Kopanya, Modulus, le Khang ea Linomoro tse Rarahaneng le Matlotlo a Tsona
Pendahuluan
Linomoro tse rarahaneng ke mohopolo oa lipalo o hlahisitsoeng ho atolosa kutloisiso ea linomoro. Lefatšeng la 'nete, ho na le li-equation tse ngata, tse kang \(x^2 + 1 = 0\), tse se nang tharollo. Leha ho le joalo, ka linomoro tse rarahaneng, re ka fumana litharollo tsa li-equation tse joalo. Linomoro tse rarahaneng li na le thuso mafapheng a fapaneng a saense, ho kenyeletsoa boenjiniere ba motlakase, fisiks ea quantum, le khopolo-taba ea taolo.
Nomoro e rarahaneng e na le likarolo tse peli: karolo ea 'nete le karolo e inahaneloang. Sebopeho se akaretsang sa nomoro e rarahaneng ke \(a + bi\), moo \(a\) le \(b\) e leng linomoro tsa 'nete, 'me \(i\) ke yuniti e inahaneloang e nang le thepa \(i^2 = -1\). Sehloohong sena, re tla tšohla motsoako oa linomoro tse rarahaneng, modulus, khang, le tse ling tsa litšobotsi tsa tsona tsa bohlokoa.
Kopanya Dinomoro tse Rarahaneng
Sehokelo sa nomoro e rarahaneng \(z = a + bi\) se hlalosoa e le nomoro e rarahaneng e nang le karolo ea 'nete e tšoanang le \(z\) empa e le karolo e inahaneloang ea letšoao le fapaneng. Sehokelo sa \(z\) hangata se hlalosoa e le \(\overline{z}\). Kahoo, haeba \(z = a + bi\), joale sehokelo sa \(z\) ke \(\overline{z} = a – bi\).
Matlotlo a Kopantsoeng
1. Ho kopanya ha ho amehe: Ho nka motsoako oa motsoako ho tla hlahisa nomoro e rarahaneng ka boeona.
\[
\hodimo{\hodimo{z}} = z
\]
2. Ho eketsa le ho tlosa: Ho kopanya ho aba mesebetsi ea ho eketsa le ho ntša.
\[
\hodimo{z_1 + z_2} = \hodimo{z_1} + \hodimo{z_2}
\]
\[
\hodimo{z_1 – z_2} = \hodimo{z_1} – \hodimo{z_2}
\]
3. Katiso: Kopano ya sehlahiswa sa dinomoro tse pedi tse rarahaneng ke sehlahiswa sa dinomoro tseo tse rarahaneng.
\[
\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}
\]
4. Karohano: Sephetho sa karohano ya dinomoro tse pedi tse rarahaneng ke sephetho sa karohano ya dinomoro tse kopaneng tsa dinomoro tseo tse rarahaneng.
\[
\overline{\left( \frac{z_1}{z_2} \right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}
\]
5. Boleng bo Felletseng le Sehlahisoa se Kopantseng: Boleng bo felletseng ba nomoro e rarahaneng \(z\) bo lekana le motso o sekoere wa sehlahiswa sa nomoro eo le kopano ya yona.
\[
|z|^2 = z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2
\]
Modulus ea Linomoro tse Rarahaneng
Modulus ea nomoro e rarahaneng \(z = a + bi\) ke bolelele kapa sebaka sa nomoro e rarahaneng ho tloha tšimolohong (0,0) sebakeng se rarahaneng. Modulus ea \(z\) e hlalosoa e le \(|z|\) 'me e baloa e le:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Matlotlo a Modulus
1. Ho se be le maikutlo a mabe: Modulus kamehla ha e be le maikutlo a mabe.
\[
|z| \geq 0
\]
2. Modulus le Conjugate: Modulus ea \(z\) le \(\overline{z}\) e tšoana.
\[
|z| = |\hodimo{z}|
\]
3. Modulus ea ho Atisa: Modulus ea sehlahisoa sa linomoro tse peli tse rarahaneng ke sehlahisoa sa moduli ea linomoro tseo tse rarahaneng.
\[
|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|
\]
4. Modulus ea Karohano: Modulus ea quotient ea linomoro tse peli tse rarahaneng ke quotient ea moduli ea linomoro tseo tse rarahaneng.
\[
\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \quad \text{conditionally} \quad z_2 \neq 0
\]
5. Khutlotharo: Modulus e kgotsofatsa ho se lekane ha khutlotharo.
\[
|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|
\]
Likhang tsa Palo e Rarahaneng
Khang ea nomoro e rarahaneng \(z = a + bi\) ke sekhutlo seo nomoro e rarahaneng e se etsang ka axis ea 'nete (x-axis) ka har'a sefofane se rarahaneng. Khang \(z\) hangata e hlalosoa e le \(\arg(z)\) 'me boleng ba eona bo karolong \((- \pi, \pi]\). Khang e baloa ho sebelisoa mosebetsi oa trigonometric oa arc-tangent:
\[
\arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]
Leha ho le jwalo, ho bohlokwa ho hlokomela hore re tlameha ho ela hloko matshwao a \(a\) le \(b\) ho fumana quadrant eo nomoro e rarahaneng e leng ho yona.
Mofuta oa Liqabang
1. Kakaretso ea Khang: Bakeng sa linomoro tse peli tse rarahaneng, khang ea sehlahisoa sa bona ke kakaretso ea likhang tsa bona.
\[
\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)
\]
ha feela diphetho di dula di le ka hara tekanyo e nepahetseng.
2. Ho ntsha Dingangisano: Ngaka ya quotient ya dinomoro tse pedi tse rarahaneng ke phapang ya dingangisano tsa tsona.
\[
\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) – \arg(z_2)
\]
3. Khang le Kopano: Khang ea kopano ea nomoro e rarahaneng ke khaello ea ngangisano ea nomoro e rarahaneng.
\[
\arg(\overline{z}) = -\arg(z)
\]
4. Sebopeho sa Polar: Nomoro e rarahaneng \(z\) e ka hlahiswa ka sebopeho sa polar e le \(z = |z| e^{i \theta}\), moo \(\theta = \arg(z)\).
Qetello
Motswako, modulus, le ngangisano ke mehopolo ya motheo dinomorong tse rarahaneng. Motswako o fana ka pono e lekanang ya dinomoro tse rarahaneng, ha modulus le ngangisano di fana ka boemedi bo hlakileng ba jeometri sebakeng se rarahaneng. Dithoto tsa motswako, modulus, le ngangisano di na le ditshebediso tse pharaletseng mafapheng a fapaneng a mahlale, e leng se etsang hore dinomoro tse rarahaneng e be sesebediswa se matla le se thusang sa dipalo. Ka ho utlwisisa dithoto tsena, re ka hlahloba lefatshe le rarahaneng le ditshebediso tsa lona tsa lefatshe la nnete.
