Exempelfrågor som diskuterar reglerna för att fylla i mellanslag
Platsfyllningsregeln, eller placeringsregeln, är ett grundläggande begrepp inom matematik och sannolikhet som är mycket användbart i många situationer. Denna regel används vanligtvis i samband med att arrangera objekt i en specifik ordning eller i olika arrangemang. I den här artikeln kommer vi att diskutera flera exempelproblem som involverar platsfyllningsregeln och ge detaljerade lösningar för vart och ett.
Pendahuluan
Rumsfyllning är en vanlig teknik som används inom kombinatorik, ett matematikområde som studerar arrangemang, kombination och val av objekt. En av de grundläggande principerna inom kombinatorik är multiplikationsregeln, som säger att om det finns flera steg i en process och varje steg har ett visst antal valmöjligheter, kan det totala antalet möjliga arrangemang hittas genom att multiplicera antalet valmöjligheter i varje steg.
Om vi till exempel har två steg där det första steget har \(m\) val och det andra steget har \(n\) val, då är det totala antalet möjliga arrangemang \(m \times n\).
Låt oss tillämpa detta koncept för att lösa några exempelproblem.
Exempel 1: Arrangera böcker på en hylla
Fråga:
Det finns 5 olika böcker och en bokhylla med 5 platser att fylla. På hur många sätt kan de fem böckerna arrangeras på hyllan?
Diskussion:
I det här fallet behöver vi ordna de fem böckerna på fem olika platser. Detta är ett permutationsproblem eftersom ordning är avgörande. Vi kan använda utfyllnadsregeln eller multiplikationsregeln för att lösa detta problem.
1. För det första rummet har vi 5 bokval.
2. Efter att en bok har placerats i det första rummet har vi fyra bokval kvar till det andra rummet.
3. För det tredje rummet har vi 3 bokval kvar, och så vidare.
Ekvationen för det totala antalet inställningar är:
\[ 5 \× 4 \× 3 \× 2 \× 1 = 5! = 120 \]
Så det finns 120 sätt att arrangera de fem böckerna.
Exempel 2: Att bilda ord från olika bokstäver
Fråga:
Hur många olika ord kan bildas med alla bokstäver i ordet "MATEMATIK" utan att upprepa dem?
Diskussion:
Vi behöver först se hur många bokstäver ordet "MATEMATIK" innehåller. Det finns 11 bokstäver, av vilka några upprepas. De upprepade bokstäverna är:
– M så många som 2
– Så många som 3
– Så många som 2
– De andra bokstäverna (E, I, K) förekommer en gång var.
Vi använder permutationsformeln för upprepade element, nämligen:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
där \(n \) är det totala antalet element (bokstäver) och \(n_1, n_2, \ldots, n_k \) är antalet repetitioner av varje distinkt element.
Med ordet ”MATEMATIK”:
[n = 11, n1 = 2 (M), n2 = 3 (A), n3 = 2 (T), n4 = 1 (E), n5 = 1 (I), n6 = 1 (K)]
Så antalet ord som kan bildas är:
\[ \frac{11!}{2! \× 3! \× 2! \× 1! \× 1! \× 1!} = \frac{39916800}{2 \× 6 \× 2 \× 1 \× 1 \× 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
Det finns 1 663 200 olika ord som kan bildas.
Exempel 3: Bestämma antalet kombinationer i Martabak
Fråga:
En martabaksförsäljare erbjuder fem fyllningar (ost, choklad, jordnötter, banan och russin). Om en kund vill välja tre av de fem fyllningarna till sin martabak, hur många olika kombinationer kan de välja?
Diskussion:
Detta är ett kombinationsproblem, inte en permutation, eftersom ordningen är oviktig. Vi använder kombinationsformeln:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
där \(n \) är det totala antalet val och \(k \) är antalet gjorda val.
För detta fall är \(n = 5 \) och \(k = 3 \), så:
[C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \× 2!} = \frac{120}{6 \× 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
Det finns 10 olika kombinationer att välja mellan, 3 innehållsförteckningar från 5 alternativ.
Exempel 4: Deltagararrangemang i en match
Fråga:
Det är 8 deltagare i ett löparlopp. På hur många sätt kan de 3 bästa placeras?
Diskussion:
Detta är ett permutationsproblem utan repetition eftersom position innebär att ordning är viktig. Vi använder permutationsformeln:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]
För detta fall, \(n = 8 \) och \(k = 3 \), då:
[P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]
Så det finns 336 sätt att placera de tre översta positionerna av 8 deltagare.
I den här artikeln har vi diskuterat flera exempelproblem och deras lösningar med hjälp av utfyllnadsregler i en mängd olika situationer: från att arrangera böcker på en hylla till att avgöra vinnaren av en tävling. Att förstå dessa grunder ger dig mer självförtroende när du löser de olika kombinatoriska och sannolikhetsproblem du kan stöta på.
