Lipotso le Lipuisano tsa Mehlala: Tlhaloso ea Integral e sa Feleng
Karolo e sa lekanyetsoang ke mohopolo oa motheo ka har'a calculus, o sebelisetsoang ho fumana ntho e khahlanong le ho tsoa mosebetsing o fanoeng. E boetse e tsejoa e le ho se tšoanelehe. Sehloohong sena, re tla buisana ka mehlala e 'maloa ea likarolo tse sa lekanyetsoang, tse felletseng ka litlhaloso, ho utloisisa mohopolo ona hamolemo.
Ho Utloisisa Li-Integrals tse sa Feleng
Karolo e sa lekanyetsoang ke mokhoa oa ho fumana mosebetsi oa mantlha \( F(x) \) ho tsoa ho derivative \( f(x) \), e hlalosoang ke:
\[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \]
moo \( C \) e leng ntho e sa fetoheng e kopaneng. Ntho ena e sa fetoheng e hlaha hobane derivative ea ntho e sa fetoheng ke lefela, kahoo ts'ebetsong ea anti-differentiation, re tlameha ho nahana ka monyetla oa hore ntho e sa fetoheng e be teng.
Foromo ea Motheo bakeng sa Li-Integrals tse sa Feleng
Mekhoa e meng ea motheo e atisang ho sebelisoa ka ho kopanya ho sa feleng e kenyelletsa:
1. \[ \int k \, dx = kx + C \]
moo \( k \) e leng ntho e sa fetoheng.
2. \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
bakeng sa \( n \neq -1 \).
3. \[ \int e^x \, dx = e^x + C \]
4. \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \]
moo \( a \) e leng nomoro ea 'nete e ntle le \( a \neq 1 \).
5. \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| +C\]
6. \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]
7. \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \]
Mehlala ea Mathata a sa Feleng a Kopaneng le Lipuisano tsa 'Ona
Mohlala oa 1
Potso:
Bala karolo e sa lekanyetsoang ea \( f(x) = 3x^2 \).
Puisano:
Ho rarolla motsoako ona, re sebelisa foromo ea motheo ea motsoako bakeng sa mesebetsi ea foromo \( x^n \):
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
Tabeng ena, re na le \( f(x) = 3x^2 \), moo \( k = 3 \) le \( n = 2 \). Ebe:
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \left( \frac{x^{3}}{3} \right) + C = x^3 + C \]
Kahoo, \( \int 3x^2 \, dx = x^3 + C \).
Mohlala oa 2
Potso:
Bala karolo e sa lekanyetsoang ea \( f(x) = \frac{1}{x} \).
Puisano:
Karolo ea \( \frac{1}{x} \) e thehiloeng foromong ea motheo ke:
\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| +C\]
Kahoo, \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \).
Mohlala oa 3
Potso:
Bala karolo e sa lekanyetsoang ea \( f(x) = e^x \).
Puisano:
Karolo ea \( e^x \) e thehiloeng foromong ea motheo ke:
\[ \int e^x \, dx = e^x + C \]
Kahoo, \( \int e^x \, dx = e^x + C \).
Mohlala oa 4
Potso:
Bala karolo e sa lekanyetsoang ea \( \sin x \).
Puisano:
Karolo ea \( \sin x \) e thehiloeng foromong ea motheo ke:
\[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]
Kahoo, \( \int \sin x \, dx = -\cos x + C \).
Mohlala oa 5
Potso:
Bala karolo e sa lekanyetsoang ea \( \cos x \).
Puisano:
Karolo ea \( \cos x \) e thehiloeng foromong ea motheo ke:
\[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \]
Kahoo, \( \int \cos x \, dx = \sin x + C \).
Mohlala oa 6
Potso:
Bala karolo e sa lekanyetsoang ea \( 5x^{-3} \).
Puisano:
Ho rarolla motsoako ona, re sebelisa foromo ea motheo ea motsoako bakeng sa mesebetsi ea foromo \( x^n \):
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
Tabeng ena, re na le \( f(x) = 5x^{-3} \), moo \( k = 5 \) le \( n = -3 \). Ebe:
\[ \int 5x^{-3} \, dx = 5 \int x^{-3} \, dx = 5 \left( \frac{x^{-3+1}}{-3+1} \right) + C = 5 \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + C = -\frac{5}{2} x^{-2} + C \]
Kahoo, \( \int 5x^{-3} \, dx = -\frac{5}{2} x^{-2} + C \).
Mohlala oa 7
Potso:
Bala karolo e sa lekanyetsoang ea \( 4e^{2x} \).
Puisano:
Ho rarolla motsoako ona, re hloka ho sebedisa ntho \( u \). A re beheng \( u = 2x \) hore \( du = 2dx \), kapa \( dx = \frac{du}{2} \).
\[ \int 4e^{2x} \, dx = 4 \int e^{u} \, \frac{du}{2} = 2 \int e^{u} \, du \]
Jwale, karolo ya bohlokwa ya \( e^u \) ke \( e^u \):
\[ 2 \int e^u \, du = 2e^u + C \]
Khutlela ho di-variable tsa pele:
\[ 2e^u + C = 2e^{2x} + C \]
Kahoo, \( \int 4e^{2x} \, dx = 2e^{2x} + C \).
Ts'ebeliso ea Li-Integrals tse sa Feleng
Di-integral tse sa feleng di na le ditshebediso tse pharaletseng saenseng le boenjiniere. Mohlala, fisiks, di-integral tse sa feleng di sebediswa ho fumana sebaka se tsamauwang ke ntho ha lebelo la yona jwalo ka nako le tsejwa. Moruong, di-integral tse sa feleng di ka sebediswa ho fumana tjhelete yohle kapa phaello ha sekgahla sa phetoho ya ditjeo kapa phaello ka yuniti se tsejwa.
Qetello
Karolo e sa lekanyetsoang ke mohopolo oa bohlokoa ka har'a lipalo, o sebelisoang ho fumana lintho tse loantšang mesebetsi. Ho utloisisa mekhoa e fapaneng ea motheo ea karolo e kopaneng ho bohlokoa ho rarolla mathata a amanang le likarolo tse sa lekanyetsoang. Ka ho ikoetlisa ho lekaneng ho sebelisa mehlala e kang e boletsoeng ka holimo, motho a ka tseba mokhoa oa likarolo tse sa lekanyetsoang. Khopolo ea likarolo tse sa lekanyetsoang ha e na feela khopolo-taba empa hape e na le bohlokoa bo sebetsang mafapheng a fapaneng a saense.
