Ts'ebetso ho Linomoro tse Rarahaneng
Linomoro tse rarahaneng ke mohopolo oa lipalo o kopanyang linomoro tsa 'nete le tse inahaneloang. Ke tsa bohlokoa makaleng a mangata a saense, ho kenyeletsoa fisiks, boenjiniere le lipalo ka botsona. Sehloohong sena, re tla hlahloba mesebetsi e fapaneng e ka etsoang lipalo tse rarahaneng, ho kenyeletsoa ho eketsa, ho ntša, ho atisa, ho arola, le tse ling.
Ho Utloisisa Linomoro tse Rarahaneng
Nomoro e 'ngoe le e 'ngoe e rarahaneng e ka ngoloa ka mokhoa oa \(a+bi\), moo \(a\) le \(b\) e leng linomoro tsa 'nete 'me \(i\) ke yuniti e inahaneloang e khotsofatsang \(i^2 = -1\). Lentsoe \(a\) le bitsoa karolo ea 'nete, ha \(b\) e le karolo e inahaneloang ea nomoro e rarahaneng. Mohlala, \(3 + 4i\) ke nomoro e rarahaneng e nang le karolo ea 'nete ea 3 le karolo ea 4 e inahaneloang.
E le equation ea motheo, re na le:
\[ i^2 = -1 \]
Ho bolelang hore \(i\) ke motso o sekoere wa -1.
Ho eketsa le ho tlosa
Ho eketsa le ho tlosa dinomoro tse rarahaneng ho etswa ka ho eketsa le ho tlosa dikarolo tsa nnete le tse inahanelwang ka ho latellana. A re re re na le dinomoro tse pedi tse rarahaneng \( z_1 = a + bi \) le \( z_2 = c + di \), ebe:
\[ z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]
\[ z_1 – z_2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i \]
Contoh:
E re \( z_1 = 3 + 4i \) le \( z_2 = 1 + 2i \), ebe:
\[ z_1 + z_2 = (3+1) + (4+2)i = 4 + 6i \]
\[ z_1 – z_2 = (3-1) + (4-2)i = 2 + 2i \]
Ho atisa
Ho atisa dinomoro tse rarahaneng ho sebedisa di-distributive jwalo ka algebra empa ho elwa hloko \( i^2 = -1 \). A re re \( z_1 = a + bi \) le \( z_2 = c + di \), ebe:
\[ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 \]
\[ = ac + adi + bci + bd(-1) \]
\[ = ac + adi + bci – bd \]
\[ = (ac – bd) + (papatso + bc)i \]
Contoh:
E re \( z_1 = 3 + 4i \) le \( z_2 = 1 + 2i \), ebe:
\[ z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i)(1 + 2i) \]
\[ = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2i + 4i \cdot 1 + 4i \cdot 2i \]
\[ = 3 + 6i + 4i + 8i^2 \]
\[ = 3 + 10i + 8(-1) \]
\[ = 3 + 10i – 8 \]
\[ = -5 + 10i \]
Kabo
Karohano ea linomoro tse rarahaneng e etsoa ka ho atisa nomoro le denominator ka conjugate ea denominator. Conjugate ea nomoro e rarahaneng \( z = a + bi \) ke \( \overline{z} = a – bi \).
A re re \( z_1 = a + bi \) le \( z_2 = c + di \), ebe:
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} \]
E atisoa ke conjugate ea denominator:
\[ = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)} \]
\[ = \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2} \]
Contoh:
E re \( z_1 = 3 + 4i \) le \( z_2 = 1 + 2i \), ebe:
Kopanya \( z_2 = 1 – 2i \).
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 – 2i}{1 – 2i} \]
\[ = \frac{(3 + 4i)(1 – 2i)}{(1 + 2i)(1 – 2i)} \]
\[ = \frac{3 – 6i + 4i – 8i^2}{1 – 4i^2} \]
Hoa tsebahala hore \( i^2 = -1 \):
\[ = \frac{3 – 6i + 4i + 8}{1 + 4} \]
\[ = \frac{11 – 2i}{5} \]
\[ = \frac{11}{5} – \frac{2i}{5} \]
\[ = 2.2 – 0.4i \]
Modulus le Liqeto
Modulus ea nomoro e rarahaneng ke sebaka se tlohang tšimolohong e rarahaneng ho ea ntlheng e emeloang ke nomoro e rarahaneng. Modulus ea nomoro e rarahaneng \( z = a + bi \) e hlahisoa e le \( |z| \) 'me e baloa ka:
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Contoh:
Haeba \( z = 3 + 4i \), joale:
\[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Khang ea nomoro e rarahaneng ke sekhutlo seo nomoro e rarahaneng e se bopang ka mothapo oa 'nete sebakeng se rarahaneng' me hangata se hlahisoa ka li-radian kapa li-degree.
Sebopeho sa Polar
Linomoro tse rarahaneng le tsona li ka hlalosoa ka sebopeho sa polar. Sebopeho sena hangata se nolofatsa lipalo tse kenyeletsang matla le metso ea linomoro tse rarahaneng. Nomoro e rarahaneng e ka hlalosoa ka tsela ena:
\[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \]
moo \( r \) e leng modulus le \( \theta \) e leng ngangisano ya nomoro e rarahaneng.
Basebetsi ba Bang ba Rarahaneng: Exponential le Logarithmic
Ho fetolela linomoro tse rarahaneng ho ea ho sebopeho sa exponential ho ka etsoa ho sebelisoa foromo ea Euler:
\[ z = re^{i\theta} \]
moo \( e \) e leng motheo oa logarithm ea tlhaho, 'me \( \theta \) ke ngangisano ea \( z \).
Tlhaloso ea linomoro tse rarahaneng e thusa haholo mesebetsing e mengata, haholo-holo tlhahlobong ea Fourier le liphetohong tsa Laplace.
Qetello
Linomoro tse rarahaneng ke sesebelisoa sa motheo se thusang haholo ho rarolla mathata a fapaneng a lipalo le saense. Ho tseba mesebetsi ea motheo joalo ka ho eketsa, ho ntša, ho atisa le ho arola ke mohato oa pele oa bohlokoa. Ho feta moo, ho utloisisa likhopolo tsa modulus, ngangisano le phetoho ho ea mefuteng ea polar le exponential ho ntlafatsa bokhoni ba rona ba ho hlahloba ts'ebeliso ea linomoro tse rarahaneng masimong a fapaneng.
Ka ho utloisisa le ho sebelisa linomoro tse rarahaneng, re ka rarolla mathata ao ho ka bang thata kapa a sa khoneheng ho a rarolla re sebelisa linomoro tsa 'nete feela. Joaloka sesebelisoa se matla sa tlhahlobo, linomoro tse rarahaneng li ntse li le karolo ea bohlokoa ea lipalo le lits'ebetso tsa mahlale ho fihlela kajeno.
