Mehlala ea Lipotso le Lipuisano mabapi le Ts'ebetso ea Linomoro tse Rarahaneng
Linomoro tse rarahaneng ke katoloso ea mohopolo oa linomoro tsa 'nete ho kenyelletsa linomoro tse inahaneloang. Sebopeho se akaretsang sa nomoro e rarahaneng ke a + bi, moo a le b e leng linomoro tsa 'nete, 'me i ke yuniti e inahaneloang e nang le thepa i² = -1. Ts'ebetso linomorong tse rarahaneng e kenyelletsa ho eketsa, ho ntša, ho atisa le ho arola. Sengoloa sena se tla fana ka mehlala e 'maloa ea mathata le lipuisano bakeng sa ts'ebetso e fapaneng linomorong tse rarahaneng.
Ho eketsa le ho tlosa linomoro tse rarahaneng
Mohlala oa Potso ea 1
Kenya dinomoro tse rarahaneng tse latelang: (3 + 4i) le (1 + 2i).
Puisano:
Ho eketsa dinomoro tse rarahaneng ho etswa ka ho eketsa dikarolo tsa tsona tsa nnete le tse inahanelwang ka thoko.
\[ (3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4i + 2i) = 4 + 6i \]
Kahoo, sephetho sa ho eketsa (3 + 4i) le (1 + 2i) ke 4 + 6i.
Mohlala oa Potso ea 2
Tlosa nomoro e rarahaneng (2 + 5i) ho (6 + 3i).
Puisano:
Ho ntsha dinomoro tse rarahaneng ho etswa ka ho ntsha karolo ya nnete le karolo e inahanelwang ka thoko.
\[ (6 + 3i) – (2 + 5i) = (6 – 2) + (3i – 5i) = 4 – 2i \]
Kahoo, sephetho sa ho tlosa (2 + 5i) ho (6 + 3i) ke 4 - 2i.
Ho Atisa ha Linomoro tse Rarahaneng
Mohlala oa Potso ea 3
Atisa dinomoro tse latelang tse rarahaneng: (2 + 3i) le (4 + i).
Puisano:
Ho atisa dinomoro tse rarahaneng ho etswa ka ho sebedisa dikabo kapa ditlhophiso tsa semmuso, tse tshwanang le ho atisa di-binomial tse pedi ho algebra e tlwaelehileng.
\[
(2 + 3i) \cdot (4 + i) = 2 \cdot 4 + 2 \cdot i + 3i \cdot 4 + 3i \cdot i
\]
Ebe re bala ka botlalo:
\[
= 8 + 2i + 12i + 3i^2
\]
Kaha \( i^2 = -1 \):
\[
= 8 + 14i + 3(-1)
\]
\[
= 8 + 14i – 3
\]
\[
= 5 + 14i
\]
Kahoo, sephetho sa ho atisa (2 + 3i) le (4 + i) ke 5 + 14i.
Karohano ea Linomoro tse Rarahaneng
Mohlala oa Potso ea 4
Arola nomoro e latelang e rarahaneng: (5 + 6i) ka (2 + i).
Puisano:
Karohano ea linomoro tse rarahaneng ho sebelisoa lehokelo la denominator. Lehokelo la \(2 + i\) ke \(2 - i\).
Re atisa nomoro le denominator ka conjugate ea denominator:
\[
\frac{5 + 6i}{2 + i} \cdot \frac{2 – i}{2 – i}
\]
Jwale re bala nomoro le denominator ka thoko:
\[
= \frac{(5 + 6i) \cdot (2 – i)}{(2 + i) \cdot (2 – i)}
\]
Katiso ea li-denominator:
\[
(2 + i) \cdot (2 – i) = 2^2 – i^2 = 4 – (-1) = 4 + 1 = 5
\]
Katiso ea linomoro:
\[
(5 + 6i) \cdot (2 – i) = 5 \cdot 2 + 5 \cdot (-i) + 6i \cdot 2 + 6i \cdot (-i)
= 10 – 5i + 12i – 6i^2
= 10 + 7i – 6(-1)
= 10 + 7i + 6
= 16 + 7i
\]
Kahoo, karohano ke:
\[
= \frac{16 + 7i}{5} = \frac{16}{5} + \frac{7i}{5} = 3.2 + 1.4i
\]
Kahoo sephetho sa ho arola (5 + 6i) ka (2 + i) ke 3.2 + 1.4i.
Puisano e Eketsehileng: Modulus le Conjugate ea Linomoro tse Rarahaneng
Mohlala oa Potso ea 5
Fumana modulus le conjugate ea nomoro e rarahaneng \(z = 3 + 4i\).
Puisano:
Modulus ea nomoro e rarahaneng \(z = a + bi\) ke:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Bakeng sa \(z = 3 + 4i\):
\[
|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Sehokelo sa nomoro e rarahaneng \(z = a + bi\) ke \(z^ = a – bi\).
Bakeng sa \(z = 3 + 4i\):
\[
z^ = 3 – 4i
\]
Kahoo modulus ea \(3 + 4i\) ke 5, 'me conjugate ea eona ke \(3 - 4i\).
Qetello
Linomoro tse rarahaneng li bapala karolo ea bohlokoa masimong a fapaneng a lipalo le lits'ebetsong tsa tekheniki. Ho utloisisa ts'ebetso ea motheo ea linomoro tse rarahaneng, joalo ka ho eketsa, ho ntša, ho atisa le ho arola, ke senotlolo sa ho sebelisa likhopolo tsena ho rarolla mathata a rarahaneng haholoanyane. Ho itloaetsa mefuta e fapaneng ea mathata, joalo ka a hlalositsoeng kaholimo, ho tla thusa ho matlafatsa kutloisiso ea hau le bokhoni ba ho sebetsa ka linomoro tse rarahaneng.
