Mehlala ea Lipotso le Puisano ea Mesebetsi e Eketsehang, Mesebetsi e Fokotsang, le Mesebetsi e sa Feleng
Mesebetsi ea lipalo ke sehlooho se tebileng haholo 'me e tletse litšobotsi tse fapaneng, e 'ngoe ea tsona ke hore na e ka hlahlojoa joang mabapi le maemo a eketsehang, a fokotsehang, kapa a sa sisinyeheng. Ho tseba hore na mosebetsi o ntse o eketseha, oa fokotseha, kapa o sa sisinyehe ka nako e itseng ho bohlokoa lits'ebetsong tse fapaneng tsa lipalo, ho kenyeletsoa moruo, fisiks le boenjiniere. Sengoloa sena se tla akaretsa mehlala le puisano ea tsona e amanang le mesebetsi e eketsehang, e fokotsehang le e sa sisinyeheng.
Mesebetsi e eketsang, mesebetsi e fokotsehang, le mesebetsi e sa sisinyeheng ke eng?
1. Fungsi Naik : Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan naik pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x_1 \) dan \( x_2 \) di \( I \) dengan \( x_1 < x_2 \), kita memiliki \( f(x_1) \leq f(x_2) \). 2. Fungsi Turun : Sebaliknya, fungsi \( f(x) \) dikatakan turun pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x_1 \) dan \( x_2 \) di \( I \) dengan \( x_1 < x_2 \), kita memiliki \( f(x_1) \geq f(x_2) \). 3. Fungsi Diam : Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan diam pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x \) di \( I \), fungsi tersebut memiliki nilai yang sama, yakni \( f(x) = c \) untuk setiap \( x \) di \( I \), dengan c adalah konstanta. Contoh Soal 1: Menentukan Interval Fungsi Naik Diberikan fungsi \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \). Tentukan interval dimana fungsi tersebut naik! Pembahasan: Untuk menentukan interval di mana fungsi naik, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan kemudian analisis tanda dari turunan tersebut. 1. Langkah 1: Mencari turunan pertama : \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. Langkah 2: Menentukan titik kritis : Titik kritis adalah titik di mana turunan pertama bernilai nol atau tidak terdefinisi. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] Membagi seluruh persamaan dengan 6: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Kita faktorkan persamaan kuadrat ini: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Jadi, titik kritis adalah \( x = 2 \) dan \( x = -1 \). 3. Langkah 3: Menentukan tanda turunan pertama pada interval yang dibentuk oleh titik kritis : Kita akan membuat tabel tanda untuk \( f'(x) \) pada interval \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \), dan \( (2, \infty) \). - Untuk \( x \in (-\infty, -1) \): Ambil \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] Karena \( f'(-2) > 0 \), maka \( f(x) \) naik pada interval \( (-\infty, -1) \).
– Bakeng sa \( x \in (-1, 2) \): Nka \( x = 0 \)
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
Kaha \( f'(0) < 0 \), joale \( f(x) \) e fokotseha karolong e pakeng \( (-1, 2) \). - Bakeng sa \( x \in (2, \infty) \): Nka \( x = 3 \) \[ f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] Kaha \( f'(3) > 0 \), joale \( f(x) \) e ntse e eketseha karolong e pakeng \( (2, \infty) \).
Kahoo, mosebetsi \( f(x) \) o ntse o eketseha ka nako \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \).
Mohlala Bothata ba 2: Ho Fumana Nako ea Mosebetsi o Fokotsang
Ho latela mosebetsi \( g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \). Fumana dikgeo moo mosebetsi o fokotsehang!
Puisano:
1. Mohato oa 1: Fumana derivative ea pele:
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
\[ g'(x) = 16x^3 – 24x^2 \]
2. Mohato oa 2: Fumana ntlha ea bohlokoa:
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
Kahoo lintlha tsa bohlokoa ke \( x = 0 \) le \( x = \frac{3}{2} \).
3. Mohato wa 3: Fumana letshwao la derivative ya pele karolong e pakeng:
– Bakeng sa \( x \in (-\infty, 0) \): Nka \( x = -1 \)
\[ g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40 \]
Karena \( g'(-1) < 0 \), maka \( g(x) \) turun pada interval \( (-\infty, 0) \).
- Untuk \( x \in (0, \frac{3}{2}) \): Ambil \( x = 1 \)
\[ g'(1) = 16(1)^3 - 24(1)^2 = 16 - 24 = -8 \]
Karena \( g'(1) < 0 \), maka \( g(x) \) turun pada interval \( (0, \frac{3}{2}) \).
- Untuk \( x \in (\frac{3}{2}, \infty) \): Ambil \( x = 2 \)
\[ g'(2) = 16(2)^3 - 24(2)^2 = 128 - 96 = 32 \]
Karena \( g'(2) > 0 \), maka \( g(x) \) naik pada interval \( (\frac{3}{2}, \infty) \).
Kahoo, mosebetsi \( g(x) \) oa fokotseha karolong \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \).
Mohlala Potso ea 3: Ho Fumana Nako ea Mosebetsi Phomolong
Ha ho fanoe ka mosebetsi \( h(x) = 7 \), fumana mekhahlelo moo mosebetsi o sa sisinyeheng!
Puisano:
Mosebetsi o sa fetoheng o kang \( h(x) = 7 \) o na le derivative ea pele ea zero bakeng sa tsohle \( x \):
\[ h'(x) = 0 \]
Kaha derivative ea pele kamehla ke lefela, mosebetsi o eme sebakeng sohle, kahoo re ka re mosebetsi \( h(x) = 7 \) o eme dinomorong tsohle tsa nnete, tseo ho notation ya karohano e leng \( (-\infty, \infty) \).
Qetello
Ho utloisisa mekhahlelo ea maemo a eketsehang, a fokotsehang, le a sa sisinyeheng a mosebetsi ke karolo ea bohlokoa ea tlhahlobo ea ts'ebetso. Ka mehlala e kaholimo, re koahetse likhopolo le mehato ea motheo e hlokahalang ho fumana mekhahlelo ena. Tsebo ena e thusa haholo lits'ebetsong tse fapaneng tsa lipalo tse sebetsang le tsa khopolo-taba.
