Exempelfrågor som diskuterar varians och standardavvikelse för gruppdata
Pendahuluan
Inom statistik är varians och standardavvikelse två statistiska mått som är avgörande för att förstå spridningen, eller dispersionen, av data från medelvärdet. Varians mäter hur långt data är spridda från medelvärdet, medan standardavvikelsen är kvadratroten av variansen, vilket ger ett mått som är i samma enheter som originaldata.
Definition
– Varians (σ² eller S²): Är medelvärdet av kvadraterna av skillnaderna mellan varje datavärde och medelvärdet av data.
– Standardavvikelse (σ eller S): Är kvadratroten ur variansen.
Formel för varians och standardavvikelse för gruppdata
För gruppdata använder vi frekvensen av data i varje klass. Här är formeln:
Varian
[S^2 = \frac{ \summa f_i (x_i – \bar{x} \right)^2}{N-1} \]
Standardavvikelse
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Där:
– \( f_i \) = frekvensen för varje klass.
– \(x_i \) = mittpunkten för varje klass.
– \( \bar{x} \) = medelvärdet av gruppdata.
– \(N \) = totalt antal data.
Exempel på Soal och Pembahasan
Antag att vi har viktdata för en grupp människor grupperade i klasser.
| Viktintervall (kg) | Frekvens (f) |
|————————|————–|
| 50–54 | 2 |
| 55–59 | 5 |
| 60–64 | 8 |
| 65–69 | 7 |
| 70–74 | 3 |
Det första steget är att bestämma mittpunkten för varje klass (\(x_i \)) och sedan beräkna medelvärdet (\(\bar{x} \)).
1. Beräkning av mittpunkten (\(x_i\))
\[ \text{Mittpunkt} = \frac{\text{Nedre gräns} + \text{Övre gräns}}{2} \]
| Viktintervall (kg) | Frekvens (f) | Mittpunkt (\(x_i\)) |
|——————|————–|————————|
| 50–54 | 2 | 52 |
| 55–59 | 5 | 57 |
| 60–64 | 8 | 62 |
| 65–69 | 7 | 67 |
| 70–74 | 3 | 72 |
2. Beräkning av medelvärdet (\( \bar{x} \)\)
[\bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{N} \]
Totalt antal data \( N \):
\[N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
[\sum f_i x_i = (2 × 52) + (5 × 57) + (8 × 62) + (7 × 67) + (3 × 72)]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Så, medelvärdet (\( \bar{x} \)):
[\bar{x} = \frac{1570}{25} = 62.8 \]
3. Beräkning av varians (\(S^2\))
Vi behöver beräkna \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):
\[
\begin{justera}
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{justera}
\]
Multiplicera med frekvens:
\[
\begin{justera}
f_i(x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
& 5 gånger 33.64 = 168.2
& 8 × 0.64 = 5.12
& 7 gånger 17.64 = 123.48
& 3 \times 84.64 = 253.92
\end{justera}
\]
\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Nu kan vi beräkna variansen (\( S^2 \)):
[S^2 = \frac{788.4}{25 – 1} = \frac{788.4}{24} \approx 32.85 \]
4. Beräkning av standardavvikelse (\(S\))
Standardavvikelse (\(S\)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
[S = 32.85 = ungefär 5.73]
slutsats
Från exempeldatan ovan har vi:
– Beräkning av genomsnittlig kroppsvikt: 62.8 kg
– Beräkningsvarians: 32.85 kg²
– Beräkning av standardavvikelsen: 5.73 kg
Tolkningen av standardavvikelsen är att den genomsnittliga avvikelsen för viktdata från medelvärdet är ungefär 5.73 kg. Detta indikerar dataspridningen i förhållande till medelvärdet, vilket kan hjälpa till att dra slutsatser om hur varierande våra data är.
En grundlig förståelse för varians och standardavvikelse är avgörande, särskilt för de som arbetar med statistik, forskning och testning, eftersom de försöker förstå data i form av grupper eller fördelningar. Att veta hur man beräknar och tolkar dessa två mått kan bidra till bättre beslutsfattande baserat på tillgängliga data.
