E kopaneng
Li-integral ke mohopolo oa motheo ho calculus, o amanang haufi-ufi le li-derivatives. Leha li-derivatives li hlalosa phetoho leralla kapa leralla la sekhutlo sebakeng se itseng, li-integral, ka lehlakoreng le leng, li akaretsa sebaka sohle se ka tlas'a sekhutlo holim'a sekhutlo se itseng. Li-integral ke lisebelisoa tsa bohlokoa lipalo, fisiks, boenjiniere le masimo a mang a mangata. Sengoloa sena se tla tšohla mohopolo oa li-integral ka botlalo, ho kenyeletsoa nalane ea tsona, tlhaloso, mefuta ea li-integral, lits'ebetso, le mehlala e meng ea mathata a integral.
Nalane e Kopanetsoeng
Li-integral li qalile ho hlahisoa ke bo-rasaense ba boholo-holo ba Bagerike ka mokhoa oa ho khathala o ntlafalitsoeng ke Eudoxus 'me hamorao oa tuma ke Archimedes. Leha ho le joalo, nts'etsopele ea li-integral tsa sejoale-joale e ka saloa morao ho fihlela lekholong la bo17 la lilemo ka mosebetsi oa Isaac Newton le Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton le Leibniz, leha ba ne ba sebetsa ka boikemelo, ba ile ba hlahisa calculus e neng e akaretsa li-integral le li-derivatives, likhopolo tse peli tse amanang le Theorem ea Motheo ea Calculus. Theorem ena e bolela hore kopanyo le phapang ke ts'ebetso e fapaneng.
Newton o sebelisitse li-integral moelelong oa fisiks ho bala sebaka se tlas'a mothapo o emelang phetoho ea lebelo le nako, e leng khopolo ea bohlokoa ho mechanics ea khale. Ka lehlakoreng le leng, Leibniz o ntlafalitse notation ea integral ∫ eo re e sebelisang kajeno, e nkiloeng tlhakung e telele "s," e khutsufalitsoeng bakeng sa summa (ka Selatine bakeng sa "summa").
Tlhaloso ea Kopanelo
Karolo e kopaneng ea mosebetsi e ka nkoa e le "e khahlanong le ho tsoa ho eona." Ka molao, ho na le mefuta e 'meli ea likarolo tse kopaneng tse atisang ho sebelisoa: karolo e sa lekanyetsoang le karolo e tobileng.
E Kopaneng e sa Feleng
Karolo e sa lekanyetsoang ea mosebetsi f(x) ke mosebetsi F(x) oo derivative ea F(x) e leng f(x). Mongolo oa oona o ngotsoe tjena:
∫ f(x) dx = F(x) + C
moo C e leng kamehla ea kopanyo e hlokahalang hobane derivative ea kamehla ke lefela. Mohlala o bonolo oa kakaretso e sa lekanyetsoang ke:
∫ 2x dx = x² + C
E Kopaneng e Tiileng
Karolo e tobileng ea mosebetsi f(x) ho tloha ho a ho isa ho b e hlalosa sebaka se ka tlas'a mothapo ho tloha ho x = a ho isa ho x = b. E ngotsoe tjena:
∫[a,b] f(x) dx = F(b) – F(a)
moo F(x) e leng antiderivative ya f(x). Mohlala:
∫[1,3] 2x dx = (3² – 1²) = 8
Mefuta ea Li-Integrals
Ntle le metsoako ea motheo e tšohliloeng ka holimo, ho na le mefuta e meng e fapaneng ea metsoako e sebelisoang lipalo le lits'ebetsong tse sebetsang. Tse ling tsa tsena ke:
E Kopanetsoeng habeli
Karolo e habeli e kenyeletsa kopanyo hodima di-variable tse pedi kapa ho feta. Hangata e sebediswa ho di-calculus tse nang le di-dimensional tse ngata ho bala di-volume tse ka tlase ho bokahodimo kapa boleng ba dipalo bakeng sa mesebetsi ya di-variable tse pedi kapa ho feta. Mehlala e kenyeletsa:
∫∫_R f(x,y) dA
Lebesgue Integral
Karolo e kopaneng ea Lebesgue ke kakaretso ea karolo e kopaneng ea Riemann e sebelisetsoang ho sebetsana le mesebetsi e sa tloaelehang haholo. Karolo ena e bohlokoa haholo tlhahlobong ea 'nete le khopolo-taba ea monyetla.
Motsoako oa Mohala
Mohala o kopaneng o kopanya mosebetsi o lebileng mothinya kapa tsela e fanoeng sefofaneng kapa sebakeng. O thusa haholo fisiks le boenjiniere bakeng sa ho bala mosebetsi o etsoang ke matla tseleng e fanoeng.
∫_C F · ngaka
Bokaholimo bo Kopanetsoeng
Karolo e kopaneng ya bokahodimo e fetola karolo e kopaneng e habeli hore e sebetse hodima bokahodimo sebakeng sa mahlakore a mararo. Hangata e sebediswa ho electrodynamics le di-mechanics tsa mokelikeli.
∫∫_S f(x,y,z) dS
Kopo e Kopanetsoeng
Lisebelisoa tse kopaneng li na le mefuta e mengata ea lits'ebetso mafapheng a fapaneng a mahlale. Tse ling tsa lits'ebetso tsa bohlokoa ka ho fetisisa li kenyelletsa:
Fisiks
Fisiks, lintho tse kopaneng hangata li sebelisoa ho bala mosebetsi, matla le bongata bo bong bo fapaneng ba 'mele. Mohlala, lintho tse kopaneng li sebelisoa ho bala mosebetsi o etsoang ke matla motsamaong oa karoloana:
W = ∫ F(x) dx
Li-integral le tsona li bohlokoa ho fumaneng boima, setsi sa boima, motsotso oa ho se be le nako, le kabo ea boima linthong tsa 'mele.
Lipalo-palo
Lipalopalong le khopolo-taba ea monyetla, li-integral li sebelisoa ho bala menyetla le litebello tsa kabo e fapaneng ea monyetla. Mohlala ke ho bala monyetla o kopaneng oa phetoho e sa reroang e tsoelang pele:
P(X ≤ x) = ∫_(-∞, x) f(t) dt
moruo
Moruong, metsoako e kopaneng e sebediswa ho bala phaello yohle, ditjeo, le masalla a bareki/bahlahisi. Mohlala, ho bala ditjeo tsohle moelelong wa ditjeo tse ka thoko:
Kakaretso ea Litšenyehelo = ∫ MC(q) dq
botekgeniki
Boenjiniereng, di-integral di sebediswa kgafetsa tlhahlobong ya kgatello ya maikutlo, ho feto-fetoha ha maemo, le phetiso ya mocheso. Boenjiniere ba taolo bo boetse bo sebedisa di-integral bakeng sa ditsamaiso tsa taolo tse kenyeletsang ho balaodi ba PID (Proportional-Integral-Derivative).
Mehlala ea Mathata a Kopaneng
Mehlala e meng ea mathata a bohlokoa le litharollo tsa 'ona ke ena:
Mohlala oa 1: Kopano e sa Feleng
Fumana karolo e sa lekanyetsoang ea f(x) = 3x²:
∫ 3x² dx
Solusi:
Karolo ena e ka rarolloa ka ho sebelisa molao oa motheo oa karolo e le 'ngoe. Re eketsa e le 'ngoe ho karolo e ka holimo ebe re arola ka karolo e ncha:
∫ 3x² dx = 3 (1/3)x³ = x³ + C
Mohlala oa 2: E Kopaneng e sa Feleng
Fumana sebaka se ka tlas'a mothapo f(x) = 2x ho tloha ho 1 ho isa ho 4:
∫[1,4] 2x dx
Solusi:
Taba ea pele, re fumana antiderivative ea 2x, e leng x². Ebe re sebelisa meeli e tlase le e holimo:
∫[1,4] 2x dx = [x²]₁^₄ = 4² – 1² = 16 – 1 = 15
Qetello
Li-integral ke mehopolo ea bohlokoa ho calculus, e hapang mohopolo oa sebaka se ka tlas'a mothinya le lits'ebetso tsa sona tse ngata. Ho tloha nalaneng ea tsona Greece ea boholo-holo ho ea ho nts'etsopele ea bohlokoa ea Newton le Leibniz, ho ea ho mefuta le lits'ebetso tsa tsona tse fapaneng saenseng le boenjiniere, li-integral li bapala karolo ea bohlokoa moralong oa sejoale-joale oa lipalo. Ho utloisisa li-integral ha ho re thuse feela ho rarolla mathata a lipalo empa hape ho bula temohisiso mabapi le lits'ebetso tsa tsona tse ngata bophelong ba letsatsi le letsatsi le lefats'eng la profeshenale.
