Mehlala ea Lipotso Tse Buisanang ka Tlatsetso ea Vektheri ka Karolo
Ho eketsa vector ke mokhoa oa motheo fisiks le lipalo o sebelisoang ho fumana sephetho sa li-vector tse peli kapa ho feta. Mokhoa oa ho rarolla ho eketsa vector ka likarolo ke mokhoa o thusang haholo, haholo-holo ha ho sebetsanoa le li-vector ka likarolo tse peli kapa tse tharo. Sengoloa sena se tla hlalosa mohopolo oa ho eketsa vector ka likarolo le ho fana ka mehlala e 'maloa ea mathata le litharollo.
Khopolo ea ho Eketsa Vektara ea Likaroloana
Vekthara e 'ngoe le e 'ngoe sebakeng sa mahlakore a mabeli (2D) e ka aroloa ka likarolo tse peli: karolo ea x (e otlolohileng) le karolo ea y (e otlolohileng). Ka litekanyo tse tharo (3D), livekthara li na le karolo e eketsehileng, karolo ea z (botebo).
A re re re na le livekthara tse peli A le B. Likarolo tsa livekthara tsena li ka hlalosoa ka tsela e latelang:
– Vekthara A e na le dikarolo tsa \(A_x\) le \(A_y\) ho 2D (kapa hape \(A_z\) ho 3D).
– Vekthara B e na le dikarolo \(B_x\) le \(B_y\) ho 2D (kapa hape \(B_z\) ho 3D).
Ho eketsoa ha livekthara tsena tse peli ho tla hlahisa vekthara e hlahang ea R e nang le likarolo tse latelang:
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
Bakeng sa li-vector ho 3D, karolo ea z le eona ke e latelang:
\[ R_z = A_z + B_z \]
Kamora ho bala karolo e 'ngoe le e 'ngoe ea vekthara e hlahang, re ka fumana modulus (boholo) le tataiso ea vekthara e hlahang re sebelisa foromo:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (bakeng sa 2D)
Kapa bakeng sa 3D:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
'Me tataiso ea vekthara e hlahang e ka khethoa ke sekhutlo ho ea ho li-axes tsa coordinate.
Lipotso tsa Mehlala le Puisano
Potso ea 1
Ho fanoe ka li-vector tse peli tse nang le mahlakore a mabeli:
– A ke \(5 \, \text{unit}\) ka bochabela.
– B e ka leboya ho ya ho leboya.
Fumana vekthara e hlahang R.
Puisano
Taba ea pele, re fetola vector hore e be likarolo tsa eona tse fapaneng.
– Vekthara A: \(A = (5, 0)\) hobane e na le karolo ea x feela.
– Vekthara B : \(B = (0, 3)\) hobane e na le karolo ya y feela.
Kakaretso ea likarolo ke ena:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
Ebe vector e hlahang R ke:
\[ R = (5, 3) \]
Ho bala bolelele (modulus) ba vekthara R:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \hoo e ka bang 5.83 \]
Tsela eo vekthara R e tataisang ka yona e ka balwa ho sebediswa angle θ ho ya ho x-axis:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \hoo e ka bang 30.96^\circ \]
Ka hona, vekthara e hlahang R e na le bolelele ba diyuniti tse ka bang 5.83 mme e bopa sekhutlo sa 30.96° ka x-axis.
Potso ea 2
Ho fanoe ka li-vector tse peli ka litekanyo tse tharo:
– A ke \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\)
– B ke \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\)
Fumana vekthara e hlahang R.
Puisano
Taba ea pele, re khetholla likarolo tsa vector ka 'ngoe:
– Vekthara A: \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– Vekthara B : \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
Kakaretso ea likarolo ke ena:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
Ebe vector e hlahang R ke:
\[ R = (4, 6, 3) \]
Ho bala bolelele (modulus) ba vekthara R:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \hoo e ka bang 7.81 \]
Tsela eo vekthara R e shebaneng le li-axe tsa x, y, le z e ka baloa ho sebelisoa cosine ea motsamaisi:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \hoo e ka bang 0.512 \]
\[ \alpha = \arccos(0.512) \hoo e ka bang 59.50^\circ \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \hoo e ka bang 0.768 \]
\[ \beta = \arccos(0.768) \hoo e ka bang 39.50^\circ \]
\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \hoo e ka bang 0.384 \]
\[ \gamma = \arccos(0.384) \hoo e ka bang 67.64^\circ \]
Ka hona, vekthara e hlahang R e na le bolelele ba diyuniti tse ka bang 7.81 mme ditaelo tsa yona mabapi le di-axes tsa x, y, le z ke 59.50°, 39.50°, le 67.64°.
Potso ea 3
Ho fanoe ka li-vector tse peli:
– P e na le boholo ba diyuniti tse 4 mme e bopa sekhutlo sa 45° ho ya ho x-axis e ntle.
– Q e na le boholo ba diyuniti tse 6 mme e bopa sekhutlo sa 120° ho ya ho x-axis e ntle.
Fumana vekthara e hlahang R.
Puisano
Taba ea pele, re arola vekthara ka likarolo tsa eona tsa x le y:
– Vekthara P : \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \hoo e ka bang 2.83\), \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \hoo e ka bang 2.83\).
– Vekthara P : \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \hoo e ka bang 5.2\).
Kakaretso ea likarolo ke ena:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
Ebe, vekthara e hlahang R ke:
\[ R = (-0.17, 8.03) \]
Ho bala bolelele (modulus) ba vekthara R:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \hoo e ka bang 8.03 \]
Tataiso ea vekthara R:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \theta = \arctan(-47.24) \hoo e ka bang -88.99^\circ \]
Leha ho le jwalo, sekhutlo sena se lekanngwa ka x-axis e mpe, kahoo sekhutlo sa nnete moelelong wa bothata ke:
\[ 180^\circle – 88.99^\circle \hoo e ka bang 91.01^\circle \]
Ka hona, vekthara e hlahang R e na le bolelele ba diyuniti tse ka bang 8.03 mme e bopa sekhutlo sa 91.01° ka x-axis e ntle.
Sehlooho sena se buile ka ho eketsa vekthara ka likarolo, se fana ka mehlala e 'maloa ea mathata le litharollo. Mokhoa oa ho sebelisa likarolo o thusa haholo ho nolofatsa lipalo le ho fana ka mokhoa o hlophisitsoeng oa ho rarolla mathata a vekthara ka tekanyo ea lipalo ea sebaka.
