Exempelfrågor som diskuterar sannolikheten för sammansatta händelser
Introduktion till sannolikheten för sammansatta händelser
Sannolikhet är en gren av matematiken som studerar sannolikheten för att en händelse inträffar. Sannolikheten för en sammansatt händelse är sannolikheten för en händelse som involverar mer än en händelse. Till exempel är sannolikheten att slå ett jämnt tal på en tärning och ett ess från en kortlek exempel på sammansatta händelser. Den här artikeln kommer att diskutera flera exempelproblem och diskutera sannolikheten för sammansatta händelser.
Grundläggande koncept för sannolikhet för sammansatta händelser
Det finns två typer av sammansatta händelser:
1. Ömsesidigt uteslutande händelser: Två händelser som inte kan inträffa samtidigt. Till exempel, när man slår en tärning, är händelserna att slå en 2:a och en 5:a ömsesidigt uteslutande händelser eftersom det är omöjligt att slå båda talen samtidigt.
2. Icke-ömsesidigt uteslutande händelser: Två händelser som kan inträffa samtidigt. Till exempel, i en dragning av spelkort är händelserna att få ett hjärtkort (♥) och ett kort med siffran 10 icke-ömsesidigt uteslutande händelser eftersom det finns ett hjärtkort med siffran 10.
Här är några grundläggande formler som används för att beräkna sannolikheten för sammansatta händelser:
– P(A eller B) (för händelser som inte utesluter varandra): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B)\)
– P(A eller B) (för ömsesidigt uteslutande händelser): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
– P(A och B) (för oberoende händelser): \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
Exempel på Soal och Pembahasan
Exempelfråga 1: Tärningar
Fråga:
Vad är sannolikheten att få ett jämnt tal eller ett tal större än 4 på en tärning?
Diskussion:
Låt oss först definiera händelserna:
– Händelse A: Att få ett jämnt tal (2, 4, 6)
– Händelse B: Att få ett tal större än 4 (5, 6)
Därefter bestämmer vi sannolikheten för varje händelse:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Eftersom det finns ett tal 6 som ingår i både händelserna A och B, behöver vi beräkna \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \capB) = \frac{1}{6}\) (eftersom endast ett tal, nämligen 6, ingår i både A och B)
Genom att använda formeln för händelser som inte utesluter varandra:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]
Låt oss göra nämnarna för dessa bråk likadana:
\[P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
Så sannolikheten att få ett jämnt tal eller ett tal större än 4 är \(\frac{2}{3}\).
Exempelfråga 2: Spelkort
Fråga:
Vad är sannolikheten att få ett ess eller en spader från en kortlek?
Diskussion:
Låt oss först definiera händelserna:
– Händelse A: Att få ett ess (totalt 4, ett för varje färg)
– Händelse B: Att få ett spaderkort (totalt 13)
Därefter bestämmer vi sannolikheten för varje händelse:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
Eftersom spader ess ingår i både händelserna A och B, behöver vi beräkna \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)
Genom att använda formeln för händelser som inte utesluter varandra:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]
Låt oss göra nämnarna för dessa bråk likadana:
\[
P(A ≈ B) = ∫4/52 + ∫13/52 – ∫1/52 = ∫16/52 = ∫4/13
\]
Så sannolikheten att få ett ess eller en spader är \(\frac{4}{13}\).
Exempelproblem 3: Boll i en låda
Fråga:
I en låda finns det 3 röda bollar, 4 blå bollar och 5 gröna bollar. Om en boll dras slumpmässigt, vad är sannolikheten att få en röd boll eller en grön boll?
Diskussion:
Låt oss först definiera händelserna:
– Händelse A: Att få en röd boll (nummer 3)
– Händelse B: Att få en grön boll (nummer 5)
Därefter bestämmer vi sannolikheten för varje händelse:
– Totalt antal bollar = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)
Eftersom ingen boll kan vara både röd och grön samtidigt, utesluter dessa händelser varandra:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]
Låt oss göra nämnarna för dessa bråk likadana:
\[
P(A ⋅B) = ∫3/12 + ∫5/12 = ∫8/12 = ∫2/3
\]
Så sannolikheten att få en röd boll eller en grön boll är \(\frac{2}{3}\).
Exempelfråga 4: Två mynt
Fråga:
Om två mynt kastas samtidigt, vad är sannolikheten att minst ett krona dyker upp?
Diskussion:
Vi definierar Händelse A: att uppleva minst en bild.
Det finns fyra möjliga utfall av att kasta två mynt:
1. HH
2. HT
3. TH
4. TT
Händelser som innehåller minst en bild är:
– HT
– TH
– TT
Låt oss beräkna sannolikheten för varje:
– Antal möjliga händelser (totalt): 4
– Antal händelser som innehåller minst en bild: 3
\[
P(A) = \frac{Antal händelser med minst ett huvud}{Totalt antal händelser} = \frac{3}{4}
\]
Så sannolikheten att minst en bild visas är \(\frac{3}{4}\).
slutsats
Diskussionen av problemen ovan visar hur vi kan beräkna sannolikheten för en sammansatt händelse, oavsett om den är ömsesidigt uteslutande eller inte. Genom att förstå de grundläggande begreppen och använda korrekta formler kan vi bestämma sannolikheten för att vissa kombinationer av händelser inträffar i olika vardagliga situationer. Fortsätt att öva dina färdigheter med olika problem för att bli mer skicklig på att bestämma sannolikheten för sammansatta händelser.
