Exempel på en diskussionsfråga om derivatan av en algebraisk funktion
Derivatan i kalkyl är ett grundläggande begrepp som används för att beskriva hur en funktion förändras, eller lutningen för en funktion i en punkt. Derivator är användbara inom olika områden som fysik, ekonomi och teknik eftersom de ger information om förändringstakten. I den här artikeln kommer vi att diskutera flera exempel på derivator av algebraiska funktioner och hur man löser dem.
Exempel 1: Derivata av polynomfunktion
Fråga: Givet funktionen \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \). Bestäm funktionens derivata!
Lösning:
Med hjälp av den grundläggande regeln för derivator för polynomfunktioner, nämligen \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), kommer vi att beräkna derivatan för varje term i funktionen en i taget.
\[
\begin{justera}
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) & = \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) & = 3 ⋅ 3x^{3-1} – 5 ⋅ 2x^{2-1} + 2 ⋅ 1x^{1-1} – 0
f'(x) & = 9x^2 – 10x + 2.
\end{justera}
\]
Så är derivatan av \(f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) \(f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \).
Exempel 2: Derivatan av en funktion med bråkexponenter
Fråga: Bestäm derivatan av funktionen \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
Lösning:
Med samma härledningsregel, det vill säga \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{justera}
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) & = \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) & = \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) & = ∫3/2x^{1/2} + ∫1/2}.
\end{justera}
\]
Så är derivatan av \(g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) \(g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
Exempel 3: Derivator av exponential- och trigonometriska funktioner
Fråga: Bestäm derivatan av funktionen \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \).
Lösning:
För att lösa denna derivata behöver vi produktregeln, som säger \((uv)' = u'v + uv'\). Antag \(u(x) = e^x \) och \(v(x) = \sin(x) \), då:
\[
\begin{justera}
u'(x) &= e^x, & \text{eftersom derivatan av } e^x \text{ är } e^x \\
v'(x) & = \cos(x), & eftersom derivatan av \sin(x) \text{ är } \cos(x).
\end{justera}
\]
Med hjälp av den härledda regeln för produkter:
\[
\begin{justera}
h'(x) & = (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x (sin(x))' + sin(x) (e^x)'
&= e^x ⋅cos(x) + sin(x) ⋅e^x
&= e^x(\cos(x) + \sin(x)).
\end{justera}
\]
Så är derivatan av (h(x) = e^x, sin(x)) (h'(x) = e^x (cos(x) + sin(x))).
Exempel 4: Derivatan av en funktion med hjälp av kedjeregeln
Fråga: Bestäm derivatan av funktionen \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
Lösning:
För att lösa denna derivata behöver vi kedjeregeln, nämligen \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Antag \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) och \( f(u) = u^5 \), då:
\[
\begin{justera}
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) & = 3x^2 – x + 4, & \text{so} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5
k'(x) & = 5u^4 ⋅ u'(x) \
u'(x) & = \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{justera}
\]
Använda kedjeregeln:
\[
\begin{justera}
k'(x) & = 5(3x^2 – x + 4)^4 ∫(6x – 1)
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{justera}
\]
Så är derivatan av \(k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) \(k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
Exempel 5: Derivatan av en funktion med trigonometriska identiteter
Fråga: Bestäm derivatan av funktionen \(m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Lösning:
Vi kommer att använda derivatregeln för produkter. Antag att u(x) = sin(x) och v(x) = cos(x)), då:
\[
\begin{justera}
u'(x) & = \cos(x), \
v'(x) & = -\sin(x).
\end{justera}
\]
Med hjälp av den härledda regeln för produkter:
\[
\begin{justera}
m'(x) & = (sin(x) \cdot \cos(x))'
&= (\sin(x))' ⋅cos(x) + \sin(x) ⋅(\cos(x))'
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \
&= ∫cos^2(x) – ∫sin^2(x).
\end{justera}
\]
Med hjälp av den trigonometriska identiteten \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = ∫cos(2x).
\]
Så är derivatan av (m(x) = sin(x)^(x)^(cdot^cos(x)) (m'(x) = ■cos(2x)^().
slutsats
Derivationen av en algebraisk funktion är ett grundläggande begrepp inom kalkyl som är mycket viktigt och användbart i olika tillämpningar. Olika härledningsregler, såsom den grundläggande derivatregeln, produktregeln, kedjeregeln och reglerna för trigonometriska derivator, hjälper alla till att beräkna derivator av mer komplexa funktioner. Genom att förstå exemplen ovan och öva på problem kan vi förbättra vår förståelse och färdigheter i att ta derivator av algebraiska funktioner.
