Matlotlo a Li-Integrals tse sa Feleng
Karolo e sa lekanyetsoang, e tsejoang hape e le ntho e sa fetoheng, ke mohopolo oa motheo ho calculus. Karolo e sa fetoheng ea mosebetsi ke mosebetsi o mong oo motsoako oa oona mabapi le khang ea oona e leng mosebetsi oa pele. Likarolo tse sa feleng li fana ka sesebelisoa sa bohlokoa tlhahlobong ea lipalo, fisiks, boenjiniere le masimo a mang a mangata. Sengoloa sena se tla hlalosa litšobotsi tsa likarolo tse sa lekanyetsoang le ho fana ka mehlala e sebetsang ho hlakisa kutloisiso.
1. Tlhaloso ea Integral e sa Feleng
Ka molao, karolo e sa lekanyetsoang ea mosebetsi \( f(x) \) ke mosebetsi \( F(x) \) o nang le litšobotsi tse latelang:
\[ \frac{d}{dx}F(x) = f(x) \]
Karolo e sa lekanyetsoang ea \( f(x) \) e hlalosoa e le:
\[ F(x) = \int f(x) \, dx \]
Thibelo ea \( f(x) \) ha e ikhetha, hangata ho na le \( C \) e sa fetoheng e ekelitsoeng, kahoo sebopeho se akaretsang sa lithibelo ke:
\[ F(x) = \int f(x) \, dx = F(x) + C \]
Se sa fetoheng \(C \) se tsejoa e le sa kamehla sa kopanyo.
2. Matlotlo a Motheo a Li-Integrals tse sa Feleng
a. Karolo e Kopanetsoeng ea Kamehla
Haeba \( a \) e le ntho e sa fetoheng, joale:
\[ \int a \, dx = ax + C \]
b. Karolo e Kopanetsoeng ea Mosebetsi oa Boitsebiso
Karolo ea motheo ea mosebetsi oa boitsebiso (mohlala, \(\int x \, dx\)) ke:
\[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \]
c. Ho lekana ho Kopanetsoeng
Li-integral li na le thepa e otlolohileng, e leng:
\[ \int (af(x) + bg(x)) \, dx = a\int f(x) \, dx + b\int g(x) \, dx \]
moo \( a \) le \( b \) e leng di-constant.
d. Bohlokwa ba Exponential
Mosebetsi oa exponential \( e^x \) o na le antiderivative e tšoanang:
\[ \int e^x \, dx = e^x + C \]
Ka kakaretso bakeng sa mesebetsi ea exponential le metheo e meng, re na le:
\[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \]
e. Metsoako ea Mesebetsi ea Trigonometric
Metswako ya mesebetsi e mmalwa ya trigonometric e sebediswang kgafetsa ke:
\[ \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \]
\[ \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \]
\[ \int \sec^2(x) \, dx = \tan(x) + C \]
\[ \int \csc^2(x) \, dx = -\cot(x) + C \]
\[ \int \sec(x)\tan(x) \, dx = \sec(x) + C \]
\[ \int \csc(x)\cot(x) \, dx = -\csc(x) + C \]
3. Mokhoa oa ho Kopanya
a. Phetolo
Mokhoa oa ho nkela sebaka o sebelisoa ha integrand e ka nolofatsoa ka ho kenya li-variable sebakeng sa tsona. Mohlala:
\[ \int (2x+1)e^{x^2+x} \, dx \]
Ha o nkela sebaka sa \( u = x^2 + x \), ebe \( du = (2x + 1)dx \) o etsa karolo ya bohlokwa:
\[ \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2 + x} + C \]
b. Karolo e sa fellang
Mokhoa oa ho kopanya karolo o sebelisoa ho latela melao:
\[ \int u \, dv = uv – \int v \, du \]
Contoh:
\[ \int xe^x \, dx = xe^x – \int e^x \, dx = xe^x – e^x + C = e^x(x – 1) + C \]
c. Ho Aroha ha Karoloana
Mokhoa ona o sebediswa ha integrand e le karolelano ya di-polynomial. Mohlala:
\[ \int \frac{1}{x^2 – 1} \, dx \]
Likaroloana tse sa fellang tsa:
\[ \frac{1}{x^2 – 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} \]
Ka ho rarolla A le B, re fumana:
\[ \int \left( \frac{1}{2(x-1)} – \frac{1}{2(x+1)} \right) \, dx = \frac{1}{2} \ln|x-1| – \frac{1}{2} \ln|x+1| +C\]
4. Litšebeliso tsa Li-Integrals tse sa Feleng
Li-integral tse sa feleng li na le mefuta e mengata ea lits'ebetso saenseng le boenjiniere:
a. Fisiks
Fisiks, motsoako o sa lekanyetsoang o sebediswa ho fumana boemo ho tloha lebelong kapa lebelo ho tloha lebelong. Mohlala, haeba ho tsebahala hore lebelo \( a(t) \) le a potlakiswa:
\[ v(t) = \int a(t) \, dt + C \]
\[ x(t) = \int v(t) \, dt + C \]
b. Moruo
Moruong, motsoako o sa lekanyetsoang o sebediswa ho fumana mesebetsi ya ditjeo kapa lekeno ho tswa mesebetsing ya yona ya marginal. Mohlala, haeba ditjeo tsa marginal \( C'(q) \) di tsejwa:
\[ C(q) = \int C'(q) \, dq + C \]
c. Thuto ea Baeloji
Thutong ea baeloji, mehlala ea kholo ea baahi e atisa ho hlalosoa ka ho sebelisa likarolo tse sa lekanyetsoang ho fumana sekhahla sa kholo ea baahi.
Qetello
Li-integral tse sa feleng ke karolo ea bohlokoa ea calculus, li sebetsa e le li-antiderivatives 'me li na le lits'ebetso tse ngata tsa lefats'e la nnete. Li tšehetsa lipalo mafapheng a fapaneng a saense le boenjiniere, li lumella tlhahlobo le ho bolela esale pele boitšoaro ba litsamaiso tse matla le tharollo ea mathata a mangata a sebetsang. Kutloisiso e felletseng ea thepa ea tsona, joalo ka ho otloloha, mokhoa oa ho nkela sebaka, likaroloana le ho arohana ha likaroloana tse sa fellang, li tla ntlafatsa haholo tsebo ea motho ea tlhahlobo ea lipalo.
