainsamling och analys. Förhoppningsvis ger den här artikeln en djupare förståelse av begreppen varians och standardavvikelse i enskilda datamängder.
