Exempelfrågor och diskussion om tillämpningen av integraler vid beräkning av arean av ett platt plan
I matematikundervisningen förekommer ofta integraler i kalkyl. En av de mest kända tillämpningarna av integraler är att beräkna arean under en kurva eller ett plan. Den här artikeln kommer att diskutera flera exempelproblem och diskutera tillämpningen av integraler för att beräkna arean av ett plan.
Introduktion till teori
Innan vi går vidare till exempelproblemet, låt oss gå igenom det grundläggande konceptet för att beräkna arean under en kurva med hjälp av integraler. Om vi har en funktion f(x) som är kontinuerlig på intervallet [a, b], så är arean under kurvan y = f(x) från x = a till x = b:
[L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Geometriskt betyder detta att vi summerar arean av en mycket tunn rektangel från x = a till x = b.
Exempelfråga 1
Soal
Beräkna arean under kurvan y = x² i intervallet [1, 3].
Diskussion
För att beräkna arean använder vi integralen:
[L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Vi börjar med att hitta antiderivatan av \(x^2 \). Antiderivatan av \(x^2 \) är \( \frac{x^3}{3} \). Då blir integralen:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Kom ihåg att vi måste utvärdera antiderivatan på integralens gränsvärden:
[L = (3^3}{3) – (1^3}{3)]
[L = (27/3) – (1/3)]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
[L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Så, arean under kurvan y = x² från x = 1 till x = 3 är:
\[ \frac{26}{3} \, \text{areaenhet} \]
Exempelfråga 2
Soal
Bestäm arean av det område som begränsas av kurvan y = x³ och linjerna x = 1 och x = 2.
Diskussion
För att beräkna arean använder vi integralen:
[L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Som vanligt börjar vi med att hitta antiderivatan av \(x^3 \). Antiderivatan av \(x^3 \) är \( \frac{x^4}{4} \). Integralen blir:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Utvärdera integralens gränser:
[L = (2^4}{4) – (1^4}{4)]
[L = (16/4) – (1/4)]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
[L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Så, arean under kurvan y = x³ från x = 1 till x = 2 är:
\[ \frac{15}{4} \, \text{areaenhet} \]
Exempelfråga 3
Soal
Bestäm arean av det område som begränsas av kurvorna y = x² + 1 och y = 2x + 2 i intervallet x = 0 till x = 1.
Diskussion
Först behöver vi hitta skärningspunkterna för att bestämma integrationens gränser. Lösningen till \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Med hjälp av den kvadratiska formeln:
[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
[x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
[x = \frac{2 \pm²\sqrt{2}}{2} \]
[x = 1 pm ²]
För de övre och nedre gränserna mellan 0 och 1 behöver vi dock inte använda den kvadratiska lösningen, utan bara den vanliga integralgränsen från 0 till 1. Beräkna sedan arean av den övre y-kurvan minus den nedre y-kurvan enligt dessa gränser:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Funktionsförenkling:
[L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
[L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Sedan hittar vi antiderivaten:
Antiderivatan av (-x²) är -x³/³),
Antiderivatan av \( (2x) \) är \( x^2 \),
Antiderivaten till \((1) \) är \(x \).
Så att,
[L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Nästa utvärdering:
[L = [-\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1] – [-\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0]]
[L = [-\frac{1}{3} + 1 + 1] – [0]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
[L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Så, arean av området begränsat av kurvorna y = x² + 1 och y = 2x + 2 på intervallet [0, 1] är:
\[ \frac{5}{3} \, \text{areaenhet} \]
-
Utifrån exemplen ovan kan vi se hur integraler kan användas för att beräkna arean under en kurva eller mellan två kurvor. Med en korrekt förståelse av de grundläggande begreppen integraler och antiderivativa tekniker blir beräkningen av dessa areor mycket systematisk och effektiv. Förhoppningsvis har den här artikeln ökat vår förståelse för tillämpningen av integraler i den verkliga världen, särskilt inom området mätning av arean av plana ytor.
