Exempel på matematiska översättningsfrågor och diskussioner
Translation är en geometrisk transformation som flyttar varje punkt på ett plan ett visst avstånd i en viss riktning. Inom matematik används translation ofta för att förskjuta ett objekt i en riktning utan att ändra dess form eller orientering. I den här artikeln kommer vi att diskutera flera exempelproblem och diskussioner relaterade till matematisk translation för att hjälpa läsarna att bättre förstå detta koncept.
Grundläggande begrepp inom översättning
Förflyttning i tvådimensionella koordinater kan uttryckas med vektornotation. Om punkten A(x, y) förflyttas av vektorn \((a, b)\), kan den resulterande punkten A' (\(x'\), \(y'\)) beräknas med formeln:
[x' = x + a]
\[y' = y + b \]
Dimana:
– \((x, y) \) är den initiala koordinaten,
– \( (a, b) \) är translationsvektorn,
– \( (x', y') \) är koordinaterna för translationsresultatet.
Exempel på Soal och Pembahasan
Här är några exempel på frågor gällande matematisk översättning och diskussioner om dessa:
Exempelfråga 1:
Fråga:
Punkt A är vid koordinaterna (3, 4). Förskjut punkt A med vektorn \((5, -2) \). Bestäm de nya koordinaterna för punkt A.
Diskussion:
Det är känt:
\[ \text{Ursprungliga koordinater för punkt A} = (3, 4) \]
\[ \text{Translationsvektor} = (5, -2) \]
Använd översättningsformeln:
[x' = x + a]
\[y' = y + b \]
Ersätt värdena:
\[x' = 3 + 5 = 8 \]
\[y' = 4 + (-2) = 2 \]
Så, de nya koordinaterna för punkt A efter förflyttning är \( (8, 2) \).
Exempelfråga 2:
Fråga:
En triangel har vertexkoordinaterna A(1, 2)), B(3, 5) och C(6, 1)). Förskjut triangeln med vektorn (-2, 4)). Bestäm triangelns vertexkoordinater efter förskjutningen.
Diskussion:
Koordinaterna för triangelns hörn och translationsvektorn är kända.
Koordinater för punkt A':
\[x' = 1 + (-2) = -1 \]
\[y' = 2 + 4 = 6 \]
Då är \(A' = (-1, 6) \).
Koordinater för punkt B':
[x' = 3 + (-2) = 1]
\[y' = 5 + 4 = 9 \]
Då är \(B' = (1, 9) \).
Koordinater för punkt C':
[x' = 6 + (-2) = 4]
\[y' = 1 + 4 = 5 \]
Då är \(C' = (4, 5) \).
Så, efter förflyttningen, är koordinaterna för noderna i den nya triangeln \(A'(-1, 6) \), \(B'(1, 9) \) och \(C'(4, 5) \).
Exempelfråga 3:
Fråga:
Givet punkt P vid koordinaterna \( (-3, 0) \). Bestäm resultatet av förflyttningen av punkt P med vektorn \( (7, -5) \).
Diskussion:
Givet koordinaterna för P och translationsvektorn.
Använd översättningsformeln:
[x' = x + a]
\[y' = y + b \]
Ersätt värdena:
\[x' = -3 + 7 = 4 \]
\[y' = 0 + (-5) = -5 \]
Så, koordinaterna för translationsresultatet av punkt P är \( (4, -5) \).
Exempelfråga 4:
Fråga:
Punkt Q är belägen vid koordinaterna \( (4, -3) \). Om punkt Q förskjuts så att de nya koordinaterna blir \( (9, 1) \), bestäm vilken förskjutningsvektor som används.
Diskussion:
Det är känt:
\[ \text{Initiala koordinater} = (4, -3) \]
\[ \text{Resultatkoordinater} = (9, 1) \]
Använd översättningsformeln för att hitta vektorn \( (a, b) \):
[x' = x + a]
\[y' = y + b \]
Översättningsresultaten är kända:
\[ 9 = 4 + a \]
\[ 1 = -3 + b \]
Således kan translationsvektorn beräknas enligt följande:
\[a = 9 – 4 = 5 \]
\[b = 1 + 3 = 4 \]
Så, den använda translationsvektorn är \( (5, 4) \).
Exempelfråga 5:
Fråga:
Fyrhörningen ABCD har hörnpunkterna A(1, 2)), B(1, 5)), C(4, 5) och D(4, 2). Förskjut fyrhörningen med vektorn (3, -1)). Bestäm de nya koordinaterna för fyrhörningen ABCD.
Diskussion:
Det är känt:
\[ \text{Translationsvektor} = (3, -1) \]
Koordinater för punkt A':
\[x' = 1 + 3 = 4 \]
\[y' = 2 + (-1) = 1 \]
Då är \(A' = (4, 1) \).
Koordinater för punkt B':
\[x' = 1 + 3 = 4 \]
\[y' = 5 + (-1) = 4 \]
Då är \(B' = (4, 4) \).
Koordinater för punkt C':
\[x' = 4 + 3 = 7 \]
\[y' = 5 + (-1) = 4 \]
Då är \(C' = (7, 4) \).
Koordinater för punkt D':
\[x' = 4 + 3 = 7 \]
\[y' = 2 + (-1) = 1 \]
Då är \(D' = (7, 1) \).
Så, de nya koordinaterna för fyrhörningen ABCD efter förflyttning är \(A'(4, 1) \), \(B'(4, 4) \), \(C'(7, 4) \) och \(D'(7, 1) \).
slutsats
Förflyttning är en mycket grundläggande men viktig transformation inom geometrin. Att behärska denna teknik gör att vi kan utföra olika geometriska operationer, som att förskjuta objekt utan att ändra deras form eller storlek.
Genom att förstå konceptet översättning genom de olika exempelproblem som diskuterats ovan, hoppas man att läsarna bättre ska kunna förstå och tillämpa detta koncept i olika problem och i verkliga livet. Översättning är användbart inte bara inom matematik utan även inom en mängd andra områden, inklusive fysik, datorgrafik och design.
